高三一轮复习 数列 教案,习题,答案

第五章数列
第一节数列的概念与简单表示法
2019考纲考题考情
1.数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的项。

(2)数列的分类
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。

2.数列的通项公式
(1)数列的通项公式,如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则
a n ＝,⎩⎪⎨
⎪
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2。

1．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1,2,3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值。

2．在数列{a n }中，若
a n 最大，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1，
若a n 最小，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，
a n ≤a n ＋1。

3．递推关系求通项公式的三种方法：
(1)叠加法：对于a n ＋1－a n ＝f (n )型，若f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的和是可求的，可用多式相加法求得a n 。

(2)叠乘法：对于a n ＋1
a n
＝f (n )型，若f (1)·f (2)·…·f (n )的积是可求
的，可用多式相乘法求得a n 。

(3)构造法：对a n ＋1＝pa n ＋q 型，两边同时加上q
p －1
(p ≠1)构造一个公比为p 的等比数列，求得a n 。

一、走进教材
1．(必修5P33A组T4改编)在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋(－1)n a n－1
(n≥2)，则a5等于()
A．3
2B．5
3C．
8
5D．
2
3
解析a2＝1＋(－1)2
a1＝2，a3＝1＋
(－1)3
a2＝
1
2，a4＝1＋
(－1)4
a3＝
3，a5＝1＋(－1)5
a4＝
2
3。

答案 D
2．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________。

答案5n－4
二、走近高考
3．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝
1
1－a n
，a8＝2，则a1
＝________。

解析由题易知a8＝1
1－a7＝2，得a7＝
1
2，a7＝
1
1－a6
＝
1
2，得
a6＝－1；a6＝
1
1－a5
＝－1，得a5＝2，于是可知数列{a n}具有周
期性，且周期为3，所以a1＝a7＝1
2。

答案 1
2
4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和。

若S n ＝2a n
＋1，则S 6＝________。

解析 根据S n ＝2a n ＋1，可得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S 6＝－1×(1－26)1－2
＝－63。

解析：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32。

所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63。

答案 －63 三、走出误区
微提醒：①忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N *或其子集{1,2，…，n }；②求数列前n 项和S n 的最值时忽视项为零的情况；③根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证。

5．在数列－1,0，19，1
8，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项。

解析 依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝5
2(舍)。

答案 10
6．在数列{a n }中，a n ＝－n 2＋6n ＋7，当其前n 项和S n 取最
大值时，n ＝________。

解析 由题可知n ∈N *，令a n ＝－n 2＋6n ＋7≥0，得1≤n ≤7(n ∈N *)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始a n <0，则S 6＝S 7且最大。

答案 6或7
7．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝________。

解析 因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋3－(2n －
1＋3)＝2n －
1(*)。

由于a 1＝
5不满足(*)式，所以
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5，n ＝1，
2n －1
，n ≥2。

答案
⎩⎪⎨⎪⎧
5，n ＝1，
2n －1，n ≥2
考点一 由数列的前n 项求数列的通项公式
【例1】 (1)数列32，－54，78，
－9
16，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝(－1)n
·2n
＋12n
B ．a n ＝(－1)n
·2n ＋1
2n
C ．a n ＝(－1)n ＋1
·2n ＋12n
D ．a n ＝(－1)
n ＋1
·2n ＋12n
(2)(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2
019的末位数字为(
)
A ．8
B ．2
C ．3
D ．7
解析 (1)该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n ＋
1来确定，所以D 选项正确。

(2)由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7。

故选D 。

答案 (1)D (2)D
根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
1．分式中分子、分母的各自特征； 2．相邻项的联系特征； 3．拆项后的各部分特征；
4．符号特征。

应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想。

【变式训练】 (1)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2－(n －1)
B ．a n ＝n 2－1
C ．a n ＝n (n ＋1)2
D ．a n ＝n (n －1)
2
(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，61
64，…，则数列{a n }的一个通项公式是________。

