2020年北京中考数学建立知识点框架

2020年北京中考数学建立知识点框架
初中数学是很多同学难以突破的难关，初中数学到底应该怎么学？有哪些知识点是中考必考内容？今天大家一起来学习一下吧！
构建完整的知识框架
1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。

但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。

2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。

由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。

只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）
A.51
2
-
B.
51
2
+
C.1
D.0
2．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）
A.C n H2n+2
B.C n H2n
C.C n H2n﹣2
D.C n H n+3
3．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”.已知如图1所示的“正方形”和如图2所示的“风车型”都是由同一副七巧板拼成的，若图中正方形ABCD的面积为16，则正方形EFGH的面积为（）
A．22
B．24
C．26
D．28
4．在数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学共同研究二次函数y＝x2﹣2x+c（c是常数）．甲发现：该函数的图象与x轴的一个交点是（﹣2，0）；乙发现：该函数的图象与y轴的交点在（0，﹣4）上方；丙发现：无论x取任何值所得到的y值总能满足c﹣y≤1；丁发现：当﹣1＜x＜0时，该函数的图象在x轴的下方，当3＜x＜4时，该函数的图象在x轴的上方．通过老师的最后评判得知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）
A．正方形B．正三角形C．正六边形D．禁止标志
6．如图，，交于点，，，则的度数为（）
A. B. C. D.
7．如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在反比例函数y＝﹣5
x
上，顶点C在反比例函
数y＝7
x
上，则平行四边形OABC的面积是( )
A．8 B．10 C．12 D．31 2
8．下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
9．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于（）
A．32B．23C．33D．25
10．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（）
A.0
B.
C.2+
D.2﹣
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )
A ．5≥r≥3
B ．3＜r ＜5
C ．r ＝3或r ＝5
D ．0＜r ＜3或r ＞5
12．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重x 斤，每只燕重y 斤，可列方程组为（ ）
A ．45561x y y x x y -=+⎧⎨+=⎩
B ．54561x y y x x y +=+⎧⎨+=⎩
C ．45561x y y x x y +=+⎧⎨+=⎩
D ．45561x y y x x y +=+⎧⎨-=⎩
二、填空题 13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点E 是AB 边上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 是AB 边上另一动点，连接PD ，PG ，则PD+PG 的最小值为_____．
14．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AE AC
=______．
15．合并同类项：8m 2﹣5m 2﹣6m 2
=_____．
16．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.
17．等边三角形外接圆的面积是4π，则该等边三角形的面积是____．
18．不等式5﹣2x ＞﹣3的解集是_____．
三、解答题
19．已知直线12
y x b =+与x 轴交于点A （﹣4，0），与y 轴交于点B ． （1）求b 的值；
（2）把△AOB 绕原点O 顺时针旋转90°后，点A 落在y 轴的A′处，点B 若在x 轴的B′处． ①求直线A′B′的函数关系式；
②设直线AB 与直线A′B′交于点C ，矩形PQMN 是△AB′C 的内接矩形，其中点P ，Q 在线段AB′上，点M 在线段B′C 上，点N 在线段AC 上．若矩形PQMN 的两条邻边的比为1：2，试求矩形PQMN 的周长．
20．甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1，2，3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面
分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加．若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜．
①请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；
②这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平．
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．
