辽宁省大连市旅顺口区2020届高三上学期9月月考数学试卷(文)

辽宁省大连市旅顺口区2020届高三上学期9月月考
数学试卷（文）
一、选择题（单选，每题5分，共60分）
1.已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)-+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)+∞
2.已知
，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3.下列说法错误．．
的是 （ ） A ．命题“若，则”的否命题是：“若，则” B ．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题．
C ．若命题：，则；
D.“”是“”的充分不必要条件； 4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ） A. 6- B. 4- C. 2- D. 2 5.已知,02,534)2
cos()3
sin(<<--
=-
++αππ
απ
α则2cos()3
π
α+等于( ) A.45-
B.3
5- C.45
D.
3
5
6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是( )（单位：m 2）．
正视图 侧视图 俯视图 A.624+ B.64+ C.224+ D.24+
()2,a i
b i a b R i
+=+∈i a b +=1-0a =0ab =0a ≠0ab ≠p ⌝p q q p 2,10x R x x ∃∈-+<2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥1
sin 2
θ=
30θ=
︒
7.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 （ ）
A ．-3
B ．0
C ．
2
3 D ．3
8.设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ） A ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n ； B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥； C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥； D ．若//m α，//n β，则//m n ；
9.函数的图象是（ ）
10. 在ABC ∆
中，60,A BC ∠==D 是AB
边上的一点，CD =
，
CBD ∆的面积为1，则BD 的长为( )
A.
2
3
B.4
C.2
D.1 11.定义在R 上的函数)(x f y =满足55()()22f x f x +=-，5
()()02
x f x '->，任意的
21x x <，都有)()(21x f x f >是521<+x x 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知函数()21,2
3
,x 21x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩若方程
有三个不同实数根，则实数的取值范
围是（ ）
1
()ln
)f x x x
=-
（()0
f x a -=a
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知，则的值是 . 14.若n S n n ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=-1
)
1(4321， 则173350S S S ++= 。

15.已知x ，y 为正实数，且满足x ＋y ＝1，则11
x y
+的最小值为___ 。

16.给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的一个对称中心为5,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
； ②若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>； ③若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=；
④在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解.
⑤函数sin 2y x =的图象向左平移
4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象.
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）. 三、解答题(17题---21题每题各12分，选做题10分) 17．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，)cos ,(cos ),,2(C A n a c b m -=-=且n m ⊥， （1）求角A 的大小；
（2）当)6
2sin(sin 22π
++=B B y 取最大值时，求角B 的大小.
18.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
()0,2()0,1()0,3()1,3sin 2cos αα=cos2α
（2）设13n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==BC AB ， 7=
=CD AD ，
3=PA ，︒=∠120ABC ，G 为线段PC 上的点,
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值.
20、已知函数(
)2
2
cos 3sin cos 2f x x x x x =--+.
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且满
足
b
a
=，()
()sin 222cos sin A C A C A
+=++，求()f B 的值.
21．（本小题满分12分）
已知函数（R a ∈）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
22.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆1C ：22
x y +＝1经过伸缩变换'3'2x x y y
=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ．
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，
1
()ln (1)2
f x x a x =--2a =-()y f x =(1,(1))f ()0f x <(1,)x ∈+∞a
建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ
θθ10
sin 2cos =
+·
（1）求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．
——★ 参*考*答*案 ★——
17. 解：由⊥，得0=⋅从而0cos cos )2(=--C a A c b ，………………………2分 由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B
0sin cos sin 2,0)sin(cos sin 2=-=+-∴B A B C A A B ………………………4分 0sin ),,0(,≠∴∈B B A π ，………………………5分
21cos =
A ，故3
π
=A ………………………………6分 （2）6sin 2cos 6cos 2sin )2cos 1()62sin(sin 22π
ππB B B B B y ++-=++=
=)6
2sin(12cos 212sin 231π
-+=-+
B B B ……………………………………9分 由（1）得，6
7626,320π
πππ<
-<-<
<B B ……………………………………10分 ∴当y 取最大值时，3
,2
6
2πππ=
=
-
B B ………………………………………12分
18、『答案』（1）21n a n =-；（2）30.
试题『解析』（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以
112141,2,46S a S a d S a d ==+=+.又因为124,,S S S 成等比数列，所以
()()2
111462a a d a d ⋅+=+.所以212a d d =.
因为公差d 不等于0，所以12d a =.又因为24S =，所以11,2a d ==，所以21n a n =-. （2）因为()()3
311212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以3111
1112335
2121n T n n ⎛⎫=-+-++
- ⎪-+⎝⎭313
12212
n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 要使20n m T <对所有n N *
∈都成立，则有3202
m ≥，即30m ≥.因为m N *∈，所以m 的最小值为30.
19．（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BD ． ∵AB =BC =2，AD =CD =
，设AC 与BD 的交点为O ，则BD 是AC 的中垂线，故O 为AC 的中点，且BD ⊥AC ．而P A ∩AC =A ，∴BD ⊥面P AC ．
（Ⅱ）解：若G 是PC 的中点，O 为AC 的中点，则GO 平行且等于P A ， 故由P A ⊥面ABCD ，可得GO ⊥面ABCD ，
∴GO ⊥OD ，故OD ⊥平面P AC ，故∠DGO 为DG 与平面P AC 所成的角．由题意可得，GO =P A =
．
△ABC 中，由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC =4+4﹣2×2×2×cos 120°=12， ∴AC =2
，OC =
．∵直角三角形COD 中，OD =
=2，
∴直角三角形GOD 中，tan ∠DGO ==
．
20.『答案』（1）[]1,2-；（2）1；
（1）因为(
)22
cos 3sin cos 2f x x x x x =--
+2
22sin 1x x =-+
2cos 2x x =+2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭……4分
因为0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[]1,2f x ∈-.……6分
（2）由题意可得()()sin 2sin 2sin cos A A C A A A C ++=++⎡⎤⎣⎦， 有()()()sin cos cos sin 2sin 2sin cos A A C A A C A A A C +++=++ 化简可得：sin 2sin C A =……9分
由正弦定理得，2c a =.因
为b =，所以由余弦定理的
，
222222cos 2b c a A bc +-=== 可解得,6
3
A B π
π
=
=
，所以()1f B =……12分
21．解：（Ⅰ） 时，， 1分 切点为， ····································································· 3分
时，曲线在点处的切线方程为. ··············· 4分
2a =-()ln 1f x x x =+-1
()1,f x x
'=
+∴(1,0)(1)2k f '==2a ∴=-()y f x =(1,(1))f 22y x =-
（II ）（i ）
，， 5分
①当时，，, 在上单调递增， ， 不合题意. ··················································································· 7分
②当即时，在上恒成立， 在上单调递减，有，满足题意. 9分
③若即
时，由，可得，由，可得， 在上单调递增，在上单调递减，，
不合题意. ·············································································· 11分 综上所述，实数的取值范围是 ······················································· 12分 22
1()ln (1)2f x x a x =--12()22a ax
f x x x
-'∴=-=0a ≤(1,)x ∈+∞()0f x '>∴()f x (1,)+∞()(1)0f x f >=∴0a ≤2a ≥201,a
<≤2
()
2()022a x ax a f x x x --'=
=-<(1,)+∞()f x ∴(1,)+∞()(1)0f x f <=∴2a ≥02a <<21,a >()0f x '>2
1x a
<<()0f x '<2x a >∴()f x 2(1,)a 2(,)a +∞∴2
()(1)0f f a
>=∴02a <<a [2,).
+∞。