高考数学百天仿真冲刺试卷四 文 (2)

2013高考百天仿真冲刺卷 数 学(文) 试 卷（四）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合A = {}2|<x x , B = {
}
034|2
<+-x x x ，则A I B 等于
A. {}12|<<-x x
B. {}21|<<x x
C. {}32|<<x x
D. {}32|<<-x x
2.已知135sin =
α ，)23,2(ππα∈，则)4tan(απ+的值是 A. －177 B. －717 C. 177 D. 7
17
3.等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于
A. 7
B. 14
C. 28
D. 3.5 4.已知直线m l 、，平面α，且α⊂m ，那么“m l //”是“α//l ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若△12PF F 的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为
A. 2
21259x y += B. 22
12516x y += C. 2
2116
9x y +=
D. 161022=+y x 6.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：
那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有
A. 58万
B. 66万
C. 116万
D. 132万 7.投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验，若两次面向上的点数相等我们称其为无效。

那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是
年龄 0 20 40 60 80 100 120
A. 36
1
B. 121
C. 61
D. 21
8.已知函数)(x f 满足：①R y x ∈∀，，)()()(y f x f y x f +=+，②0>∀x ，0)(>x f ，
则
A. )(x f 是偶函数且在),0(+∞上单调递减
B. )(x f 是偶函数且在),0(+∞上单调递增
C. )(x f 是奇函数且单调递减
D. )(x f 是奇函数且单调递增
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．
9.向量(3,4)a =-r ， 向量b r
=2，若5a b ⋅=-r r ，那么向量,a b r r 的夹角是
10.
11.右上图所示为一个判断直线0=++C By
Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a
x =
-+
-的位置关系的
程序框图的一部分，在？处应该填上 . 12.
在长度为1的线段AB 上随机的选取一点P ， 则得到2
1
||≤
PA 的概率是 . 13.已知函数⎩
⎨⎧<--≥-=020
12)(2
x x x x x f x ，若1)(=a f ，则实数a 的值是 . 14.已知定义在R 上的函数)(x f 是周期函数，且满足()()()0f x a f x a -=->，函数)
(x f 的最小正周期为
三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）
在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.
11题图）
主视图 左视图
俯视图
（第10题图）
16.（本小题满分13分）
如图所示，PA 垂直矩形ABCD 所在的平面，F E 、分别为PC AB 、的中点.
(Ⅰ) 求证PAD EF 平面//； （Ⅱ）求证CD EF ⊥.
17.（本小题满分13分）
已知曲线d cx bx ax y +++=2
3
满足下列条件：
①过原点；②在0=x 处导数为－1；③在1=x 处切线方程为34-=x y . (Ⅰ) 求实数d c b a 、、、的值； （Ⅱ）求函数d cx bx ax y +++=2
3
的极值.
P
D
C
B
A E F
18.（本小题满分14分）
已知双曲线
22
24b
y x -=1 )(*N b ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上的一点， 且满足 4PF F F PF PF 22
2121<=⋅，，
(Ⅰ)求b 的值；
（Ⅱ）抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F 与该抛物线交于A 、B 两点，求弦长|AB|.
19.（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足以下两个条件：
①点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上， ②首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解， (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，
数列}{n b 的前n 项和为n T ，解不等式n n S T ≤.
20.（本小题满分13分）
(Ⅰ)已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证：2
12
22
1≥
+a a ； （Ⅱ）若R a a a n ∈,,,21Λ，121=+++n a a a Λ，求证：n
a a a n 1
2
2
22
1≥+++Λ.
2013高考百天仿真冲刺卷 数学(文)试卷（四）参考答案
三、解答题：本题共6小题，共80分，解答仅供参考，如有其它解法按相应步骤给分。

15.解：（Ⅰ）由正弦定理C c
B b A a sin sin sin =
=及已知，得
c b c b c b a )2()2(22
+++=
…………2分 整理，得
bc c b a ++=222
…………3分 有余弦定理bc
a c
b A 2cos 2
22-+=，得
2
1
cos -=A
…………5分 在ABC ∆中，π<<A 0，所以 3
2π
=
A …………7分
（Ⅱ）由正弦定理C
c
B b A a sin sin sin =
=及已知，得 C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22
+++= …………9分
即
C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+= 结合32π=A 及已知sin sin 1B C +=解得 2
1
sin sin ==C B
即 C B =
…………12分
因此ABC ∆是一个等腰钝角三角形
…………13分
16.
证明：(Ⅰ)取PD 中点G ，连结AG 、FG ，
因为F E 、分别为PC AB 、的中点，所以AB AE 2
1
=
，GF //=DC 2
1
，…………2分 又在矩形ABCD 中AB //=DC ，所以 AE //=GF ，
所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG //=EF …………5分
又，PAD 平面⊂AG ，PAD 平面⊄EF .所以PAD EF 平面// …………7分
（Ⅱ）因为BCD A A P 平面⊥，所以CD PA ⊥ 在矩形ABCD 中CD AD ⊥
又A AD PA =I ，所以PAD CD 平面⊥， …………11分 因为PAD 平面⊂AG 所以AG CD ⊥， 因为EF AG //所以CD EF ⊥………13分
17. 解 (Ⅰ)c bx ax y ++='232
根据条件有
P
D
B
A
E F
G
C
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=++-==142310d c b a c b a c d 解得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-===0
111d c b a …………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)x x x y -+=23，1232
-+='x x y
…………7分 令0='y 得13
1
-=或x
…………9分
y y x '、、的关系如表所示
因此函数x x x y -+=2
3
在1-=x 处有极大值1，在31=x 处有极小值27
5-。

……13分 18. 解 （I ）根据题意42=a ，2=a
…………2分，
又，222c b a =+，
42||||||21==-a PF PF ，又|P F 1|•|PF 2|=| F 1F 2|2
=24c ， |P F 2|<4， 得04||4||2
22
2=-+c PF PF 在区间（0,4）上有解， 所以82<c …………4分 因此42<b ，又*N b ∈，所以1=b
…………6分
（II ）双曲线方程为22
4
y x -=1，右顶点坐标为（2,0），即)0,2(F …………7分 所以抛物线方程为)1(82
x
y = 直线方程为)2(2-=x y …………9分 由（1）（2）两式联立，解得⎩⎨
⎧+=+=2
4424611y x 和⎩⎨
⎧-=-=2
4424622y x …………11分 所以弦长|AB|=212212)()(y y x x -+-=16
…………14分 19. 解 （I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，
…………2分 所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n
…………4分 （II ）数列}{n a 的前n 项和2
n S n =
…………6分
等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，1
3-=n n b …………9分
数列}{n b 的前n 项和2
1
33131-=--=n n n T …………11分 n n S T ≤即22
1
3n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2
…………14分
20. 证明：（I ）构造函数2
221)()()(a x a x x f -+-=
…………2分
2
22
12
2
22
121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=
因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842
221a a +-=∆≤0,
…………4分
从而得2
1
2
22
1≥
+a a ， …………6分 （II ）构造函数2
2221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=Λ …………8分
2
2221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-=ΛΛ
2
222122n a a a x nx ++++-=Λ …………10分
因为对一切x ∈R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(442
2221n a a a n +++-Λ≤0,
从而证得：n
a a a n 1
2
2221≥+++Λ. …………13分。