高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学案(含解析

3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
自主预习·探新知
情景引入
加法是一种累积，使人从小到大，从弱到强，从单纯走向复杂；减法是一种删节，在经过一定的积累以后，删去多余的枝枝叶叶，以化解心灵的重负；乘法是一种跨越，是实现人生跨越的秘诀；除法是一种卸载，一切不道德的尘埃，必须依靠理性来及时卸载，以剔除心灵的稗种．这就是人生的四则运算．
复数作为数系大家庭的一员，它的四则运算又是怎样的呢？
新知导学
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z 1、z 1、z 3∈C ，设OZ 1→、OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )相对应，且OZ 1→
、OZ 2→
不共线
加法 减法 运算 法则
z 1＋z 2 ＝(a ＋c )＋(b ＋d )i
z 1－z 2 ＝(a －c )＋(b －d )i
几何 意义
复数的和z 1＋z 2与向量OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →
的坐标
对应
复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→
－
OZ 2→＝Z 2Z 1→
的坐标对应
运算律
交换律
z 1＋z 2＝z 2＋__z 1__
结合律
(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(__z 2＋z 3__)
预习自测
1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( B )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析]z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．
2．复数(1＋i)－(2－i)－3i等于(A)
A．－1－i B．1－i
C．i D．－i
[解析](1＋i)－(2－i)－3i＝(1－2)＋(i＋i－3i)＝－1－i.故选A．
3．(2020·全国卷Ⅰ文，2)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(C)
A．0 B．1
C. 2 D．2
[解析]∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，
∴|z|＝12＋12＝2．
4．若复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1－z2在复平面内对应点所在的象限是(C) A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析]z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．
5．若复数z1＝2＋i，z2＝3＋a i(a∈R)，z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝__－1__．[解析]z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a＋1)i，∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴a＋1＝0，∴a＝－1．
6．计算：(1)(2＋4i)＋(－5＋i)；
(2)(2 2 i－8)＋(1－ 2 i)．
[解析](1)(2＋4i)＋(－5＋i)＝(2－5)＋(4＋1)i＝－3＋5i．
(2)(2 2 i－8)＋(1－ 2 i)＝(－8＋22i)＋(1－2i)＝(－8＋1)＋(22－2)i＝－7＋ 2 i．
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向❶
复数代数形式的加减运算
典例1 计算下列各题：
(1)(2－3i)＋(－2＋
3
2
i)＋1； (2)(－i 2－13)－(i 3－1
2)＋i ；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
[思路分析] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行． [解析] (1)原式＝(2－2)＋(－3＋
32)i ＋1＝1－3
2
i ． (2)原式＝(－13＋12)＋(－12－13＋1)i ＝16＋1
6i ．
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i ．
『规律方法』 复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减． ┃┃跟踪练习1__■
计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．
[解析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i ． (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i ．
(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i ． 命题方向❷
复数加、减法运算的几何意义
典例2 已知复平面内的平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别
为0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：
(1)AO →
对应的复数；
(2)CA →
对应的复数； (3)B 点对应的复数．
[解析] (1)AO →＝－OA →，则AO →
对应的复数为－(3＋2i)，即－3－2i ． (2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →
对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ．
(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →
对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i ．
『规律方法』 1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决．
2．若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理． 例如关系式|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB 为矩形．
┃┃跟踪练习2__■
设向量OZ 1→及OZ 2→
在复平面内分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1－z 2，并在复平面内表示出来．
[解析] z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i ． 如下图所示，Z 2Z 1→
即为z 1－z 2所对应的向量．
根据复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→
的终点，并指向被减数的向量Z 2Z 1→
所对应的复数．
命题方向❸
复数加减法的综合问题
典例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|．
[思路分析] 设出z 1、z 2，将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解． [解析] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1，② 由①②得2ac ＋2bd ＝1． ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2
＝
a 2＋c 2＋
b 2＋d 2＋2a
c ＋2b
d ＝3．
解法二：作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→
， 则z 1－z 2对应Z 2Z 1→
，
∵|z 1|＝|z 2|＝1，若OZ 1→、OZ 2→
共线， 则|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→
|＝2或0，与已知矛盾． ∴OZ 1→与OZ 2→
不共线． 又|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|， ∴△OZ 1Z 2为等边三角形． ∴∠Z 1OZ 2＝60°，
设z 1＋z 2对应向量OZ →
，则∠OZ 1Z ＝120°， ∴在△OZ 1Z 2中，由余弦定理得： |OZ →|＝12＋12－2×1×1×cos120°
＝
1＋1－2×(－1
2
)＝3．
『规律方法』 1.设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x 、y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用．
2．在复平面内，z 1，z 2对应的点为A 、B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：
(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；(3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．
┃┃跟踪练习3__■
设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|． [解析] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )． 由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1． (a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0． ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2． ∴|z 1－z 2|＝2．
解法二：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2分别对应向量OZ 1→、OZ 2→、OZ →
， ∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为正方形． ∴|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|OZ →
|＝2．
易混易错警示
考虑问题要全面
典例4 已知：复平面上的四个点A 、B 、C 、D 构成平行四边形，顶点A 、B 、C
对应于复数－5－2i 、－4＋5i 、2，求点D 对应的复数．
[错解]∵B A→＝C D→，
∴z A－z B＝z D－z C，
∴z D＝z A－z B＋z C
＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i．
即点D对应的复数为1－7i．
[辨析]四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC 和▱ACBD两种情况．如图所示．
[正解]用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z．
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i．
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i．
学科核心素养
复数的模的取值范围问题
典例5设x∈[0,2π)，复数z1＝cos x＋isin x对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是__(1，3)__．
[思路分析]第一步，审题．
一审条件，挖掘题目信息，由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2．二审结论，明确解题方向，求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．第二步，建立联系，确定解题步骤．
由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求x的取值范围，再将|z1＋z2|表示为x
的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z 1＋z 2|的取值范围．
第三步，规范解答．
[解析] 由已知得z 1＋z 2＝(cos x ＋1)＋(sin x －1)i ， 所以|z 1＋z 2|＝(cos x ＋1)2＋(sin x －1)2
＝cos 2 x ＋2cos x ＋1＋sin 2 x －2sin x ＋1 ＝
2(cos x －sin x )＋3＝
22cos (x ＋π
4
)＋3．
因为复数z 1＝cos x ＋isin x 对应点在第一象限中直线y ＝x 的左上方，且x ∈[0,2π)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
cos x >0sin x >0sin x >cos x ，解得π4＜x ＜π2
，
所以π2＜x ＋π4＜3π4，
故cos(x ＋π4)∈(－2
2，0)，
所以
22cos (x ＋π
4
)＋3∈(1，3)，
故|z 1＋z 2|∈(1，3)．。