解析 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3
＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1,3,6,10,15，…可以发现：
1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4。

…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n (n ＋1)
2，所以数列1,3,6,10,15，…的通项公式为a n ＝n (n ＋1)
2。

解析：代入n ＝1,2,3进行验证。

(2)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－3
2，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－3
24，…故其通项公式可以为
a n ＝(－1)n
·2n －32n 。

答案 (1)C (2)(－1)n
·2n －32n
考点二 由a n 与S n 的关系求a n
【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________。

(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋2
3，则{a n }的通项公式为a n ＝________。

解析 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1
＝S 1＝4≠2×1＋1。

因此
a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2。

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋2
3，所以a 1＝1。

当n ≥2时，a n
＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1
＝－1
2，所以数列{a n }为首项a 1
＝1，公比q ＝－1
2的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1。

答案
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
4，n ＝1，
2n ＋1，n ≥2
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
1．已知S n 求a n ，常用的方法是利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于a n 的递推关系，再求其通项公式。

2．要验证a 1是否适合a n ，若适合，则统一用a n 表示；若不适合，则通项公式用分段函数的形式表示。

【变式训练】 (1)(2019·合肥市质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 020＝( )
A ．22 020－1
B ．32 020－6
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫122 020－72
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫132 020－103
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________。

解析 (1)因为a 1＝S 1，所以3a 1＝3S 1＝2a 1－3⇒a 1＝－3。

当n ≥2时，3S n ＝2a n －3n,3S n －1＝2a n －1－3(n －1)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝(－2)×(－2)n －
1＝(－2)n ，
则a 2 020＝22 020－1。

故选A 。

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝3n ＋1－3n －
1－1＝2·3n －
1。

显然当n ＝1时，不满足上式。

所以
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，n ＝1，2·
3n －1
，n ≥2。

答案 (1)A
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
4，n ＝1，
2·
3n －1
，n ≥2
考点三 由递推关系求通项公式
【例3】 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，则a 5＝________。

(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________。

(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝
________。

解析 (1)依题意得a n ＋1－a n ＝2n ＋1，a 5＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3
－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25。

(2)由a n ＋1＝2n
a n ，得a n a n －1
＝2n －
1(n ≥2)，所以a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2
·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)
＝2n (n －1)2。

又a 1＝1适合上式，故a n ＝2
n (n －1)
2。

(3)因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋1
2
，
即1
a n ＋1－1a n ＝12。

又a 1＝1，则1a 1
＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1
2为公差的等差数列。

所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12。

所以a n ＝
2
n ＋1(n ∈N *)。

答案 (1)25 (2)2
n (n －1)
2
(3)2
n ＋1
已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
1．当出现a n ＝xa n －1＋y (x ，y 为常数)时，构造等比数列。

2．当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解。

3．当出现a n
a n －1
＝f (n )时，用累乘法求解。

【变式训练】 (1)若数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2 017
等于( )
A ．2 0172 018
B ．2 0162 017
C ．4 0322 017
D ．2 017
1 009
(2)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1
a n
＝d (n ∈N *，d 为
常数)，称{a n }为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015
a 2 013
等于( )
A ．4×2 0152－1
B ．4×2 0142－1
C ．4×2 0132－1
D ．4×2 0132
解析 (1)由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a 2－a 1
＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝(n －1)＋1，以上等式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋(n －1)＋n ，把a 1＝1代入上式得a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝
2n (n ＋1)＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1n －1n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2 017
＝
2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12 018＝2 017
1 009，故选D 。

(2)由题知⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1
a n
＝
2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2
a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －
5)×…×1。

所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1
(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4
027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1。

答案 (1)D (2)C
考点四 数列的性质微点小专题 方向1：数列的周期性
【例4】 (2019·河北石家庄模拟)若数列{a n }满足a 1＝2，a n
＋1＝
1＋a n
1－a n
，则a 2 018的值为( ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D ．13
解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝1＋a 1
1－a 1
＝－3，同
理可得：a 3＝－12，a 4＝1
3，a 5＝2，…，可得a n ＋4＝a n ，则a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3。

