广西省梧州市2019-2020学年第四次中考模拟考试数学试卷含解析

广西省梧州市2019-2020学年第四次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，AB=10，BC=8，DE=4.5，则△DEF的周长是（）
A．9.5 B．13.5 C．14.5 D．17
2．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
3．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A．335°°B．255°C．155°D．150°
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．B．C．D．
5．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到红球的概率是1
5
，则n的值为（）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）
A．54°B．64°C．27°D．37°
7．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）
A．1
2
B．
1
4
C．
1
6
D．
1
12
8．剪纸是水族的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
9．我省2013年的快递业务量为1．2亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2012年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到2．5亿件，设2012年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1．2（1＋x）＝2．5
B．1．2（1＋2x）＝2．5
C．1．2（1＋x）2＝2．5
D．1．2（1＋x）＋1．2（1＋x）2＝2．5
10．如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB=（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
11．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
12．在下列交通标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为____．
14．如图，矩形ABCD中，如果以AB为直径的⊙O沿着BC滚动一周，点B恰好与点C重合，那么BC AB
的值等于________．（结果保留两位小数）
15．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____．
17．如图，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程______
18．分解因式：x2y﹣xy2=_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
求证：DE是⊙O的切线；若DE＝3，CE＝2. ①求BC
AE
的值；②若点G为AE上
一点，求OG+1
2
EG最小值．
20．（6分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为_____人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是_____；
（3）若全校九年级共有学生800人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？21．（6分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．
22．（8分）我们来定义一种新运算：对于任意实数x、y，“※”为a※b＝（a+1）（b+1）﹣1.
（1）计算（﹣3）※9
（2）嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律，你认为她的判断（正确、错误）
（3）请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明．
23．（8分）计算：-2-2 - 12+
2 1sin60π
3
⎛⎫
-︒+-
⎪
⎝⎭
24．（10分）如图1，抛物线y1=ax1﹣1
2
x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，
3
4
），
抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线
y1．
（1）求抛物线y1的解析式；
（1）如图1，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．
25．（10分）如图1，已知扇形MON2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.
（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.
26．（12分）某水果批发市场香蕉的价格如下表
购买香蕉数(千克) 不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上
每千克的价格6元5元4元
张强两次共购买香蕉50千克,已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克?
27．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的最大值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】
∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，
∴DE=1
2
AC=4.1，DF=
1
2
BC=4，EF=
1
2
AB=1，
∴△DEF的周长=1
2
（AB+BC+AC）=
1
2
×（10+8+9）=13.1．
故选B．
【点睛】
考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
2．C
【解析】
由题意得，180°(n-2)=120°n⨯,
解得n=6.故选C.
3．B
【解析】
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故选B．
点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．
4．B
【解析】
试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．
考点：由三视图判断几何体．
5．B
【解析】
∵摸到红球的概率为1
5
，
∴
21 25
n
=
+
，
故选B．
6．C
【解析】
【分析】
由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【详解】
解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝1
2
∠BOC＝27°
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．C
【解析】
【分析】
画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
21 126
．
故答案为C．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
9．C
【解析】
试题解析：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.2（1+x）2=
2.5，
故选C．
10．B
【解析】
【分析】
根据题意得到△AOB是等边三角形，求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵OA=AB，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
故选B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理和等边三角形的判定，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
11．D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
12．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A图形不是中心对称图形；
B不是中心对称图形；
C是中心对称图形，也是轴对称图形；
D是轴对称图形；不是中心对称图形
故选C
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
【分析】
根据题意找到等量关系x2﹣6x+b=（x+a）2﹣5，根据系数相等求出a,b,即可解题.
【详解】
解：由题可知x2﹣6x+b=（x+a）2﹣5，
整理得：x2﹣6x+b= x2+2ax+a2-5,
即-6=2a,b= a2-5,
解得：a=-3,b=4,
∴a+b=1.
【点睛】
本题考查了配方法的实际应用,属于简单题,找到等量关系求出a,b是解题关键.
14．3.1
【解析】
分析：由题意可知：BC的长就是⊙O的周长，列式即可得出结论．
详解：∵以AB为直径的⊙O沿着BC滚动一周，点B恰好与点C重合，∴BC的长就是⊙O的周
长，∴π•AB=BC，∴BC
AB
=π≈3.1．
故答案为3.1．
点睛：本题考查了圆的周长以及线段的比．解题的关键是弄懂BC的长就是⊙O的周长．
15．k＜1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式结合题意进行分析解答即可.
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：.
故答案为：.
【点睛】
熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
16．5 3
【解析】
【分析】
设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．
【详解】
设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3-x）2+12，
解得：x=5
3
，
故答案为5
3
．
17．将线段AB绕点B逆时针旋转90°，在向右平移2个单位长度
【解析】
【分析】
根据图形的旋转和平移性质即可解题.
【详解】
解：将线段AB绕点B逆时针旋转90°，在向右平移2个单位长度即可得到A′B′、
【点睛】
本题考查了旋转和平移,属于简单题,熟悉旋转和平移的概念是解题关键.
