均值不等式(基础)

均值不等式
知识要点： ① ()R b a ab b a ∈≥+,222， ② ()+∈≥+R b a ab b a ,2
③ 2
2222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+()+∈R b a , 1、若b>a>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A ：a>a ＋b 2>ab>b
B ：b>ab>a ＋b 2>a
C ：b>a ＋b 2>ab>a
D ：b>a>a ＋b 2>ab
2、已知a ，b ∈R ，下列不等式不成立的是( )
A ：a ＋b≥2ab
B ：a 2＋b 2≥2ab
C ：ab≤(a ＋b 2)2
D ：|a|＋|b|≥2|ab|
3、若b ＜a ＜0，则下列结论不正确的是( )
A ：a 2＜b 2
B ：ab ＜b 2
C ：b a ＋a b
＞2 D ：|a|－|b|＝|a －b| 4、函数y ＝x ＋1x
(x ＞0)的值域为( )： A ：(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ：(0，＋∞) C ：[2，＋∞) D ：(2，＋∞)
5、下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab
≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )： A ：0 B ：1 C ：2 D ：3
6、若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )：
A ：12
B ：1
C ：2
D ：4 7、f (x )＝x ＋1x －2
(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )： A ：1＋ 2 B ：1＋ 3 C ：3 D ：4
8、已知1,1>>y x ，且4lg lg =+y x ，那么y x lg lg 的最大值是
A ：2
B ：21
C ：4
D ：4
1 9、若0,0>>b a ，且1=+b a ，则ab 的最大值是 。

10、函数1
6322++
=x x y 的最小值是 。

11、函数()0213<+=x x x y 的最大值是 。

12、已知0,0>>y x ，且112=+y x ，则y x +的最小值是 。

13、已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；
14、当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1
的最大值为________． 15、已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1
的最小值为________．
16、已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．
17、已知()+∞∈,0,b a ，求证：（1）ab b a ab ≤+2，（2）2
222b a b a +≥+。

18、已知()+∞∈,0,b a ，求证：()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222
19、已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.
20、某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
21．若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c
－1)≥8.
注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x)＝ax ＋x
b 的单调性。

例：求函数2
y =的值域。

解：令(2)t t =≥，则2
y 1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t
=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)
2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。

所以，所求函数的值域为5
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

练习：求函数f(x)＝19
22++x x 的值域。