（1）方程x2﹣4x+3＝0 立根方程，方程x2﹣2x﹣3＝0 立根方程；（请填“是”或“不是”）
（2）请证明：当点（m，n）在反比例函数y
3
x
=上时，关于x的一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；
（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程，且两点P（3，2）、Q（6，2）均在二次函数y＝ax2+bx+c上，求方程ax2+bx+c＝0的两个根．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣1
4
x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于
B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．
（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交x轴于点T．当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标．
23．（1）计算：
1
(12)348
3
-⨯+；
（2）先化简，再求值：
2
11
(1)
224
x
x x
-
+÷
--
，其中x＝31
-．
24．已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB＝A'B'，BC＝B'C'，AD＝A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
25．如图，在菱形ABCD中，取CD中点O，以O为圆心OD为半径作圆交AD于E交BC的延长线交于点F，
AB＝4，BE＝5，连结OB
（1）求DE的长；
（2）求tan∠OBC的值．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C A B D C B D C D C 二、填空题
13．3﹣2 ．
14．1 5
15．﹣3m2
16．x≤-2或x≥3
17．3
18．x＜4
三、解答题
19．（1）b=2；（2）①y＝﹣2x+4；②当PN：PQ＝1：2时，矩形PQMN的周长为8；当PQ：PN＝1：2时，矩形PQMN的周长为6．
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣4，0）代入
1
2
y x b
=+求得b值即可；（2）①先求得B点的坐标为（0，2），根据旋转的性
质可得A'（0，4），B'（2，0），再用待定系数法求得直线A'B'的解析式即可；②分PN：PQ＝1：2和PQ：PN＝1：2求矩形PQMN的周长即可．
【详解】
解：（1）由题意得
把A（﹣4，0）代入
1
2
y x b =+，
得1
40
2
()b
⨯-+=，
b=2；
（2）①由（1）得：
1
2
2
y x
=+，
令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2）
由旋转性质可知OA'＝OA＝4，OB'＝OB＝2 ∴A'（0，4），B'（2，0）
设直线A'B'的解析式为y＝ax+b’，
把A'、B'分别代入得：
4
20
b
a b
'
'
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
4
a
b'
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣2x+4；
②∵点N在AC上
∴可设N（x，1
2
2
x+）（﹣4＜x＜0）
∵四边形PQMN为矩形
∴NP＝MQ＝1
2 2
x+
（ⅰ）当PN：PQ＝1：2时
PQ＝2PN＝
1
2(2)4 2
x x
+=+
∴Q（x+4+x，0）
∴M（2x+4，1
2
2
x+）
∵点M在B'C上
∴
1
2(24)42
2
x x
-++=+
解得
4
3 x=-
此时，PQ＝8 3
∴矩形PQMN的周长为：
48
28 33
()
+=；
（ⅱ）当PN：PQ＝2：1时
PQ＝1
2
PN＝
111
(2)1
224
x x
+=+
∴Q（1
1
4
x x
++，0）
M（5
1
4
x+，
1
2
2
x+）
∵点M在B'C上
∴
51
2(1)42
42
x x
-++=+
解得x＝0
此时PN＝2，PQ＝1
∴矩形PQMN的周长为：2（2+1）＝6．
综上所述，当PN：PQ＝1：2时，矩形PQMN的周长为8．
当PQ：PN＝1：2时，矩形PQMN的周长为6．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数及其坐标特征、旋转的性质，熟练运用一次函数的性质及旋转的性质是解决问题的关键．
20．①见解析；②这个游戏不公平，见解析，要使游戏公平，改规则如下：若两人的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两人的数字之和小于7与大于等于7的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
解：①两人所得的数字之和的所有结果如图：
②这个游戏不公平．
由图可知，所得结果小于7的情况有6种，即甲获胜的概率为2
3
，乙获胜的概率为
1
3
，很明显不公平；
要使游戏公平，改规则如下：若两人的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．
【点睛】
考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．（1）是，不是；（2）见解析；（3）x1＝27
4
, x2=
9
4
【解析】
【分析】
（1）分别解方程x2-4x+3=0与x2-2x-3=0，求出它们的根，根据“立根方程”的定义，判断它们是不是立根方程．
（2）由点（m，n）在反比例函数y=3
x