18．xy（x﹣y）
【解析】
原式=xy（x﹣y）．
故答案为xy（x﹣y）．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）证明见解析（2）①2
3
②3
【解析】
【分析】
（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；
（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形
的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以
2
3 BC CE
AE DE
==；
②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故
四边形AOEF是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,
根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+
1
2
EG
最小值是3. 【详解】（1）连接OE
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO ∴OE∥AF
∵DE⊥AF，∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）①解：连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O与BC相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE∽△BEC
∴
2
3 BC CE
AE DE
==
②连接OF，交AE于G，由①，设BC=2x，则AE=3x
∵△BEC∽△ABC ∴BC CE AC BC
=
∴
22 322
x
x x
=
+
解得：x1=2，
21 2
x=-（不合题意，舍去）
∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8
∴AB=43BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形
由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,根据两点之间线
段最短，当F、G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3.
故OG+1
2
EG最小值是3.
【点睛】
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
20．（1）50；4；5；画图见解析；（2）144°；（3）64
【解析】
【分析】
（1）根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据求出的人数补全条形统计图即可；
（2）求出课外阅读时间为5小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数；（3）求出总人数与课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比的积即可．
【详解】
解：（1）∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，
∴
10
20%=50（人）．
∵课外阅读4小时的人数是32%，
∴50×32%=16（人），
∴男生人数=16﹣8=8（人）；
∴课外阅读6小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人），
∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，∴中位数是4小时，众数是5小时．
补全图形如图所示．
故答案为50，4，5；
（2）∵课外阅读5小时的人数是20人， ∴2050
×360°=144°． 故答案为144°；
（3）∵课外阅读6小时的人数是4人，
∴800×450
=64（人）． 答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有64人．
【点睛】
本题考查了统计图与中位数、众数的知识点，解题的关键是熟练的掌握中位数与众数的定义与根据题意作图.
21．() 1200名；()2见解析;()336o
；(4)375. 【解析】
【分析】
()1根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生；
()2根据()1中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整； ()3根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； ()4根据统计图中的数据可以估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．
【详解】
解：()113065%200÷=，
答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；
()2反对的人数为：2001305020--=，
补全的条形统计图如右图所示；
()3扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：
2036036200⨯=o o ； (4)501500375200
⨯=， 答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（1）-21；（2）正确；（3）运算“※”满足结合律
【解析】
【分析】
（1）根据新定义运算法则即可求出答案．
（2）只需根据整式的运算证明法则a ※b=b ※a 即可判断．
（3）只需根据整式的运算法则证明（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）即可判断．
【详解】
（1）（-3）※9=（-3+1）（9+1）-1=-21
（2）a ※b=（a+1）（b+1）-1
b ※a=（b+1）（a+1）-1，
∴a ※b=b ※a ，
故满足交换律，故她判断正确；
（3）由已知把原式化简得a ※b=（a+1）（b+1）-1=ab+a+b
∵（a ※b ）※c=（ab+a+b ）※c
=（ab+a+b+1）（c+1）-1
=abc+ac+ab+bc+a+b+c
∵a ※（b ※c ）=a （bcv+b+c ）+（bc+b+c ）+a=abc+ac+ab+bc+a+b+c
∴（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）
∴运算“※”满足结合律
【点睛】
本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算的法则，本题属于中等题型．
23． 742-
【解析】
【分析】
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式=171144-
-+=-【点睛】
本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键.
24．（1）y 1=-14x 1+12 x-14；（1）存在，T （1，34
+），（1，34-），（1，﹣778）；（3）y=﹣12x+34或y=﹣1124
x -．
【解析】
【分析】
（1）应用待定系数法求解析式；
（1）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；
（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．
【详解】
解：（1）由已知，c=3
4
，
将B（1，0）代入，得：a﹣13
24
=0，
解得a=﹣1
4
，
抛物线解析式为y1=1
4
x1-
1
2
x+
3
4
，
∵抛物线y1平移后得到y1，且顶点为B（1，0），
∴y1=﹣1
4
（x﹣1）1，
即y1=-1
4
x1+
1
2
x-
1
4
；
（1）存在，
如图1：
抛物线y1的对称轴l为x=1，设T（1，t），
已知A（﹣3，0），C（0，3
4），
过点T作TE⊥y轴于E，则
TC1=TE1+CE1=11+（3
4
）1=t1﹣
3
2
t+
25
16
，
TA 1=TB 1+AB 1=（1+3）1+t 1=t 1+16，
AC 1=15316， 当TC=AC 时，t 1﹣32t+2516=15316， 解得：t 1=31374
+，t 1=3137-； 当TA=AC 时，t 1+16=
15316
，无解； 当TA=TC 时，t 1﹣32t+2516=t 1+16， 解得t 3=﹣778
； 当点T 坐标分别为（1，
