钟祥三中高三文科数学试题十七

第6题图
钟祥三中高三文科数学试题十七
_______________________________________________________________________________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 设集合A ={x ||x －1|≤2}，B ={x |x 2－4x>0，x ∈R}，则A ∩（C R B ）=
A. [－1，3]
B. [0，3]
C. [－1，4]
D. [0，4] 2. i 为虚数单位，如果z =a 2+2a －3+(a 2－4a +3)i 为纯虚数，那么实数a 的值为 A. 1 B. 3或－1 C. －3 D. 1或－3 3. 函数f (x )=x +ln(x －1)的零点所在的区间为
A. （1，
32） B. （3
2
，2） C. （2，e ） D. (e ，+∞) 4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n . 已知a 5=8，S 3=6，则a 9=
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24 5. 抛物线y =4x 2的准线方程为
A. 116y =-
B. 116x =-
C. 116y =
D. 116
x = 6. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a ，侧棱长为2a ，其体积为43，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A. 4 B. 43
C. 8
D. 83
7. 从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是
A.
23 B. 25 C. 12 D. 13
8. 将函数y =cos(x －56
π
)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），再将所得图象向左平移
3
π
个单位，则所得函数图象对应的解析式是 A. y =cos 12x B. y =cos(2x －6π) C. y =sin(2x －6π) D. y =sin(12x －6π
)
第9题图
第11题图
9. 某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是 A. i>6? B. i>7?
C. i ≥6？
D. i ≥5?
10. 对于函数f (x )和g (x )，其定义域为[a , b ]，若对任意的x ∈[a , b ] 总有|1－
()
()
g x f x |≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的 函数中能置换f (x )=x , x ∈[4，16]的是
A. g (x )=2x +6 x ∈[4，16]
B. g (x )=x 2+9 x ∈[4，16]
C. g (x )=
1
3
(x +8) x ∈[4，16] D. g (x )=1
5
(x +6) x ∈[4，16]
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 11. 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到
了样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数为_________，众数为_________。

12. 学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方
法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：
相关学生 抽取人数 高一学生 56 b 高二学生 a 3 高三学生
35
5
则抽取的总人数为_________.
13. 设双曲线4x 2－y 2=1的两条渐近线与直线2
x
围成的三角形区域（包括边界）为E ， P （x , y ）为该区域内的一动点，则目标函数z =x －2y 的最小值为________.
14. 若不等式|x －a |<3成立的一个充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是
第17题图
第19题图 _________.
15. 海中有一小岛，周围42n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在
北偏东60°，航行6 n mile 以后，望见这岛在北偏东30°. 如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile 后海轮会触礁.
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，直线l ：x +y －4=0，点B (x ,y )是圆
C ：x 2+y 2-2x -1=0上的动点，A
D ⊥l ，B
E ⊥l ，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是________.
17. 在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且
满足a 1，j =2j －1，a i ，1=i ，a i +1，j +1=a i ，j +a i +1，j (i , j ∈N*)；又记第3行的数3，5，8，13，22，39……为数列{b n }，则(1)此数表中的第2行第8列的数为_________. (2)数列{b n }的通项公式为_________. 三、解答题：本大题共5小题，共65分.
18. (本小题满分12分) 已知在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为角A 、B 、C 所对的
边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，3sin cos m n B C =-. (1)求角A 的大小； (2)若a =3，求△ABC 面积的最大值.
19. (本小题满分12分)如图，在□ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，AD =4. 将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .
(1)求证：AB ⊥DE ； (2)求三棱锥E —ABD 的侧面积. 20. (本小题满分13分)已知数列{a n }的首项a 1= t >0，1321
n
n n a a a +=
+，n =1，2，……
(1)若t =35，求1
{1}n
a -是等比数列，并求出{a n }的通项公式；
(2)若a n +1>a n 对一切n ∈N*都成立，求t 的取值范围.
21. (本小题满分14分)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
2
，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为M （0，13-）与x 轴
不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程； (2)在y 轴上是否存在定点N ，使以PQ 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N 的坐标，若不存在，说明理由.
22. (本小题满分14分)已知函数f (x )=e x ，g (x )=ln x ，h (x )=kx +b.
(1)当b=0时，若对∀x ∈（0，+∞）均有f (x )≥h (x )≥g (x )成立，求实数k 的
取值范围；
(2)设h (x )的图象为函数f (x )和g (x )图象的公共切线，切点分别为(x 1, f (x 1))和(x 2,
g (x 2))，其中x 1>0. ①求证：x 1>1>x 2；
②若当x ≥x 1时，关于x 的不等式ax 2－x +xe x -+1≤0恒成立，求实数a 的取值范围.
新洲一中 红安一中 麻城一中2013年高三上学期期末联考
文科数学答案（十七）
考试时间：2013年1月21日 15：00—17：00 试卷满分：150分
______________________________________________________________________________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
C
A
C
A
B
D
D
A
D
二、填空题
11. 45；45 12. 16 13. 14. [1，3] 15. 3 16. 17. 129；b n =2n －
1+n +1
三、解答题
18. 解：(1) cos cos sin sin m n A B A B =+
又3sin cos()cos cos sin sin m n B A B B A B A B =++=+-…… (2分)
2sin sin B B A =，(4分) 又A 为锐角，∴A =3
π
………………………………………………(6分) (2) a 2=b 2+c 2－2bc osA
∴b 2+c 2－bc =9≥bc
∴S =
12bc bc ………(10分)
故△ABC 面积的最大值为
4
………………………………(12分) 19. (1) 证明 在△ABD 中，∵AB =2，AD =4，∠DAB =60°
∴BD = ∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥BD .
