步步高学习笔记必修第一册

1.4.2充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
一、充要条件
问题1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集．
提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题．
问题2你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识梳理
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
注意点：充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件．
例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝x－1；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；
(4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数．
解 (1)当x ＝1时，x －1＝
x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.
∴p 是q 的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5，
∴p 是q 的充要条件．
(3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，
得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ，
故p 是q 的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12
不是自然数，故q ⇏p .故p 是q 的既不充分也不必要条件．
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p ⇔q 与q ⇔p 的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．
跟踪训练1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；
(2)p ：⊙O 内两条弦相等，q ：⊙O 内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p ：A ∩B ＝∅，q ：A 与B 之一为空集；
(4)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；
解 (1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件．
二、充要条件的证明
例2 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac <0.
证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ＝b 2－4ac >0，且x 1x 2＝c a
<0，∴ac <0. 充分性：由ac <0可推出Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a
<0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正一负两实根．
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．
(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0.
证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，
当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点，
所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.
综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0.
三、充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．
因为p 是q 的必要不充分条件，
所以q 是p 的充分不必要条件，
即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧
1－m >－2，1＋m ≤10，
解得m ≤3.
又m >0，
所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．
延伸探究
1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．
解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．
因为p 是q 的充分不必要条件，
设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，
所以A B .
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧
1－m <－2，1＋m ≥10.
解不等式组得m >9或m ≥9，
所以m ≥9，
即实数m 的取值范围是m ≥9.
2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧
－2＝1－m ，10＝1＋m ，
m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练3 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a 存在，求a 的取值集合M ，若问题中的a 不存在，说明理由． 问题：已知集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{x |1－a ≤x ≤1＋a }(a >0)，是否存在实数a ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的________？
解 由题意知A ＝{x |0≤x ≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得0<a≤1，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|0<a≤1}．
若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
1．知识清单：
(1)充要条件概念的理解．
(2)充要条件的证明．
(3)充要条件的应用．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．
1．“x>0”是“x≠0”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件．
2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，
则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，
但当x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立．
3．“a <b ”是“a b
<1”的( ) A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 D
4．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．
答案 m ＝－2
解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，
则－m 2
＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，
则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．
课时对点练
1．“1<x <2”是“x ≤2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，A B.
故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件．
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件．
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
4．已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a －b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负．故是既不充分也不必要条件．
5．(多选)下列选项中正确的是()
A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C．A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件
D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
答案AD
6．(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是()
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤0或x>2
答案BC
解析从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有BC满足题意．
7．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案必要不充分
解析由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
8．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．
答案充要
解析由x∈B，显然可得x∈A∪B；
反之，由A⊆B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，
故x∈B是x∈A∪B的充要条件．
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1
2≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，
由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，
∴
⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1
2，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧
a <1
2，a ＋1≥1，
解得0≤a ≤1
2，
故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤1
2.
11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，
则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，
由集合的包含关系可知选A.
12．已知x ∈R ，则“x 2＝x ＋6”是“x ＝x ＋6”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由于“x 2＝x ＋6”，则“x ＝±x ＋6”，
故“x 2＝x ＋6”是“x ＝x ＋6”的必要不充分条件．
13.集合A ，B 之间的关系如图所示，p ：a ∈∁U B ，q ：a ∈A ，则p 是q 的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析由图可知A是B的补集的真子集，故选B.
14．已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案m≤－7或m≥1
解析因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
15．“已知四边形ABCD且A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
16．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
解“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．。