故选B 。

答案 B
列出数列的前几项，归纳出周期。

方向2：数列的单调性
【例5】 (1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1011n
，则数列的最大项为________。

(2)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n
n 的最小值为________。

解析 (1)因为
a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1011n
×9－n
11，所以当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，
a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n 。

所以该数列最大项为第9,10项，且
a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫10119。

解析：根据题意，令⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)，即
⎩⎨⎧
(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1011n －1
，(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n
≥(n ＋2)·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
1011n ＋1
，
解得9≤n ≤10。

因为n ∈N *，
所以n ＝9或n ＝10。

所以该数列最大项为第9,10项，且a 9＝a 10
＝10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫10119。

(2)因为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝33＋n 2－n (n ≥2)，当n ＝1时也符合，所以a n ＝n 2
－n ＋33。

所以a n n ＝33n ＋n －1。

构造函数f (x )＝33
x ＋x －
1(x >0)，求导得f ′(x )＝－33
x 2＋1。

令f ′(x )>0，解得x >33；令f ′(x )<0，解得0<x <33。

所以f (x )＝33x ＋x －1在(33，＋∞)上是递增的，在(0，33)上是递减的。

因为n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，f (n )取得最小值。

又因为a 55＝535，a 66＝
636＝212，所以a n n 的最小值为212。

答案
(1)10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫10119
(2)212
解决数列的单调性问题可用以下三种方法
1．用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列。

2．用作商比较法，根据a n ＋1
a n
(a n >0或a n <0)与1的大小关系进
行判断。

3．结合导数的方法判断。

【题点对应练】
1．(方向1)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析 因为a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝1，a 4
＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3。

故选A 。

答案 A
2．(方向2)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋12a n ，则a n
a n －1
(n >1)的最大值为________。

解析 因为S n ＝n ＋12a n ，所以当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1
2
a n －n 2a n －1，即a n a n －1＝n n －1，因为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n n －1单调递减，所以当n
＝2时，a n
a n －1
＝2最大。

答案 2
教师备用题
1．(配合例2使用)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2
＋n ，则a 11＋a 22＋…＋a n
n ＝________。

解析 当n ＝1时，a 1＝12＋1＝2，a 1＝4。

当n ≥2时，a 1
＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n 2＋n ，两式相减可得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，又a 1＝4也符合该式，所以a n ＝4n 2
，则a n n ＝4n ，则a 11＋a 22＋…＋a n
n ＝4×1＋4×2
＋…＋4n ＝2n 2＋2n (n ∈N *)。

答案 2n 2＋2n (n ∈N *)
2．(配合例4使用)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，
且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0。

设M (x )表示整数x 的个位数字，则M (a 2 019)＝________。

解析 由已知得(na n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，因为a n >0，所以a n ＋1－2a n ＝0，则a n ＋1
a n ＝2，因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首
项，2为公比的等比数列，所以a n ＝1×2n －
1＝2n －
1(n ∈N *)。

所以
a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16，a 6＝32，a 7＝64，a 8＝128，…，所以n ≥2时，M (a n )依次构成以4为周期的数列。

所以M (a 2 019)＝M (a 3)＝4，故答案为4。

答案 4
3．(配合例5使用)已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2
＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是________。

解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2
＋2n )＝λn (n ＋2)得a n ＋2n ＋2－
a n
n
＝λ，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 的奇数项与偶数项均是以
λ为公差的等差数列，
因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a n
n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n 2λ＋n 。

当n 为偶数时，a n
n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－1＝n －22
λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n ，当n 为奇数时，由a n <a n ＋1得n 2－n
2λ＋n <(n ＋1)2－2(n ＋1)2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ，若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0。

当n 为偶数时，由a n <a n
＋1，得n 2－2n 2λ＋n <(n ＋1)2－(n ＋1)2λ＋n ＋1，即3λn >－2，所以λ>－2
3n ，即λ≥0。