的图象上，得到mn=3，解方程mx2+4x+n=0求得x1与x2的值，判
断是不是立根方程．
（3）由方程ax 2+bx+c=0是立根方程，得到x 1=3x 2，由纵坐标相同的两点P （3，2）、Q （6，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，根据抛物线的对称轴得到x 1+x 2＝9，从而求出方程的两个根．
【详解】
解：（1）解方程x 2-4x+3=0，得：x 1=3，x 2=1，
∵x 1=3x 2，
∴方程x 2-4x+3=0是立根方程；
解方程x 2
-2x-3=0，得：x 1=3，x 2=-1，
∵x 1=-3x 2，
∴方程x 2-2x-3=0不是立根方程．
故答案为：是，不是．
（2）∵点（m,n ）在反比例函数3y x =上，所以3mn = 用求根公式解方程得：24444161222mn x m m
-±--±-== x 1＝﹣3m ，x 2＝﹣1m
， ∴x 1＝3x 2， 当点（m ，n ）在反比例函数y ＝
3x 上时，一元二次方程mx 2+4x+n ＝0是立根方程； （3）∵方程ax 2+bx+c ＝0是立根方程，∴设x 1＝3x 2，
∵P （3，2），Q （6，2）在抛物线y ＝ax 2+bx+c 上， ∴抛物线的对称轴123622
x x x ++=
=， ∴x 1+x 2＝9，∴3x 2+x 2＝9，∴x 2=94，∴x 1＝3x 2＝274
． 所以方程ax 2+bx+c ＝0的两个根为：x 1＝274, x 2=94 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“立根方程”的定义是解题的关键．
22．（1）2184y x x =-
-+ ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1﹣33 ；（3）（1，274）. 【解析】
【分析】
（1）直接将A ，C 两点代入即可求
（2）可设P （m ，-14
m 2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，则分两种情况：△POQ ∽△OBD 和△POQ ∽△OBD 分别求出PQ 与OQ 的关系即可
（3）作平行四边形，实质是将B 、P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E 和点D ，点E 在二次函数上，代入即可求m 的值，从而求得点E 的坐标．
【详解】
（1）把A （0，8），C （4，0）代入y ＝﹣14
x 2+bx+c 得 8440c b c =⎧⎨-++=⎩，解得18b c =-⎧⎨=⎩
∴该二次函数的表达为y ＝﹣
14x 2﹣x+8 当y ＝0时，﹣14
x 2﹣x+8＝0，解得x 1＝﹣8，x 2＝4 ∴点B 的坐标为（﹣8，0） （2）设P （m ，﹣
14m 2﹣m+8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，分两种情况： 当△POQ ∽△OBD 时，
PQ BO 82OQ OD 4=== ∴PQ ＝2OQ 即﹣14
m 2﹣m+8＝2×（﹣m ），解得m ＝﹣4，或m ＝8（舍去） 当△POQ ∽△OBD 时，
OQ B 82PQ D 4O O === ∴OQ ＝2PQ
即﹣m ＝2×（﹣14
m 2﹣m+8），解m ＝﹣1﹣33 或m ＝﹣1+33（舍去） 综上所述，m 的值为﹣4或﹣1﹣33
（3）∵四边形BDEP 为平行四边形，
∴PE ∥BD ，PE ＝BD
∵点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D
∴点P 向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E
∵点P （m ，﹣
14
m 2﹣m+8）， ∴点E （m+8，﹣14m 2﹣m+12）， ∵点E 落在二次函数的图象上 ∴﹣14（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣14
m 2﹣m+12 解得，m ＝﹣7 ∴点E 的坐标为（1，
274）． 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（1）5+43；（2）233．
【解析】 【分析】
（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）先通分，进行分式的加法，然后把除法转化为乘法进行化简.化简后代入求值即可. 【详解】 （1）1123483⎛⎫
-
⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
＝6﹣1+43 ＝5+43；
（2）2111224
x x x -⎛
⎫+÷
⎪--⎝⎭ 12(2)
2(1)(1)x x x x x --=⋅-+- 2
1
x =
+， 当x ＝3﹣1时， 原式223
3311
=
=-+ 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键. 24．见解析. 【解析】 【分析】
依据BD ＝B'D'，AB ＝A'B'，AD ＝A'D'，即可判定△ABD ≌△A'B'D'，再根据∠B ＝∠B'，AB ＝A'B'，BC ＝B'C'，即可得判定△ABC ≌△A'B'C'． 【详解】
∵AD ，A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线，BC ＝B'C'， ∴BD ＝B'D'，
又∵AB ＝A'B'，AD ＝A'D'， ∴△ABD ≌△A'B'D'（SSS ）， ∴∠B ＝∠B'，
又∵AB ＝A'B'，BC ＝B'C'， ∴△ABC ≌△A'B'C'（SAS ）． 【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD ≌△A′B′D′是解此题的关键．
25．（1）7；（2）87 19
-
.
