备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第2讲函数的单调性与最值

第2讲 函数的单调性与最值
1.[2024河北省唐山市其次中学模拟]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ C ） A.f （x ）＝－3
x B.f （x ）＝｜x ｜ C.f （x ）＝15x
D.f （x ）＝2
｜x －1｜
解析 A ：由反比例函数的性质知，f （x ）＝－3
x 在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意. B ：f （x ）＝｜x ｜＝{－x ，x <0，
x ，x ≥0
在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意.
C ：由指数函数的单调性知，f （x ）＝15x ＝（1
5）x 在（0，＋∞）上单调递减，符合题意. D ：f （x ）＝2
｜x －1｜
＝{2x －1，x ≥1，21－x ，x <1
在（0，＋∞）上不单调，不符合题意.故选C.
2.若函数f （x ）＝2x 2+3
1+x 2
，则f （x ）的值域为（ C ） A.（－∞，3] B.（2，3） C.（2，3]
D.[3，＋∞）
解析 f （x ）＝
2x 2+31+x 2
＝2＋1x 2+1
，∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0＜
1
x 2+1
≤1，∴2＜2＋
1
x 2+1
≤3，
即f （x ）∈（2，3].
3.设函数f （x ）在R 上为增函数，则下列结论确定正确的是（ D ） A.y ＝
1f （x ）
在R 上为减函数
B.y ＝｜f （x ）｜在R 上为增函数
C.y ＝－
1f （x ）
在R 上为增函数
D.y ＝－f （x ）在R 上为减函数 解析 设f （x ）＝x ，则y ＝
1f （x ）
＝1
x 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上
无单调性，A 错误；y ＝｜f （x ）｜＝｜x ｜在R 上无单调性，B 错误；y ＝－
1f （x ）
＝－1
x 的
定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，C 错误；y ＝－f （x ）＝－x 在R 上为减函数，所以选项D 正确.
4.[2024广东七校联考]若函数f （x ）＝2｜x －a ｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a 的取值范围是（ B ） A.[1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1）
D.（－∞，1]
解析 函数f （x ）＝2｜x －a ｜＋3的大致图象如图所示，其形态如一个“V ”，开口向上，顶点坐标为（a ，3），对称轴方程为x ＝a .由于函数f （x ）＝2｜x －a ｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，因此需满意对称轴x ＝a 在直线x ＝1的右侧，则a ＞1，故选B. 5.[2024甘肃兰化一中模拟]已知函数f （x ）＝{
e x －e －x ，x >0，－x 2，x ≤0，
若a ＝50.01，b ＝log 32，c ＝log 20.9，则有（ A ） A.f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B.f （b ）＞f （a ）＞f （c ） C.f （a ）＞f （c ）＞f （b ）
D.f （c ）＞f （a ）＞f （b ）
解析 因为y ＝e x 是增函数，y ＝e －
x 是减函数，所以f （x ）＝e x －e －
x 在（0，＋∞）上单调递增，且f （x ）＞0.又f （x ）＝－x 2在（－∞，0]上单调递增，且f （x ）≤0，所以f （x ）在R 上单调递增.又c ＝log 20.9＜0，0＜b ＝log 32＜1，a ＝50.01＞1，即a ＞b ＞c ，所以f （a ）＞f （b ）＞f （c ）.
6.[2024浙江名校联考]已知函数y ＝log 2（ax 2－x ）在区间（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ D ） A.（0，1
2）
B.（1
2，1）
C.（1
2，＋∞） D.[1，＋∞）
解析 由题意可得，函数y ＝log 2（ax 2－x ）是由函数y ＝log 2u 与函数u ＝ax 2－x 复合而成的，因为函数y ＝log 2u 在定义域内单调递增，所以由复合函数单调性的推断依据“同增异减”可知，要使函数y ＝log 2（ax 2－x ）在区间（1，2）上单调递增，则函数u ＝ax 2－x 在区间（1，2）上单调递增.若a ≤0，则易知函数u ＝ax 2－x 在（0，＋∞）上单调递减，所以不满意题意；若a ＞0，此时要满意题意，需{a ×12－1≥0，
12a
≤1，
（易错警示：对数型函数
考查单调区间时要留意真数大于0这一隐藏条件的应用） 解得a ≥1.故选D.