综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)。

答案 [0，＋∞)
第二节 等 差 数 列
2019考纲考题考情
1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项
若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中
项，且有A ＝a ＋b
2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)
2d 或S n ＝n (a 1＋a n )
2。

3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性)
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd
2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的
差”“同一个常数”。

2．等差数列的前n 项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。

3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1
＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d 。

若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列。

(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2
＋
⎝
⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n
是关于n 的二次函数且常数项为0。

一、走进教材
1．(必修5P 38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100项为________。

解析 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100
＝－8＋99×5＝487。

答案 487
2．(必修5P 46A 组T 5改编)已知等差数列5,427，34
7，…，则前n 项和S n ＝________。

解析 由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝1
14(75n －5n 2)。

答案 1
14(75n －5n 2) 二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和。

若a 4
＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×5
2d ＝48，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2
d ＝4，故选C 。

解析：由等差数列的性质得S 6＝3(a 3＋a 4)＝48⇒a 3＋a 4＝16 ①，又a 4＋a 5＝24 ②，②－①得2d ＝8，所以d ＝4。

故选C 。

答案 C
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。

若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A ．17
2 B ．192 C ．10
D ．12
解析 由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋(10－1)×1＝192。

答案 B 三、走出误区
微提醒：①错用公式致误；②求前n 项和最值的方法不当致误；③错用性质致误。

5．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98
D ．97
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得
⎩⎪⎨⎪⎧
9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝1，
所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋
99＝98。

答案 C
6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________。

解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨
⎪⎧
a 8>0，
a 9<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
7＋7d >0，
7＋8d <0，
解得－1<d <
－7
8。

答案
⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－78
7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2
＋a 8＝________。

解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180。

答案 180
考点一 等差数列的基本运算
【例1】 (1)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________。

(2)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( )
A ．53
B ．32
C ．43
D ．54
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝6＋5d ＝36，所以d ＝6，所以a n ＝3＋(n －1)·6＝6n －3。

(2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即
⎩⎨⎧
2a 1＋d ＝5
2，
3a 1
＋9d ＝52，
解得⎩⎨⎧
a 1＝43，
d ＝－1
6，
故甲得4
3钱。

故选C 。

答案 (1)a n ＝6n －3 (2)C
等差数列运算问题的通性通法
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解。

2．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。

【变式训练】 (1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )
A ．55
B ．11
C ．50
D ．60
(2)已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )
A ．1720
B ．5960
C ．1
D ．67
66
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×10
2d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55。

故选A 。

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6
＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55。

故选A 。

(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 1＋6d ＝3，
3a 1＋21d ＝4，
解
得
⎩
⎨⎧
a 1＝1322，d ＝766。

所以中间一项为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝67
66。

故选D 。

答案 (1)A (2)D
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝－2
3，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4
(n
∈
N *)。

(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ＋1是等差数列；
(2)求{a n }的通项公式。

解 (1)证明：因为a n ＋1＋1＝－2a n －33a n ＋4＋1＝a n ＋1
3a n ＋4，所以
1a n ＋1＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1
a n ＋1
＝3，所以
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝3，公差为
3的等差数列。

(2)由(1)得1a n ＋1
＝3n ，所以a n ＝1
3n －1。

判断数列{a n }是否为等差数列，通常有两种方法：①定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)，用定义法证明等差数列时，常选用两个式子a n ＋1－a n ＝d 或a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”；②等差中项法，证明2a n ＝a n －1＋a n ＋
1(n ≥2)。

【变式训练】 (2019·齐齐哈尔八中月考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个根。

(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是
等差数列。

解 (1)因为a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个根， 所以a 1＝1，a 2＝5，
所以等差数列{a n }的公差为4， 所以S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n 。

(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n
n ＋c
＝2n 2
－n n －12＝2n ， 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2， 所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列。