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AB＝BC＝CD＝4，AD∥BC，根据圆周角定理得到∠DEC＝90°，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接DF，过O作OH⊥CF于H，推出四边形ECFD是矩形，得到DF＝CE＝3，CF＝DE＝7，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝4，AD∥BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BCE＝∠DEC＝90°，
∴CE＝22
BE B C
-＝3，
∴DE＝2222
437
CD CE
-=-=；
（2）连接DF，过O作OH⊥CF于H，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DF＝CE＝3，CF＝DE＝7，
∴CH＝
7
2
，
∴OH＝1
2
DF＝
3
2
，
∴BH＝BC+CH＝87
2
+
，
∴tan∠OBC＝
87
19
OH
BH
-
=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．在同一条道路上，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A ．乙先出发的时间为0.5小时
B ．甲的速度是80千米/小时
C ．甲出发0.5小时后两车相遇
D ．甲到B 地比乙到A 地早
1
12
小时 2．点P （﹣3，m+1）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C.
D.
3．如图，已知
的半径为，弦所对的圆心角分别是
，
，弦
，则弦
的长为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，36ACB ∠=︒，AB BC =，2AC =，则AB 的长度是（ ）
A ．51-
B ．1
C ．
51
2
- D ．
32
5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB ，CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为（ ）
A ．
25
5
B ．
35
10
C ．
12
D ．
104
6．如图一，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点P 、Q 从点B 同时出发，点P 以3/cm s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，点Q 以1/cm s 的速度沿BA AC -方向运动到点C 停止，若BPQ ∆的面积为2()y cm ，运动时间为()x s ，则y 与x 之间的函数关系图象如图二所示，则BC 长为（ ）
A ．4cm
B ．8cm
C ．83cm
D ．43cm
7．如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）
A ．23cm
B ．43cm
C ．3cm
D ．2cm
8．据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m ，该数值用科学记数法表示为( ) A ．1.05×105
B ．0.105×10–4
C ．1.05×10–5
D ．105×10–7
9．已知a ﹣b=3，c+d=2，则（b+c ）﹣（a ﹣d ）的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣5 D ．15
10．如图，直线AD ∥BC ，若∠1＝42°，∠BAC ＝78°，则∠2的度数为（ ）
A.42°
B.50°
C.60°
D.68°
11．一组数1，1，2，3，5，8，13是“斐波那契数列”的一部分，若去掉其中的两个数后这组数的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A ．2，5
B ．1，5
C ．2，3
D ．5，8
12．从五个数5
10152
,,
,.π-- 中任意抽取一个作为x ，则x 满足不等式2x ﹣1≥3的概率是（ ） A ．
15 B ．
25
C ．
35
D ．
45
二、填空题
13．如图4，AD BC P ，AC 、BD 相交于点O ，且:1:4AOD BOC S S =V V ．设=u u u v v AD a ，=u u u v v
DC b ，那么
向量=u u u v
AO _____．（用向量a v
、12,x x R ∈Q 表示）
14．不等式4x ﹣8＜0的解集是______．
15．若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是_____． 16．如图，已知tanα＝
1
2
，如果F(4，y)是射线OA 上的点，那么F 点的坐标是______．
17．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝3
x
的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数4
y x
=-
的图象于点C ，连接BC ，则△ABC 的面积为_____．
18．某市从2017年开始大力发展旅游产业．据统计该市2017年旅游收入约为2亿元，预计2019旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率约为____． 三、解答题
19．如图，平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交DA ，BC 的延长线于E ，F .
（1）求证:AE CF =；
（2）若AE BC =，试探究线段OC 与线段DF 之间的关系，并说明理由.