又∵平面EBD ⊥平面ABD ，
平面EBD ∩平面ABD =BD ，AB ⊂平面ABD ，
∴AB ⊥平面EBD . 又∵DE ⊂平面EBC ，∴AB ⊥DE . …………………(5分) (2)解：由(1)知AB ⊥BD.∵CD ∥AB ∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD 在Rt △DBE 中, ∵DB
DE =DC =AB =2，∴S △DBE =
1
232
DB DE =…(7分) 又∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE . ∵BE=BC=AD =4，S △ABE =
1
2
AB ·BE =4……………………………(9分) ∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD ， 而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE =
1
2
AD ·DE =4. …………(11分) 综上，三棱锥E —ABD
的侧面积S (12分) 20. 解：(1)由题意a n >0，
13113n n n a a a -+=，112
33
n n a a =+
11111(1)3n n a a +-=-，112
13
a -=………………………………………(4分) 所以数列{
1
1n
a -}是首项为23，公比为13的等比数列………………(5分)
111512
1(1)()333
n n n a -+-=-=，332n n n
a =+…………………………(7分) (2)由(1)知
11111(1)3n n a a +-=-，1111
1(1)()3
n n a t --=-………………(9分) 由a 1>0，a n +1=
321n n a a +知a n >0，故a n +1>a n 得1
11
n n a a +>……………(10分) 即(1
t －1)(
13)n +1<(1t －1) (13)1n -+1得1
t
－1>0 又t >0则0<t <1…………(13分)
21. 解：(1)
因为离心率为
2
，又2a
=a
c =1 故b =1，故椭圆的方程为2
212
x y +=…………………………(4分) (2)设l 的方程为y =kx －13 由2213
1
2
y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得(2k 2+1)x 2－43kx －169=0
设P (x 1, y 1)，Q(x 2, y 2) 则x 1+x 2=
243(21)k k + x 1·x 2=2
16
9(21)
k -+…………(8分) 假设在y 轴上存在定点N （0，m ）满足题设，则 11(,)NP x y m =- 22(,)NQ x y m =-
NP ·NQ = x 1x 2+(y 1－m )(y 2－m )= x 1x 2+ y 1y 2－m (y 1+y 2) +m 2
= x 1x 2+(kx 1－13)( kx 2－13)－m (kx 1－13+ kx 2－1
3) +m 2 =(k 2+1) x 1x 2－k (13+m )(x 1+x 2)+m 2+23m +1
9
=2169(21)k -
+－k (13+m )2
43(21)
k k ++m 2+23m +19 =222
18(1)2(9615)
9(21)
m k m m k -++-+………………(12分) 由假设得对于任意的k ∈R ，NP ·NQ =0恒成立
即2210
96150
m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得m =1 因此，在y 轴上存在定点N ，使得以PQ 为直径
的圆恒过这个点，点N 的坐标为(0,1)……………………………(14分) 22. 解：(1)依题意对∀x ∈（0，+∞）均有e x ≥kx ≥ln x 成立
即对任意∀x ∈（0，+∞）均有x
e x
≥k ≥ln x x 成立…………………(1分)
∴(x
e x
)min ≥k ≥max ln ()x x 因为(x e x )=2
(1)x e x x - 故x
e y x
=在（0，1）上减，（1，+∞）增 ∴（x
e x
）min =e 又2ln 1ln ()x x x x -=故ln x y x =在（0，e ）上减，（e ，+∞）增 ∴max ln 1()x x e = 即k 的取值范围是[1
e
，e ] (2)由题知：h (x )即为y －e 1x
= e 1x
(x －x 1)即y =e 1x
·x+ e 1x
－x 1 e 1x
也为y =ln x 2=221()x x x -即y =2
1x x +ln x 2－1 ∴1112
12
1
ln 1x x x e x
e x e x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩……(6分) 又x 1=0 ∴e 1x
>1 即2
1
x >1⇒x 1>1即x 1>1>x 2………………(8分) (3)令F (x )=ax 2－x +xe
x
-+1(x ≥x 1)∴F ′(x )= －1－xe
x
-+e
x
-=－1+e
x
-(1－x )( x ≥x 1)
又
x ≥x 1>1 F ′(x )= －1－xe x
-+e
x
-=－1+e
x
-(1－x )<0即F (x )=ax 2－x +xe
x
-+1(x ≥x 1)单
减,所以只要F (x )≤F (x 1)= ax 2－x 1+1xe
1
x -+1≤0即a + x 1－x 1e 1x
+ e 1x
≤0………(12分)
由111212
1
ln 1x x x e x
e x e x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ ∴11
1212ln ln 1x x x x e x e x =-⎧⎨-=-⎩ 即11111x
x
x x e e -+=- 故只要11111x
x
a x x e e a +-+=-≤0得：a ≤1 综上，实数a 的取值范围是（－∞，1]…………………(14分)。