学案3：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)

4.1.2指数函数的性质与图像（一）学习目标核心素养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
【自主预习】
[新知初探]
1．指数函数的定义
一般地，函数称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.思考：指数函数中为什么规定a>0且a≠1?
2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图像和性质
a>10<a<1图像
定义域R
值域
性质过定点过定点
函数值
的变化
当x>0时，；
当x<0时，
当x>0时，；
当x<0时，
单调性在R上是在R上是
3．比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断．
[初试身手]
1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋
1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x
D ．y ＝3－
x
2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图所示，则( )
A ．a <0，b <0
B ．a <0，b >0
C ．0<a <1，b >1
D ．0<a <1,0<b <1
3．若2x ＋
1＜1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(0,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
4．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫
13x
在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．
【合作探究】
类型一
指数函数的概念
【例1】 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x
B ．y ＝x a (a >0且a ≠1)
C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x
D ．y ＝(a －2)a x
(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3
D ．a >0且a ≠1
[思路探究] (1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论． (2)根据指数函数的定义建立关于a 的关系式求解． [规律方法]
1．判断一个函数是指数函数的方法
指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点： (1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
(3)a x的系数必须为1.
(4)指数函数不会是多项式，如y＝a x＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数求参数值的方法
(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．
(2)解不等式与方程求出参数的值．
提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．
[跟踪训练]
1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
【例2】(1)求下列函数的定义域和值域：
指数函数
[思路探究](1)函数式有意义―→原函数的定义域――――→
原函数的值域
的值域
(2)指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域⇒用换元法将其化为指数函数．
[规律方法]
1．函数y＝a f(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝a f(x)的定义域即y＝f(x)的定义域．
(2)函数y＝a f(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)．
②求t＝f(x)的定义域x∈D.
③求t ＝f (x )的值域t ∈M .
④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域． 2．复合函数的单调性
与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．
提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论． [跟踪训练]
2．已知定义在R 上的奇函数f (x )＝2x －a 2x ＋b .
(1)求a ，b 的值；
(2)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (3)求该函数的值域．
[探究问题]
1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像过哪一定点？函数f (x )＝a x －
1＋2(a >0且a ≠1)的图像又过哪一定点呢？
2．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？
3．从左向右，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？
【例3】(1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝a x；②y＝b x；③y＝c x；④y＝d x.则a，b，c，d与0和1的关系是()
A．0<a<b<1<c<d B．0<b<a<1<d<c
C．0<b<a<1<c<d D．1<a<b<c<d
(2)已知函数f(x)＝a x－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，则a的取值范围是()
A．(2，＋∞) B．(2,5]
C．(1,2) D．(1,5]
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[规律方法]
1．处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)．
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图像过定点问题的处理方法
求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点．
[跟踪训练]
3．(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图像，可能正确的是()
(2)要得到函数y ＝23－
x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
的图像( ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位 D ．向左平移8个单位 (3)函数y ＝a
－|x |
(0＜a ＜1)的图像是( )
【课堂小结】
1．本节课的重点是掌握指数函数的概念、指数函数的图像与性质，难点是指数函数的图像与性质．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)掌握指数函数的三个特征．
(2)与指数函数有关的函数图像及处理方法．
3．本节课的易错点是对指数函数理解不够深刻，在解与指数函数有关的函数定义域和值域时致错．
【当堂达标】
1．思考辨析
(1)函数y ＝－2x 是指数函数．( ) (2)函数y ＝2x
＋1
是指数函数．( )
(3)函数y ＝(－2)x 是指数函数．( ) (4)指数函数的图像一定在x 轴上方．( )
2．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋
1－2恒过点( ) A ．(－1，－1)
B ．(－1,0)
C．(0，－1) D．(－1，－3)
3．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列________．4．求函数y＝的定义域和值域．
【参考答案】
【自主预习】
[新知初探] 1． y ＝a x
思考：[提示] (1)如果a ＝0，当x >0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义；
(2)如果a <0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，1
4，…，该函数无意义；
(3)如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1. 2．(0，＋∞) (0,1) y >1
0<y <1
0<y <1
y >1
增函数 减函数
3．(1)单调性 (2)图像 (3)中间值 [初试身手]
1．D [只有选项D 符合指数函数的定义．]
2．C [函数y ＝a x 的图像是下降的，所以0<a <1；函数y ＝b x 的图像是上升的，所以b >1.] 3．D [不等式2x ＋
1＜1＝20，因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以x ＋1＜0，即x ＜－1.]