考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．2＋log 25
(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672＝2，S 1 344＝12，则S 2 016＝( )
A ．22
B ．26
C ．30
D ．34
解析 (1)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4
＋a 7＝a 5＋a 6＝4，则2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×
4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×
4＝20。

(2)由等差数列的性质知，S 672，S 1 344－S 672，S 2 016－S 1 344成等差数列，则2(S 1 344－S 672)＝S 672＋S 2 016－S 1 344，即2×(12－2)＝2＋S 2 016－12，解得S 2 016＝30。

答案 (1)B (2)C
1．利用等差数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。

2．在等差数列中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列，本例(2)应用了这一个性质。

【变式训练】 (1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9
＋
a 11＝45，S 3＝－3，那么a 5＝( )
A ．4
B ．5
C ．9
D ．18
(2)两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n
T n
＝
7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20
b 7＋b 15
＝________。

(3)一个正项等差数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为( )
A ．18
B ．12
C ．10
D ．6
解析 (1)由题意可得a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝45，S 3＝3a 2
＝－3，则a 7＝9，a 2＝－1，则数列的公差d ＝a 7－a 27－2＝2，故a 5
＝a 2＋3d ＝5。

(2)因为数列{a n }和{b n }均为等差数列，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝
a 1＋a 21
b 1＋b 21
＝(a 1＋a 21)×21
2(b 1＋b 21)×212
＝S 21T 21
＝7×21＋221＋3＝149
24。

(3)因为{a n }是等差数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，即2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )，因为S n ＝3，S 3n ＝21，所以2(S 2n －3)＝3＋21－S 2n ，解得S 2n ＝10。

故选C 。

答案 (1)B (2)149
24 (3)C
考点四 等差数列的最值问题微点小专题 方向1：等差数列前n 项和的最值
【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，
已知a 1＝－7，S 3＝－15。

(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值。

解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15。

由a 1＝－7得d ＝2。

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9。

(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16。

所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16。

求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数到的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值。

方向2：等差数列项的最值
【例5】 (2019·安徽淮北模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 018<S 2 016，S 2 017<S 2 018，则S n <0时n 的最大值是( )
A ．2 017
B ．2 018
C ．4 033
D ．4 034
解析 因为S 2 018<S 2 016，S 2 017<S 2 018，所以a 2 018＋a 2 017<0，a 2 018>0。

所以S 4 034＝4 034(a 1＋a 4 034)2＝2 017(a 2 018＋a 2 017)<0，S 4 035
＝4 035(a 1＋a 4 035)2＝4 035a 2 018>0，可知S n <0时n 的最大值是4 034。

故选D 。

答案 D
本题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值范围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来。

【题点对应练】
1．(方向1)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析 由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d
2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d
2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值。

故选C 。

答案 C
2．(方向2)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________。

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又
a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＝11，
a 6＝25
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝25，
a 6＝11，
当⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝11，a 6＝25
时，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－10，
d ＝7，
此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，
a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1
的最小值；当⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＝25，
a 6＝11
时，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝46，
d ＝－7，
此时
a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值。

综上，a n a n ＋1的最小值为－12。

答案 －12
教师备用题
1．(配合例2使用)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n
＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2。

(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式。

解 (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n
－1
S n －1＝2，
又1S 1＝1
a 1
＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列。

(2)由(1)可得1S n
＝2n ，所以S n ＝1
2n (n ∈N *)。

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1
2(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－
1
2n (n －1)。

当n ＝1时，a 1＝1
2不适合上式。

故a n ＝
⎩
⎨⎧
1
2，n ＝1，
－12n (n －1)
，n ≥2。

2．(配合例3使用)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3
b 8＋b 4的
值为________。

解析 因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝
a 9
2b 6
＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6。

故a 6b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11
＝2×11－34×11－3＝1941。

答案19 41
3．(配合例4使用)(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是()
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________。