7.[2024浙江省嘉兴市阶段性测试]若函数f （x ）＝{（2－3a ）x +1，x ≤1，
a x
，x >1
满意对随意
两个不同的实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＜0成立，则实数a 的取值范围为（ B ）
A.[2
3，＋∞） B.（2
3，3
4]
C.（2
3，1）
D.[3
4，1）
解析 ∵对随意两个不同的实数x 1，x 2，都有
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）是R 上的减
函数，∴{2－3a <0，
a >0，
2－3a +1≥a ，
解得a ∈（23
，3
4
]，
∴实数a 的取值范围是（2
3，3
4].故选B.
8.[多选]已知函数f （x ）＝x －a
x （a ≠0），下列说法正确的是（ BCD ）
A.当a ＞0时，f （x ）在定义域上单调递增
B.当a ＝－4时，f （x ）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）
C.当a ＝－4时，f （x ）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）
D.当a ＞0时，f （x ）的值域为R
解析 当a ＞0时，f （x ）＝x －a
x ，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
∵f （x ）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，∴A 错误. 若a ＞0，当x →－∞时，f （x ）→－∞，当x →0－
时，f （x ）→ ＋∞，∴f （x ）的值域为R ，故D 正确.当a ＝－4时，f （x ）＝x ＋
4x
，易知
f （x ）的图象如图，由图象可知，B ，C 正确.
9.[2024河南郑州模拟]函数f （x ）＝4x －2x ＋
1－1的值域是 [－2，＋∞） .
解析 由题知f （x ）＝（2x ）2－2·2x －1，令2x ＝t （t ＞0），得m （t ）＝t 2－2t －1＝（t －1）2－2（t ＞0），由于m （t ）＝（t －1）2－2（t ＞0）在（0，1）上单调递减，在（1， ＋∞）上单调递增，所以m （t ）≥m （1）＝－2，故f （x ）的值域为[－2，＋∞）. 10.已知函数f （x ）＝2 025x －2 025－
x ＋1 ，则不等式f （2x －1）＋f （2x ）＞2的解集为 （1
4，＋∞） .
解析 由题意知，f （－x ）＋f （x ）＝2，所以f （－2x ）＋f （2x ）＝2，所以f （2x －1）＋
f （2x ）＞2＝f （－2x ）＋f （2x ），所以f （2x －1）＞f （－2x ），又由题意知函数f （x ）在R 上单调递增，所以2x －1＞－2x ，所以x ＞1
4，即原不等式的解集为（1
4，＋∞） .
11.[2024南昌市模拟]已知函数f （x ）的值域为A ，函数g （x ）＝f （x ）[f （x ）]2+1
的值域为B ，
则“A ＝[－1，1]”是“B ＝[－1
2
，1
2]”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 令t ＝f （x ），t ∈[－1，1]，则函数g （x ）可化为y ＝t t 2+1
，t ∈[－1，1]，当t ＝0
时，y ＝0；当t ≠0时，y ＝
1
t ＋1t
，记u ＝t ＋1
t
，
画出u ＝t ＋1t
在[－1，1]上的图象，如图中实线所示，易知u ≤－2或u ≥2，从而y ＝
1
t ＋1t
∈[－12
，0）∪（0，12
].综上，B ＝[－12
，1
2
]，充分性
成立.反之，令f （x ）＝2，则g （x ）＝f （x ）
[f （x ）]2+1
＝25∈[－12，1
2]，但f （x ）＝2∉[－1，1]，
所以必要性不成立.故选A. 12.已知函数f （x ）＝log a
a －x 2+x
（a ＞0，a ≠1）为奇函数，其定义域为A .函数g （x ）＝
1
x+2
＋
46－x
，当x ∈A 时，g （x ）≥M 恒成立，当且仅当x ＝x 0时取等号，则f （x 0）＝（ A ）
A.－1
B.－log 23
C.log 23
D.log 25
7
解析 因为函数f （x ）＝log a a －x 2+x
（a ＞0，a ≠1）为奇函数，所以f （－x ）＋f （x ）＝
log a
a ＋x 2－x
＋log a
a －x 2+x
＝log a
a 2－x 24－x 2
＝0，得a 2＝4.因为a ＞0，a ≠1，所以a ＝2，（也可以利用
f （0）＝0得出）
故f （x ）的定义域为A ＝（－2，2）.
