15.1.3平面直角坐标系中的轴对称图形(课件) - 2024-2025学年八年级数学上册同步精品课

7、将点 A (2，3) 向左平移 2 个单位得到点 A′，点 A′ 关于
x 轴的对称点是 A″，则点 A″ 的坐标为( A )
A．(0，－3)
B．(4，－3)
C．(4，3)
D．(0，3)
8、如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线 x=1
的对称点的坐标为（ C ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
D1( 1,-3 )
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3).
y
(2) 分别作出点 A，B，C，D
C2
4
D32 D
C
关于 y 轴对称的对应点 A2，B2，
2
C2，D2，并写出它们的坐标.
B2
A21 A
B
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
(2) 同理，分别作出点B，C，D关于直线 l 的 对称点B′，C′，D′.
(3) 顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′， 得到四边形A′B′C′D′就是所要求 作的图形.
创设情境
在平面直角坐标系中，如何作出图形的轴对称图呢？ 下面只介绍以特殊直线（坐标轴）为对称轴的情形.
探究 1
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形
1、线段的垂直平分线的定义 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线. 又叫做线段的中垂线.
2、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线.反过来成轴对称的两个图形中，对应点 的连线被对称轴垂直平分. 3、轴对称图形的性质
2
C3，D3，并写出它们的坐标.
1A
B
-5 -4 -3
B3
-2 -1A-O13
1 2 3 4 5x
-2
已知点坐标
A(1,1)
C2
B(3,1)
-3
D2-
4
C(3,3)
D(1,3)
关于原点对称 的点的坐标
A2( -1,-1)
B2( -3,-1) C2( -3,-3)
D2( -1,-3)
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
A′的坐标是 (16,3) .
9、如图，在平面直角坐标系中，点 A(0,2)，B(4,1)，P
是 x 轴上任意一点，当 PA+PB 取得最小值时，点 P 的坐标
为
.
10、如图，(1) 在网格中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1； (2) 写出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A2B2C2 的各顶点坐标； (3) 在 y 轴上确定一点 P，使 △PAB 周长最短．只需作图，保留
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). (1) 分别作出点 A，B，C，D
y
4
3D
C
关于 x 轴对称的对应点 A1，B1，
2
C1，D1，并写出它们的坐标.
1A
B
-5 -4
-3
-2
-1
O -1
A11
2
3B14
5x
-2
已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
- D1
4
C(3,3)
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). 猜想：已知点 P(x,y)，它关于 原点 对称点的坐标为 P3(-x,-y )
y
4
3D
C
2
规律：
1A
B
关于 原点 对称的点的坐标的 特点是：
-5 -4 -3
B3
-2 -1A-O13
-2
1 2 3 4 5x
横、纵坐标互为相反数. 已知点坐标 A(1,1)
C1
D(1,3)
关 C1( 3,-3 )
D1( 1,-3 )
探究 1
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3).
猜想：已知点 P(x,y)，它关于 x 轴 对称点的坐标为 P1( x,-y ) 规律：
y
猜想：已知点 P(x,y)，它关于 y C2
4
D32 D
C
轴 对称点的坐标为 P2( -x,y )
2
规律：
B2
A21 A
B
关于 y轴 对称的点的坐标的特 点是：
-5 -4
-3 -2 -1 O -1
-2
1 2 3 4 5x
横坐标互为相反数，纵坐标相等. 已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
4
C(3,3)
D(1,3)
关于y轴对称 的点的坐标
A2( -1,1 )
B2( -3,1 ) C2( -3,3 )
D2( -1,3 )
探究 3
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). (3) 分别作出点 A，B，C，D
y
4
3D
C
关于 原点对称的对应点 A3，B3，
-1
-2
-3
已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
4
C(3,3)
D(1,3)
关于y轴对称 的点的坐标
A2( -1,1 )
B2( -3,1 ) C2( -3,3 )
D2( -1,3 )
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3).
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线. 4、作已知图形关于某直线对称的图形的一般步骤：
① 找点 ② 作点 ③ 连线
课前热身
如下图，试作出四边形ABCD关于直线 l 的对称图形.
l
A O
B
A′ B′
C D
C′ D′
作法：
l (1) 过点A作直线 的垂线，垂足记为点O. 延长AO至A′,使得 OA′=AO；
9、平面内点A（-1,2）和点B（-1,8）关于某直线对称，则
其对称轴是（ C ）.