4．12 [因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x
在[－2，－1]上为减函数，所以m ＝⎝⎛⎭⎫13-1
＝3，n ＝⎝⎛⎭
⎫
13-2
＝9，所以m
＋n ＝12.]
【合作探究】
【例1】(1)C (2)C [(1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且
a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫
12x
显然是指数函数；
D 中只有a －2＝1，
即a ＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知⎩
⎪⎨⎪⎧
(a －2)2＝1，
a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]
[跟踪训练]
1．(1)3x (2)⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) [(1)由题意设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (2)＝a 2
＝9，又因为a >0，所以a ＝3，所以f (x )＝3x .
(2)由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
2a －1>0，2a －1≠1，解得a >1
2且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．]
【例2】[解] (1)①要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30， 因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.
所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． ②要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝
的定义域为{x |x ＝0}．
因为x ＝0，所以y ＝
＝⎝⎛⎭⎫
230
＝1，
即函数y ＝的值域为{y |y ＝1}．
③因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋2的定义域为R .
因为2x >0，所以4x ＋2x ＋
1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋2的值域为(2，＋∞)．
(2)令t ＝2x －x 2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t
，而t ＝－(x －1)2
＋1≤1， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≥12，故所求函数的值域为⎣⎡⎭
⎫12，＋∞. 因为
＝⎝⎛⎭
⎫12t
，由于二次函数t ＝2x －x 2的对称轴为x ＝1，
可得函数t 在(－∞，1]上是增函数，函数y 在(－∞，1]上是减函数， 故函数y 的减区间是(－∞，1]．
函数t 在(1，＋∞)上是减函数，函数y 在(1，＋∞)上是减函数， 故函数y 的增区间是(1，＋∞)． [跟踪训练]
2．[解] (1)因为f (x )是R 上的奇函数，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧ f (0)＝0，
f (－1)＝－f (1)，即⎩⎪⎨⎪⎧
1－a
1＋b
＝0，12－a
12＋b
＝－2－a
2＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
(2)f (x )在R 上是增函数，证明如下：
由(1)知f (x )＝2x －1
2x ＋1.设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－1
2x 2＋1
＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
. 因为y ＝2x 是R 上的增函数，且x 1＜x 2， 所以2x 1－2x 2＜0.又因为(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上是增函数． (3)f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－2
2x ＋1.
由2x ＞0，得2x ＋1＞1，所以0＜2
2x ＋1＜2，
所以－1＜1－2
2x ＋1＜1，即－1＜f (x )＜1，
所以函数f (x )的值域为(－1,1)．
[探究问题]
1．[提示] 法一：(平移法)∵y ＝a x 过定点(0,1)，∴将函数y ＝a x 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y ＝a x －
1＋2，此时函数图像过定点(1,3)．
法二：(解方程法)指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)；在f (x )＝a x －
1＋2中，令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像过定点(1,3)．
2．[提示] 不可能．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．
3．[提示] 当0<a <1时，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当a >1时，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凸．
【例3】(1)B (2)B (3)[－1,1] [(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c >d >1，反之，1>a >b >0，所以0<b <a <1<d <c .
(2)因为f (1)>1，所以a －1>1，即a >2，因为函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图像不过第二象限，所以g (0)＝a 1－1－4≤0，所以a ≤5，所以a 的取值范围是(2,5]．
(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．]
[跟踪训练]
3．(1)D (2)A (3)A [(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增，又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减， A 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条； B 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图像符合以上两条，故选D.
(2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －3，
所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭
⎫12x －3，即y ＝23－x 的图像． (3)y ＝a －|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a
＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]
【当堂达标】
1．(1)×(2)×(3)×(4)√[(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
(4)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方．]
2．A[令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝a x＋1－2的图像恒过点(－1，－1)．]
3．b＜a＜c[由指数函数y＝2x知，因为2.5＜3.5，
所以22.5＜23.5，即b＜a，又c＝33.5＞a＝23.5，故b＜a＜c.]
4．[解]要使函数y＝有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；
令t＝
1
2x－4
，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.
故函数y＝3
1
2x－4
的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．。