3137+），（1，3137-），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形； （3）如图1：
设P （m ，2113424m m --+），则Q （m ，2111424
m m -+-）， ∵Q 、R 关于x=1对称 ∴R （1﹣m ，2111424m m -
+-）， ①当点P 在直线l 左侧时，
PQ=1﹣m ，QR=1﹣1m ，
∵△PQR 与△AMG 全等，
∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0，
∴P （0，34
），即点P 、C 重合， ∴R （1，﹣14
）， 由此求直线PR 解析式为y=﹣
12x+34，
当PQ=AM 且QR=GM 时，无解；
②当点P 在直线l 右侧时，
同理：PQ=m ﹣1，QR=1m ﹣1，
则P （1，﹣
54），R （0，﹣14
）， PQ 解析式为：y=﹣1124x -； ∴PR 解析式为：y=﹣
12x+34或y=﹣1124x -． 【点睛】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，熟练掌握相关知识，应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键．
25．(1)证明见解析;(2)
=
y 0<≤x 2=x . 【解析】
分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论；
（2）先判断出BD=DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE=12
x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD
==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．
详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM=∠BAM=90°．
∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M ，∴∠ABM=∠DOM ．
∵∠OAC=∠BAM ，OC=BM ，∴△OAC ≌△BAM ，
∴AC=AM ．
（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．
∵OB=OM ，OD ⊥BM ，∴BD=DM ．
∵DE ∥AB ，∴
DM ME BD AE =，∴AE=EM ．∵AE=12
x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==，
∴
2DM OA y OD OE =∴=，（0x ≤＜ （3）（i ） 当OA=OC 时．∵111222DM BM OC x =
==．在Rt △ODM 中，
OD ==．
∵21212
24
x DM y OD x x =∴=+-，．解得142x -=，或142x --=（舍）． （ii ）当AO=AC 时，则∠AOC=∠ACO ．
∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB=∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．
（ⅲ）当CO=CA 时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．
即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为142-．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．
26．第一次买14千克香蕉,第二次买36千克香蕉
【解析】
【分析】
本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数=50；第一次出的钱数+第二次出的钱数=1．对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论：①当0＜x≤20，y≤40；②当0＜x≤20，y ＞40③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2．
【详解】
设张强第一次购买香蕉xkg ，第二次购买香蕉ykg ，由题意可得0＜x ＜3．
则①当0＜x≤20，y≤40，则题意可得
5065264x y x y +⎧⎨+⎩
＝＝． 解得1436x y ⎧⎨⎩
＝＝． ②当0＜x≤20，y ＞40时，由题意可得
5064264x y x y +⎧⎨+⎩＝＝．
解得3218
x y ⎧⎨⎩＝＝．（不合题意，舍去） ③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2，此时张强用去的款项为
5x+5y=5（x+y ）=5×50=30＜1（不合题意，舍去）；
④当20＜x≤40 y ＞40时，总质量将大于60kg ，不符合题意，
答：张强第一次购买香蕉14kg ，第二次购买香蕉36kg ．
【点睛】
本题主要考查学生分类讨论的思想．找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答．
27．（1）y=12x 2﹣32x ﹣2；（2）9；（3）Q 坐标为（﹣121655，）或（4
﹣55，）或（2，1）或（
4+5，
）． 【解析】
试题分析：()1把点()()1040A B -，，，代入抛物线2
2y ax bx =+-，求出,a b 的值即可. ()2先用待定系数法求出直线BE 的解析式，进而求得直线AD 的解析式，设11
,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PG ,用配方法求出它的最大值， 联立方程2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，求出点D 的坐标，ADP S V 最大值=12D A PG x x ⨯⨯-， 进而计算四边形EAPD 面积的最大值；
()3分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）∵()()1040A B -，，，在抛物线2
2y ax bx =+-上， ∴2016420,
a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得123.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线的解析式为213222
y x x ．=--
（2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，
∵()()4002B E ，，，，
∴直线BE 的解析式为122
y x =-+， ∵AD ∥BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-
+， 代入()10A ，-，可得12b =-， ∴直线AD 的解析式为1122y x ，=-
- 设11,22G m m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则()221113*********PG m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当x=1时，PG 的值最大，最大值为2， 由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
， 解得10,x y =-⎧⎨=⎩ 或32.x y =⎧⎨=-⎩ ∴()3,2D -，
∴ADP S V 最大值=1124422
D A PG x x ⨯⨯-=⨯⨯=， 15252
ADB S =⨯⨯=V ， ∵AD ∥BE ，
∴5ADE ADB S S ==V V ，
∴S 四边形APDE 最大=S △ADP 最大+459ADB S V ．=+=
（3）①如图3﹣1中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．
∵42OB OE ==，， ∴452525OE OB BE OT BE ⋅====， ∴85BT TQ == ∴165BQ = 可得1216,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； ②如图3﹣2中，当1BO BQ =时,185454.Q ⎛ ⎝
⎭， 当22OQ BQ =时，()221Q ，，
当3BO BQ =时，Q 385454.⎛+ ⎝⎭
综上所述，满足条件点点Q 坐标为1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或85454，⎛ ⎝
⎭或()21，或85454.⎛ ⎝⎭。