A．x轴 B．y轴 C．直线y=5 D．直线x=-1
8、在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着 x 轴翻折， 再向右平移 2 个单位称为 1 次变换．如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 (-2,-3)、(-1,-1)、(-3,-1)，把 △ABC 经过连续 9 次这样的变换得到 △A′B′C′，则点 A 的对应点
关于x轴对称 关于y轴对称 的点的坐标 的点的坐标
(-2,0)
(2,0)
(2,3) (-4,2) (-3,-2)
(-2,-3) (4,-2) (3,2)
(0,1) (2,-3)
(0,-1) (-2,3)
关于原点对称 的点的坐标
(2,0)
(-2,3) (4,2) (3,-2)
(0,1) (-2,-3)
① 找点：确定图形中的一些特殊点，如图形的顶点 ② 作点：作出特殊点关于x轴或y轴的对称点 ③ 连线：顺次连接对称点
即 ① 关于 x 轴对称的点的横坐标相等， 纵坐标互为相反数.
② 关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反 数，纵坐标相等.
这个规律可简记为： 关于谁对称谁不变
③ 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标 都互为相反数.
巩固练习 1、分别写出下列各点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标.
点 A (-2,0) B (2,-3) C (-4,-2) D (-3,2) E (0,-1) F (2,3)
3、连线 （顺次连接对称点）.
-4
-5
3、已知点 A (2a+b，5+a)，B (2b-1，-a+b)．
(1) 若点 A、B 关于 x 轴对称，求 a、b 的值； (2) 若 A、B 关于 y 轴对称，求 (4a+4b)2021 的值．
解：(1) ∵ 点A、B关于x轴对称
2a+b=2b-1
∴ 5+a-a+b＝0
2、作出图中多边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴的对称图形.
y
5
4A
3
在直角坐标系中， 作一个图形 关于x轴 或 y轴对称的图形的方法：
2B
1
C
D 1、找点（确定图形中的一些特殊点， 如图形的顶点）.
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
1 2 3 4 5 x 2、作点（作出特殊点关于x轴或y轴 的对称点）.
a+1＞0
∴ 2a-1<0
解得
-1< a <
1 2
∴ a的取值范围是 1＜a＜ 1 2
5、平面直角坐标系内的点 A(-1,2) 与点 B(-1,-2) 关于（ B ）
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
6、已知点 P(x,y)，Q(m,n)，如果 x+m=0，y+n=0，那么
点P、Q 关于 原点 对称．
y
4
3D
C
2
1
B
关于 x 轴 对称的点的坐标 的特点是：
-5 -4
-3
-2
-1
O -1
A11
2
3B14
5x
-2
横坐标相等，纵坐标互为相反数. 已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
- D1
4
C(3,3)
C1
D(1,3)
关于x轴对称 的点的坐标
A1( 1,-1 )
B1( 3,-1 ) C1( 3,-3 )
C2
B(3,1)
-3
D2-
4
C(3,3)
D(1,3)
关于原点对称 的点的坐标
A2( -1,-1)
B2( -3,-1) C2( -3,-3)
D2( -1,-3)
归纳总结
关于坐标轴对称的点的坐标特点
已知点 P(x,y)， 它关于 x 轴对称点的坐标为 P1( x,-y )； 它关于 y 轴对称点的坐标为 P2( -x,y )，它关于 原点 对称点 的坐标为 P3( -x,-y )
作图痕迹．
B2
C1
P
C2 A2
A1 B1
一、关于坐标轴对称的点的坐标特点
① 关于 x 轴对称的点的横坐标相等， 纵坐标互为相反数.
② 关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反 数，纵坐标相等.
③ 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标 都互为相反数.
这个规律可简记为： 关于谁对称谁不变
二、关于x轴或y轴对称的图形的方法：
解得
a＝-3 b＝-5
(2) ∵ A、B关于y轴对称
2a+b＋2b-1＝0
∴ 5＋a＝-a+b
解得
a＝-
7 4
b＝
3 2
∴ (4a＋4b)20216＝(-7＋6)2021＝ -1
4、已知点 P(a+1，2a-1) 关于x轴的对称点在第一象限， 求 a 的取值范围．
解： ∵ 点P关于x轴的对称点在第一象限 ∴ 点P在第四象限