江苏省南通市海安高级中学2016-2017高一下期末数学试题

2016-2017学年末学业质量监测
高一数学
参考公式：锥体的体积1
3
V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高.
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.函数sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为__________． 2.已知集合{}{}|11,1,0,2A x x B =-<<=-，则A B =___________．
3.函数y =的定义域为___________．
4.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的大小为_________．
5.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm ，则该棱锥的体积为__________3cm .
6.设,a b 为单位向量，且,a b 的夹角为
23
π
，则()a b b +的值为_________. 7.已知方程24x x =-的根在区间()(),1k k k Z +∈上，则k 的值为_________． 8.
()10
1
2
3n
n =+∑的值为_________．
9.在正方体1111ABCD A B C D -中，与1A C 垂直的面对角线的条数是___________． 10.设函数()(),1x
f x ka
k R a -=∈>的图象过点()()0,8,3,1A B ，则log a k 的值为__________．
11.如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为__________．
12.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.
13.已知sin cos 4cos sin 055
ππαα-=，则sin 53cos 10παπα⎛
⎫- ⎪
⎝⎭⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的值为 ．
14.已知正数,x y 满足11410x y x y +
++=，则11
x y
+的最大值为 ． 二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别在棱11,BC B C 上（均异于端点），且
111,AD C D A E C D ⊥⊥.
（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ； （2）求证：1//A E 平面1ADC .
16.设,OA OB 不共线，且(),OC aOA bOB a b R =+∈. （1）若12
,33
a b =
=，求证：,,A B C 三点共线； （2）若,,A B C 三点共线，问：a b +是否为定值？并说明理由. 17. 已知ABC ∆的外接圆的半径为1，A 为锐角，且3
sin 5
A =. （1）若2AC =，求A
B 的长； （2）若()1
tan 3
A B -=-
，求tan C 的值. 18. 某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产
x
（百套）的销售额（单位：万元）()20.4 4.20.8,059
14.7,53x x x P x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨->⎪
-⎩
. （1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润； （2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？
（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）
19. 设a 为实数，函数()()2,f x x x a a x R =---∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；
（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；
（3）若函数()f x 在区间[]2,2-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.
20.设等差数列{}n a 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 满足
*1,n
n n
S b n N a =
-∈. （1）若255,40a S ==，求2b 的值； （2）若数列{}n b 为等差数列，求n b ；
（3）在（1）的条件下，求证：数列{}n a 中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.
试卷答案
一、填空题
1. π
2. {}0
3. []3,4-
4. 3π
12 7. 1 8. 2076 9. 6
10. 3 11.
17 12. 8 13. 3
5
14. 9
二、解答题
15. 证明：
（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥． 又1AD C D ⊥，1
11CC C D C =，11,CC C D ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，
又AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；
（2）因为11A E C D ⊥，由（1）同理可得，1A E ⊥平面11BCC B ， 又由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A E AD ，
又1A E ⊄平面1ADC ，AD ⊂平面1ADC ， 所以1//A E 平面1ADC ． 16．证明：（1）当12,33a b ==时，12
33
OC OA OB =+， 所以
()()
21
33
OC OB OA OC -=-， 即2BC CA =， 所以//BC CA ， 所以,,A B C 三点共线．
（2）a b +为定值1，证明如下： 因为,,A B C 三点共线，所以//AC AB ， 不妨设()AC AB R λλ=∈，
所以()
OC OA OB OA λ-=-，即()1OC OA OB λλ=-+， 又OC aOA bOB =+，且,OA OB 不共线，
由平面向量的基本定理，得1a b λ
λ
=-⎧⎨=⎩，
所以1a b +=（定值）．
17．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===得， 362sin 2155
a R A ==⨯⨯=，
因为3sin ,0,42A A π⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，所以4cos 5A ===，
在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc
+-=得，2
2
2
6245522c c ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⨯⨯，
解得8
5
c =
，所以AB 的长为85；
（2）由（1）知，3sin 3
5tan 4cos 4
5
A A A ===，
所以()()()31tan tan 1343tan tan 311tan tan 9
143
A A
B B A A B A A B
+--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． 在ABC ∆中，A B C π++=，
所以()313tan tan 7949tan tan 313tan tan 13
149
A B C A B A B +
+=-+==
=-⨯-． 18．解：（1）当6x =时，利润()()()9
626114.7261 3.763
y P =-+⨯=--+⨯=-（万元）
； （2）考虑05x <≤时，利润()()()2
2
20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-，
令2
0.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，所以min 1x =；
（3）当05x <≤时，由（2）知()2
20.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，min 3.6y =（万元）， 当5x >时，利润()()()99214.729.7333y P x x x x x x ⎛
⎫=-+=-
-+=--+ ⎪--⎝
⎭， 因为)
9
9363
3x x x -+
≥=--（当且仅当9
33
x x -=-，即6x =时，取“=”），
所以max 3.7y =（万元），
综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．
答：（1）生产6百套此款服装，该厂获得利润3.7万元；（2）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（3）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 19．证明：（1）假设()f x 是R 上的奇函数， 则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得()00f =，即20a a -=，解得0a =，
此时()()2f x x x =-，所以()()13,11f f -=-=-，从而()()11f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；
（2）()()()2
22,23,x a x a x a
f x x a x a x a ⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩
，
①当2a >时，对称轴22a x a +=
<，所以()f x 在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦上单调递减，在2,2a a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[),a +∞上单调递减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=
>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,
2a a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在2,2a +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，不符； ③当2a =时，对称轴2
2
a x a +=
=，所以()f x 在(],2-∞上单调递减，在[)2+∞，
上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数．
综上，2a =．
（3）①当2a =时，由（2）知，()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知，2
22
a x a +<=
<，所以()f x 在[]2,2-上单调递减， 所以()f x 在[]2,2-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知，222a x a +>=
>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调
递增，在2,22a +⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减． 因为()f x 在区间[]2,2-上恰有3个零点，
所以()()()2
12222380,0,024a a a f a f a a f -++⎛⎫-=+>=-<=
> ⎪-⎝⎭
， ()20f a =-<
，解得04a <<-
4a >+又2a <
，故04a <<+，综上，实数a 的
取值范围是(0,4-．
20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以**
1,a N d N ∈∈，
（1）由255,40a S ==得，1154
5,5402
a d a d ⨯+=+=， 解得12,3a d ==，所以21222215
S a b a a =
-==； （2）因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即32121
32111S
S S a a a ⎛⎫-=-+-
⎪⎝⎭，
所以
()()
111122312a d a d a d a d
++=+
++，解得1a d =（0d =已舍）， 此时，()
1
1112112
n n n n n a S n b a na +-=-=-=； （3）由（1）知，等差数列{}n a 的通项公式()*
231,n a n n N =+-∈，
下证：对任意的*n N ∈，1
24n n b -=⨯都是{}n a 中的项，
证明：当2n ≥时，因为12
2
41
1444
3
n n ---++++=，
所以()()1
2
22224
2314441232144411n n n n b ---⎡⎤⎡⎤=⨯=⨯+++++=+++++-⎣
⎦⎣
⎦
(
)
22
21444
1
n a -+++
++=，其中(
)2
2*214441n N -+++++∈，
又1n =时，112b a ==，
所以对任意的*
n N ∈，124n n b -=⨯都是{}n a 中的项，
所以，数列{}n a中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．。