20．如图1，在△ABC 中，∠ABC=90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OB 为半径作圆交BC 于点D ，
（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；
（2）在图2中，设AC 与⊙O 相切于点E ，连结BE ，如果AB=4，tan ∠CBE=1
2
． ①求BE 的长；②求EC 的长．
21．某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降20%，转型成功后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%，求三、四月份的平均增长率． 22．如图①,在平面直角坐标系中,ニ次函数2
13
y x bx c =-
++的图像与坐标轴交于A,B,C 三点,其中点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P 从点A 出发,在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动;同时,动点Q 从点0出发,在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t 秒.连接PQ （1）填空:b=_, c=_;
（2）在点P,Q 运动过程中,△APQ 可能是直角三角形吗?请说明理由;
（3）如图2,点N 的坐标为3(,0)2
-,线段PQ 的中点为H,连接NH,当点Q 关于直线NH 的对称点Q`恰好落在线段BC 上时,请直接写出点Q`的坐标
23．化简：2416222a a a a -⎛
⎫-+÷
⎪--⎝⎭
． 24．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下 分数段
频数
频率
60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n
90≤x≤10020 0.1
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）这次随机抽查了名学生；表中的数m＝，n＝；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是；（4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？
25．已知A(m，2)，B(﹣3，n)两点关于原点O对称，反比例函数y＝k
x
的图象经过点A．
(1)求反比例函数的解析式并判断点B是否在这个反比例函数的图象上；
(2)点P(x1，y1)也在这个反比例函数的图象上，﹣3＜x1＜m且x1≠0，请直接写出y1的范围．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B A A D B C A C A A
二、填空题
13．11 33
v v
a b
14．x＜2．15．4 16．(4，2) 17．18．20%．三、解答题
19．（1）见解析；（2）OC ∥DF ，且OC ＝1
2
DF ，理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD ＝BC ，得出∠ADB ＝∠CBD ，证明△BOF ≌△DOE ，得出DE ＝BF ，即可得出结论；
（2）证出CF ＝BC ，得出OC 是△BDF 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD ， ∵O 是对角线BD 的中点， ∴OB ＝OD ，
在△BOF 和△DOE 中，
CBD ADB OB OD
BOF DOE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BOF ≌△DOE （ASA ）， ∴DE ＝BF ， ∴DE ＝AD ＝BF ﹣BC ， ∴AE ＝CF ；
（2）解：OC ∥DF ，且OC ＝1
2
DF ，理由如下： ∵AE ＝BC ，AE ＝CF ， ∴CF ＝BC ， ∵OB ＝OD ，
∴OC 是△BDF 的中位线， ∴OC ∥DF ，且OC ＝1
2
DF ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．(1)见解析;(2)①85
5
；②83.
【解析】 【分析】
(1)作作OE ⊥AC,由AO 是∠BAC 的角平分线,得到∠BAO ＝∠EAO,判断出△ABO ≌△AEO （AAS ）,得到OE ＝OB,所以直线AC 是⊙O 的切线;
(2)先利用AE 与⊙O 相切于点E ， AB ＝AE ＝4,再用三角函数求出OB,BC,然后用三角形相似,得到BC ＝2CE ，
1
2
CD CE
= ,用勾股定理求出CD,最后用切割线定理即可
【详解】
证明：（1）如图1，
作OE⊥AC，∴∠OEA＝90°，
∵∠ABC＝90，∴∠OEA＝∠ABC，
∵AO是△ABC的角平分线，∴∠BAO＝∠EAO，
在△ABO和△AEO中，ABO AEO
OA OA
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∠BA0=∠EAO
∠∠，
∴△ABO≌△AEO（AAS），∴OE＝OB，
∵OB是⊙O
的半径，∴OE是⊙O的半径，∴直线AC是⊙O的切线；
（2）①如图2，∵∠ABO＝90°，
∴AB切⊙O于B，
∵AE与⊙O相切于点E，∴AB＝AE＝4，
∵AO是△ABC的角平分线，∴AO⊥BE，∴∠BAO+∠ABE＝90°，
∵∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，
∵tan∠CBE＝
1
2
，∴tan∠BAO＝
1
2
，
在Rt△ABO中，AB＝4，tan∠BAO＝
1
2
OB
AB
=，∴
1
2
2
OB AB
==，∴BD＝2OB＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，
又∵tan∠CBE＝
DE
BE
＝
1
2
，∴BE＝2DE，
在Rt△BDE中，∵BE2+DE2＝BD2，∴222
1
()4
2
BE BE
+=，解得85
5
BE=；
②∵AC是⊙O的切线，∴∠CED＝∠CBE，
∵∠DCE＝∠ECB，∴△CDE∽△CEB，∴
CE DE CD
BC BE CE
==，
又∵tan∠CBE＝
DE
BE
＝
1
2
，∴BC＝2CE，
1
2
CD CE
=，
∵BD＝BC﹣CD ∴
1
24
2
CE CE
-=，解得
8
3
CE=．
【点睛】
此题考查切线的判定与性质，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键
21．三、四月份的平均增长率为20%
【解析】
【分析】
此题可以设三、四月份的平均增长率是x，一月份产值为a．根据题意得到二月份的产值是（1﹣20%）a，在此基础上连续增长x，则四月份的产量是（1﹣20%）a（1+x）2，则根据四月份比一月份增长15.2%列方程求解．
【详解】
解：设三、四月份的平均增长率是x，一月份产值为a．根据题意得
（1﹣20%）a（1+x）2＝（1+15.2%）a，
解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：三、四月份的平均增长率为20%．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
22．(1)
1
,4
3
b c
==；(2) △APQ不可能是直角三角形,证明见解析；(3) Q′(
6
7
，
22
7
).
