〖人教版〗高三数学复习试卷上二调数学试卷理科

〖人教版〗高三数学复习试卷上二调数学试卷理科
创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01
审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）
2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )
A．B．2 C．D．
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=( )
A．B．1 C．2 D．3
4．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，
直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )
A．B．
C．D．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，
=2cosC，则
c=( )
A．2 B．4 C．2D．3
6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为( )
A．B．C．1 D．2
7．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是( )
A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a
8．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
9．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=( )
A．232 B．233 C．234 D．235
10．函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( ) A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是( )
A．[1，3]B．[]C．[，] D．[，3]
12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是( )
A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为__________．14．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）
＜的解集为__________．
15．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：
①d＜0；
②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{S n}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是__________（写出你认为正确的所有命题的序号）
16．已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，
函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1
（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．
18．已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量
，且
（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．
19．已知函数的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；
（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，，求角C的大小；
（Ⅲ）在（II）的条件下，若，求cosB的值．
20．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；
（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a 的取值范围．
高三（上）二调数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，
B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∴C U B=（﹣1，3），
∴（C U B）∩A=（0，3），
故选：D
【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．
2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )
A．B．2 C．D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不
等式即可求出则的最小值．
【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，
∴，
即q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍去），
∵=4a1，
∴，
即2m+n﹣2=16=24，
∴m+n﹣2=4，即m+n=6，
∴，
∴=（）=，
当且仅当，即n=2m时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=( )
A．B．1 C．2 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，
∴==2×1=2．
∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，
∴==0，
∴22﹣2λ=0，
解得λ=2．
故选：C．
【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
4．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )
A．B．
C．D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．
【解答】解：由题意m=2．A=±2，
再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．
再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，
故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin（2x+）+2，
故选B
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，
=2cosC，则
c=( )
A．2 B．4 C．2D．3
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解：=
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S△ABC=2，则absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab
=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，
解得c=2．
故选C．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为( )
A．B．C．1 D．2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
【解答】解：如图所示，
∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，
∴四边形MAEC为平行四边形，
∴==（+）；
又∵++=，
∴=﹣（+）=﹣3；
∴==．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．
7．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是( )
A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理．
【专题】解三角形；不等式的解法及应用．
【分析】已知等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．
【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，
又A为锐角，∴0＜2A＜π，
∴2A=，即A=，
由余弦定理有a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=，即4a2≥（b+c）2，
解得：2a≥b+c，
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．
【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，
∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），
故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
故选B．
【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=
﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
9．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=( )
A．232 B．233 C．234 D．235
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】由已知可得a n+3﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．
【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，
∴a n+3﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，
∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，
a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，
∴S25=（a1+a4+a7+…+a25）+（a2+a5+a8+…+a23）+（a3+a6+a9+…+a24）
=++=233，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据已知得到a n+3﹣a n=2，是解答的关键．
10．函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( ) A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】函数的零点；函数的图象．
【专题】作图题．
【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
【解答】解：由图象变化的法则可知：
y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，
在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去
可得g（x）=|log2|x﹣1||的图象；
又f（x）=cosπx的周期为=2，如图所示：
两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，
由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2
故所有交点的横坐标之和为4，
故选B
【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．
11．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是( )
A．[1，3]B．[]C．[，] D．[，3]
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．
【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），
则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），
则，
即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，
|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离
所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，
所以|+2|的取值范围是[，3]；
故选：D．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等；关键是利用坐标法解答．
12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是( )
A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）
【考点】导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log2x+2，f′（x）=，
将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣=0，
令h（x）=log2x﹣，
分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，
则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，
则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选：B．
【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为0．