解析(1)解法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0。

根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时S n最大。

解法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n(n∈N*)。

根据二次函数的性质，知当n＝7时S n最大。

(2)由a n＝2n－10(n∈N*)知{a n}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5。

所以n≤5时，a n≤0；当n>5时，a n>0。

所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130。

答案(1)C(2)130
4．(配合例5使用)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，
T n，且a n>0,6S n＝a2n＋3a n(n∈N*)，b n＝
2an
(2an－1)(2an＋1－1)
，若
∀n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是()
A．1
7B．1
49
C．49 D．8
441
解析已知6S n＝a2n＋3a n(n∈N*)，6S n－1＝a2n－1＋3a n－1(n∈N*)，两式作差得6a n＝a2n－a2n－1＋3a n－3a n－1，即a2n－a2n－1－3a n－3a n－1
＝0，即(a n －a n －1－3)(a n ＋a n －1)＝0，由a n >0可得a n －a n －1＝3，故数列{a n }是等差数列，且6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3，由等差数
列的通项公式得到a n ＝3n (n ∈N *
)，故b n ＝8n
(8n －1)(8n ＋1
－1)
＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1(n ∈N *)，裂项求和可得T n ＝17⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
7－18n ＋1－1＝149－
17·18n ＋
1－1
(n ∈N *
)，由条件k >T n 恒成立，因为T n <149，所以k ≥149，即k 的最小值为149。

答案 B
第三节 等 比 数 列
2019考纲考题考情
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。

②符号语言：a n ＋1
a n
＝q (n ∈N *，q 为非零常数)。

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与
b 的等比中项。

即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab 。

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －
1。

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1。

3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (m ，n ∈N *)。

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n
＝a p ·a q 。

(等积性)
特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p 。

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)。

(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k 。

(6)若⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1>0，
q >1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1<0，
0<q <1则等比数列{a n }递增。

若⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1>0，0<q <1或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1<0，q >1则等比数列{a n }递减。

1．若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 也是等比数列。

2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，
还要验证a 1≠0。

3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误。

一、走进教材
1．(必修5P 54A 组T 8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________。

解析 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4。

所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48。

答案 12,48
2．(必修5P 61A 组T 1改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5
＝31
32，则{a n }的通项公式a n ＝________。

解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5
＝－1
32，因为S 5，S 10－S 5，
S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5
，所以q 5
＝－132，q ＝－1
2，则
a n ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1。

答案
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1 二、走近高考
3．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。

十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12
2。

若第一个单音的频率为f ，则
第八个单音的频率为( )
A ．32f
B ．322f
C ．
1225
f
D ．
12
27f
解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12
2，第一个单音的频率为f ，由等比数列
的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为
122
的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f ·(122)8－
1＝12
27f ，故选D 。

答案 D
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4
－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1
C ．12
D ．18
解析 因为{a n }为等比数列，所以a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24，得a 4＝2，而a 1＝14，a 4a 1
＝214＝8＝q 3
，得公比q ＝2，所以a 2＝14×2＝
1
2。

故选C 。

答案 C 三、走出误区
微提醒：①“G 2＝ab ”是“a ，G ，b ”成等比数列的必要不充分条件；②忽视q ＝1的特殊情况；③对数的运算性质不熟练。

5．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________。

解析 设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8。

答案 ±8
6．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n
＝________。

解析 因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列。

当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时S n ＝a (1－a n )1－a。

答案 ⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，a ＝1，a (1－a n )1－a
，a ≠0，a ≠1
7．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________。

解析 因为数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，所以a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50。

答案 50
考点一 等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知等比数列{a n }是递增数列，a 1＋a 7＝65，a 2a 6＝64，则公比q ＝( )
A ．±4
B ．4
C ．±2
D ．2
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3。

①求{a n }的通项公式；
②记S n 为{a n }的前n 项和。

若S m ＝63，求m 。

(1)解析
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 7＝65，a 2a 6＝64
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 7＝65，a 1a 7＝64，
又等比数列
{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
a 7＝64。