【解析】【分析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4),将a=1
3
代入可得到抛物线的解析式,从而可确定出b、c的值
(2)连结QC.先求得点C的坐标,则PC=5-t,依据勾股定理可求得AC=5,CQ2=t2+16,接下来,依据
CQ2-CP2=AQ2-AP2列方程求解即可
(3)连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q.首先依据三角形的中位线定理得到
EH=1
2
QO=
1
2
t,RH∥OQ,NR=
1
2
AP=
1
2
t,则RH=NR,接下来,依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是
∠QNQ`的平分线,然后求得直线NR和BC的解析式,最后求得直线NR和BC的交点坐标即可【详解】
(1)设抛物线的解析式为y=a(+3)(x-4).将a=-1
3
代入得:2
11
4
33
y x x
=-++
∴
1
,4
3
b c
==
(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形。

理由如下:连结QC
∵在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,
∴当△APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4
∴C(0,4)
∵AP=OQ=t
∴PC=5-t
∵在Rt△AOC中,依据勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依据勾股定理可知: CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：
PQ2=CQ2-CP2,在Rt△APQ中,AQ2-AP2=PQ2
∴CQ2-CP2=AQ2-AP2,即
(3+t)2-t2=t2+16-(5-t)2,解得:t=4.5
∵由题意可知:0≤t≤4
∴t=4.5不和题意,即△APQ不可能是直角三角形。

(3)如图所示:连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q`
∵点H为PQ的中点,点R为OP的中点
∴EH=1
2
QO=
1
2
t, RH∥OQ
∵A(-3,0),N(-3
2
,0)
∴点N为OA的中点又∵R为OP的中点,
NR=1
2
AP=
1
2
t
∴RH=NR,
∴∠RNH=∠RHN ∵RH∥OQ,
∴∠RHN=∠HNO
∴∠RNH=∠HNO,即NH 是∠QNQ`的平分线.
设直线AC 的解析式为y=mx+n,把点A(3,0)、C(0,4)
代入得:304
m n n -+=⎧⎨=⎩ 解得: 43
m = ，n=4
∴直线AC 的表示为：y=443x +
同理可求得直线BC 的表达式为y=-x+4
设直线NR 的函数表达式为y=4
3x s +将点N 的坐标代入得43-+032s ⨯=（） ,解得:S=2
直线NR 的表述表达式为y=423
x +
将直线NR 和直线BC 的表达式联立得4234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩
解得:x=
67, y=227
, ∴Q`(67,227) 【点睛】
此题是二次函数的综合题，解题关键在于利用等腰三角形的性质和平行线的性质，勾股定理来解答 23．4
a a + 【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
原式＝()()()()()()224
4222442444
a a a a a a a a a a a a a -----⋅=⋅=-+--+-+． 【点睛】
此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
24．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人
【解析】
【分析】
（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m 、n 的值；
（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；
（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；
（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，
则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，
故答案为：200、90、0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；
（4）600×6020
200
+
＝240，
答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．
【点睛】
本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
25．（1）
6
y
x
=，点B在这个反比例函数的图象上;（2）y1＜－2或y1＞2．
【解析】【分析】
(1)先求出m的值，进而得出A、B的坐标，代入
k
y
x
=，求出反比例函数的解析式，再判断点B是否在反
比例函数的图象上;
(2)根据反比例函数的性质求解即可.
【详解】
（1）∵A（m，2），B（－3，n）两点关于原点O对称，∴m＝3，n＝－2，即A（3，2），B（－3，－2），
∵反比例函数
k
y
x
=的图象经过点A，∴2
3
k
=，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x =．
当x＝－3时，
66
2
3
y
x
===-
-
，∴点B在这个反比例函数的图象上．
（2）根据k>0,y随x的增大而减小可得：y1＜－2或y1＞2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意数形结合数学思想的应用．。