【考点】二倍角的余弦．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．
【解答】解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα=（舍去），
则sin（2α+）+2cos cos2α=sin2αcos+cos2αsin+•
=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+
=•+•+=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）
＜的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【考点】导数的运算；其他不等式的解法．
【专题】压轴题；导数的概念及应用．
【分析】设F（x）=f（x）﹣x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f （x2）＜可得f（x2）﹣＜f（1）﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣
∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0
即函数F（x）在R上单调递减
而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣
∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减
∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
15．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：
①d＜0；
②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{S n}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是①、②、⑤（写出你认为正确的所有命题的序号）
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定，结合a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0判断⑤．
【解答】解：由题可知等差数列为a n=a1+（n﹣1）d，
由s6＞s7有s6﹣s7＞0，即a7＜0，
由s6＞s5同理可知a6＞0，
则a1+6d＜0，a1+5d＞0，
由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6d．
∵，
∴s11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，
s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7），
∵S7＞S5，∴S7﹣S5=a6+a7＞0，
∴s12＞0．
由a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0，
可知|a6|＞|a7|．
即①②⑤是正确的，③④是错误的．
故答案为：①、②、⑤．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
16．已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围
是（2，）．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】易知函数f（x），g（x）都是偶函数，所以只需判断F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象在y轴右侧有两个不同交点即可．画出它们的函数图象，问题容易解决．
【解答】解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x＞0时f（x），g（x）的图象，然后此时产生两个不同交点即可．
作出函数f（x）、g（x）的图象如下：
可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即．
解得．
故答案为．
【点评】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1
（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过对a n+1=2a n+1变形可得（a n+1+1）=2（a n+1），进而可得{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；
（2）通过，可得b n•a n=n•2n﹣n，记A=1×21+2×22+…+n•2n，利用错位相减法计算A﹣2A的值，进而计算可得结论．
【解答】解：（1）∵a n+1=2a n+1，
∴（a n+1+1）=2（a n+1）
∵a1+1=2≠0，∴a n+1≠0，
∴，
∴{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
记A=1×21+2×22+…+n•2n，
∴2A=1×22+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
∴﹣A=A﹣2A
=2+22+…+2n﹣n•2n+1
=﹣n•2n+1
=（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴A=（n﹣1）•2n+1+2，
故．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量
，且
（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值．
（2）把余弦定理代入式子，再应用基本不等式求出式子的最大值．
【解答】解：（1）∵，，
由已知得：（1﹣cos（A+B））+=，
即（1﹣cos（A+B））+=，4cos（A﹣B）=5cos（A+B），
∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．
（2）==tanC=﹣tan（A+B）=﹣•=﹣
（tanA+tanB）≤﹣•2=﹣，（当且仅当A=B 时等号成立），
故的最大值为﹣．
【点评】本题考查两个向量的数量积公式，两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以及余弦定理得应用．
19．已知函数的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；
（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，，求角C的大小；
（Ⅲ）在（II）的条件下，若，求cosB的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由
时，可得：，根据正弦函数的图象和性质即可得解．
（II）由已知，由正弦定理结合sinA≠0，可得，结合a＜b＜c，即可求C的值．
（Ⅲ）由得，由（II）可求sinA，，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．
【解答】解：（I）∵，
由函数f（x）的最小正周期为3π，即，解得，
∴，
∵时，可得：，∴，所以x=﹣π时，f（x）的最小值是﹣3，时，f（x）的最大值是1．
（II）由已知，由正弦定理，有==，
又sinA≠0，
∴，
又因为a＜b＜c，
∴．
（Ⅲ）由得．
∵，
∴．由知，
∴．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
20．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；
（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g （a）的最大值，利用导函数即可．
【解答】解：（1）由函数f（x）=e x﹣ax+a，可知f′（x）=e x﹣a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，
故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；
当a=0时，此时ab=0；
当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min（x），
∵f min（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，
设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，
当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
所以，即当，时，ab的最大值为．
【点评】本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；
（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔，设φ（x）
=，则f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔m≤φ（x）min，利用导数研究函数
φ（x）的单调性极值最值即可；
（2）函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln（1+x）=a在[0，2]上恰有两个相异实根．令F（x）=1+x﹣2ln（1+x），
利用导数研究其单调性极值与最值可得F min（x）=F（1）=2﹣2ln2．只要F（1）＜a≤F（2），可使方程h（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点．
（3）存在满足题意．f′（x）=2（1+x）﹣=，函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），对m分类讨论即可得出单调性，而函数g（x）在（﹣1，+∞）上的单调递
减区间是，单调递增区间是，解出即可．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔，
设φ（x）=，则f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔m≤φ（x）min，
∵φ′（x）=，
当x∈（0，e﹣1）时，φ′（x）＜0；当x∈（e﹣1，+∞）时，φ′（x）＞0．
故φ（x）在x=e﹣1处取得极小值，也是最小值，即φ（x）min=φ（e﹣1）=e，故m≤e．（2）函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln（1+x）=a在[0，2]上恰有两个相异实根，
令F（x）=1+x﹣2ln（1+x），则F′（x）=，当（0，1]时，F′（x）＜0，当（1，2]时，
F′（x）＞0，
故F（x）在（0，1]上递减，在（1，2]上递增，
故F min（x）=F（1）=2﹣2ln2．且F（0）=1，F（2）=3﹣2ln3，
因此F（0）＞F（2），
∴只要F（1）＜F（2），即只要F（1）＜a≤F（2），可使方程h（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点．
即a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．
（3）存在满足题意．f′（x）=2（1+x）﹣=，函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），
若m≤0，意．f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意；
当m＞0时，由f′（x）＞0，得2（1+x）2﹣m＞0，解得x＞﹣1+或x＜﹣1﹣（舍去），故m＞0时，函数f（x）的增区间是，单调递减区间是，而函数g（x）在（﹣1，+∞）上的单调递减区间是，单调递增区间是
，
故只需=﹣，解得m=．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a 的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值；
（Ⅱ）由题意首先求得：，故应按a＜0，a=0，a＞0分
类讨论：当a≤0时，易知函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而当b∈（0，1）时f（b）＜f（0），则不存在实数b∈（1，2），符合题意；当a＞0时，
令f′（x）=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f（x）x∈（﹣1，b]的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．
【解答】解：（Ⅰ）当a=时，，
则，化简得（x＞﹣1），
列表如下：
x （﹣1，
0）0 （0，1）1 （1，
+∞）
f′（x）+ 0 ﹣0 + f（x）增极大值减极小值增
∴函数f（x）在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，
f（1）=ln2﹣，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；
（Ⅱ）由题意，
（1）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或，
①当，即a＞时，函数f（x）在（）和（0，+∞）上单调递
增，
在（）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，
函数f（x）的最大值为f（b），则f（）＜f（1），代入化简得，
令（a＞），
∵恒成立，故恒有，
∴a时，恒成立；
②当，即0＜a＜时，函数f（x）在（﹣1，0）和（）上单
调递增，
在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得a≥1﹣ln2，
又1﹣ln2，
∴此时实数a的取值范围是1﹣ln2≤a＜；
③当a=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能
力，属难度较大的题目．
创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01。