由g （x ）≥M 在（－2，2）上恒成立，知M ≤g （x ）min .因为x ∈A ，所以x ＋2＞0，6－x ＞0，所以g （x ）＝1
8（1
x+2＋
46－x
）[（x ＋2）＋（6－x ）]＝18[5＋6－x x+2＋
4（x+2）6－x ]≥1
8（5＋4）
＝9
8，当且仅当6－x ＝2（x ＋2），即x ＝2
3时取等号.故x 0＝2
3，所以f （2
3）＝log 22－
232+23
＝－1.
故选A.
13.[多选/2024浙江名校联考]已知f （x ）是定义在{x ｜x ≠0}上的奇函数，当x 2＞x 1＞0时，x 1x 2[f （x 1）－f （x 2）]＋x 1－x 2＞0恒成立，则（ BC ） A.y ＝f （x ）在（－∞，0）上单调递增 B.y ＝f （x ）－1
2x 在（0，＋∞）上单调递减
C.f （2）＋f （－3）＞1
6 D.f （2）－f （－3）＞1
6
解析 因为当x 2＞x 1＞0时，x 1x 2[f （x 1）－f （x 2）]＋x 1－x 2＞0，可以化简为f （x 1）－ f （x 2）＞1
x 1
－1
x 2＞0，所以函数f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，因为函数f （x ）是定义在
{x ｜x ≠0}上的奇函数，所以函数f （x ）在（－∞，0）上单调递减，所以选项A 错误； 由f （x 1）－f （x 2）＞1x 1
－1x 2
＞0可得f （x 1）－12x 1
－[f （x 2）－12x 2
]＞12x 1
－1
2x 2
＞0，所以函数
y ＝f （x ）－1
2x
在（0，＋∞）上单调递减，所以选项B 正确；
取x 1＝2，x 2＝3，则f （2）－f （3）＞12－13＝1
6，因为函数f （x ）是定义在{x ｜x ≠0}上的奇函数，所以f （－3）＝－f （3），所以f （2）＋f （－3）＞1
6，所以选项C 正确； f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，但函数解析式不确定，所以若取f （2）＝1
12，f （3）＝－1
6，则f （2）－f （－3）＝f （2）＋f （3）＝1
12－1
6＝－1
12＜1
6，所以选项D 错误.故选BC.
14.[探究创新/多选/2024福建上杭一中模拟]高斯是德国闻名数学家，有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是（ ACD ） A.函数y ＝x －[x ]在区间[k ，k ＋1）（k ∈Z ）上单调递增 B.∀x ∈R ，x ≥[x ]＋1
C.若函数f （x ）＝｜√1+sin2x －√1－sin2x ｜，则y ＝[f （x ）]的值域为{0，1}
D.函数f （x ）＝[2x+1
1+2x －1
3]的值域为{－1，0，1}
解析 对于A ，x ∈[k ，k ＋1），k ∈Z ，有[x ]＝k ，则函数y ＝x －[x ]＝x －k 在[k ，k ＋1）上单调递增，A 正确；
对于B ，当x ＝2时，[x ]＋1＝3，有2＜[2]＋1，B 错误；
对于C ，f （x ）＝｜√1+sin2x －√1－sin2x ｜＝√（√1+sin2x －√1－sin2x ）2
＝
√2－2√1－sin 22x ＝√2－2｜cos2x ｜，
当0≤｜cos 2x ｜≤1
2
时，1≤2－2｜cos 2x ｜≤2，1≤f （x ）≤√2，有[f （x ）]＝1，当1
2
＜
｜cos 2x ｜≤1时，0≤2－2｜cos 2x ｜＜1，0≤f （x ）＜1，有[f （x ）]＝0，所以函数y ＝ [f （x ）]的值域为{0，1}，C 正确； 对于D ，函数y ＝2x+11+2
x －13
＝
2（2x +1)－2
2x +1－13
＝53－
2
2x +1
，x ∈R ，又2x ＋1＞1，因此0＜
2
2x +1
＜
2，所以－1
3＜
2x+1
1+2
x －13
＜53
，所以[
2x+1
1+2x
－13
]∈{－1，0，1}，D 正确.故选ACD.。