所以q ＝6
64＝2。

故选D 。

答案 D
(2)解 ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －
1。

由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2。

故a n ＝(－2)n －
1或a n ＝2n －
1。

②若a n ＝(－2)n －
1，则S n ＝1－(－2)n
3。

由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解。

若a n ＝2n －
1，则S n ＝2n －1。

由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6。

综上，m ＝6。

1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解。

2．等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q。

【变式训练】 (1)S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4，S 3，S 5成等差数列，则{a n }的公比q 的值为( )
A ．1
2 B ．2 C ．－12
D ．－2
(2)(2019·安徽质量检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。

羊主曰：“我羊食半马。

”马主曰：“我马食半牛。

”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。

羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。

”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。

”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
A ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝507
B ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝50
7 C ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝50
7 D ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝50
7
解析 (1)由S 4，S 3，S 5成等差数列，得2S 3＝S 5＋S 4，即2(a 1
＋a 2＋a 3)＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 5，整理得a 5＝－2a 4，所以a 5
a 4＝
－2，即q ＝－2。

故选D 。

(2)由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b ＝1
2a ，c ＝12b ，三者之和为50升，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝50
7。

故选D 。

答案 (1)D (2)D
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3
＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)。

(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列。

解(1)因为a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
所以a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
所以a3＝8。

综上，a2＝4，a3＝8。

(2)证明：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①
所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1
＝(n－2)S n－1＋2(n－1)。

②
①－②，得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n ＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2。

所以－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，
所以S n＋2＝2(S n－1＋2)。

因为S1＋2＝4≠0，所以S n－1＋2≠0，
所以
S n＋2
S n－1＋2
＝2，
故{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。

1．证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。

2．利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证。

【变式训练】已知数列{a n}的首项a1>0，a n＋1＝
3a n
2a n＋1
(n
∈N *
)，且a 1＝2
3。

(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
n 项和T n 。

解 (1)记b n ＝1
a n －1，则
b n ＋1b n
＝1
a n ＋1－1
1a n －1＝2a n ＋13a n －11a n －1＝
2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝1
3
，
又b 1＝1a 1
－1＝32－1＝12，
所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列。

所以1a n －1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
， 即a n ＝2·3n －
1
1＋2·3n －1。

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －
1
1＋2·3n －1。

(2)由(1)知，1a n －1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
， 即1a n
＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
＋1。

所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
n 项和
T n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－13n 1－13
＋n ＝34⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－13n ＋n 。

考点三 等比数列的性质及应用微点小专题
方向1：等比数列项的性质应用
【例3】(1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n}中，
a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则a2a16
a9的值为()
A．－2＋2
2B．－ 2
C． 2 D．－2或 2
(2)等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________。

解析(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以
a3<0，a15<0，则a9＝－2，所以a2a16
a9＝
a29
a9＝a9＝－2。

(2)由题意知a1a5＝a23＝4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以a3＝2。

所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a23)2·a3＝a53＝25。

所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5。

答案(1)B(2)5
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度。

2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形。

此外，解题时注意设而不求思想的运用。

方向2：等比数列前n项和的性质
【例4】(1)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________。

(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6
S3＝
1
2，则
S9
S3＝
________。

解析
(1)由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
S 奇＋S 偶＝－240，
S 奇－S 偶＝80，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
S 奇＝－80，S 偶＝－160，
所以q ＝S 偶S 奇＝－160
－80
＝2。

(2)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3
＝1
2，所以{a n }的公比
q ≠1。

由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12，得q 3
＝－12，所以S 9S 3
＝1－q 9
1－q 3＝34。

解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3
＝1
2，所以公比q ≠1，
所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3
＝34。

答案 (1)2 (2)3
4
1．项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q 。

(1)若共有2n 项，则S 偶
S 奇
＝q ；
(2)若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q
1＋q (q ≠1且q ≠－
1)，S 奇－a 1S 偶
＝q 。

2．等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也成等比数列，公比为q k (q ≠－1)。

【题点对应练】。