新教材高中数学集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 充分条件必要条件学案含解析新人教B版必修1

1．2.3 充分条件、必要条件
[课程目标] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．
知识点一 推出符号“⇒”
[填一填]
(1)命题的条件和结论
“如果p ,则(那么)q ”形式的命题,其中p 称为命题的条件,q
称为命题的结论． (2)推出符号“⇒”的含义
当命题“如果p ,则q ”是真命题时,就说由p 可以推出q
.记作p ⇒q ,读作“p 推出q ”．
[答一答]
1．如何理解“⇒”的含义？
提示：(1)只有当一个命题是真命题时,才能使用“⇒”表示．
(2)符号“⇒/ ”的含义：当命题“如果p ,则q ”是假命题时,就说由p 不能推出q .记作
p ⇒/ q ,读作“p 不能推出q ”．
(3)推出的传递性：若p ⇒q 且q ⇒r ,则p ⇒r . 知识点二 充分条件、必要条件
[填一填]
如果由p 可推出q ,则称 p 是q 的充分条件或q 是 p
的必要条件．
[答一答]
2．怎样深入理解充分条件、必要条件的定义？
提示：(1)p 是q 的充分条件是指p 成立就足够保证q 成立；q 是p 的必要条件是指q 是
p 成立必不可少的条件,q 成立,p 不一定成立,但q 不成立,p 一定不成立．
(2)若p 则q 是真命题,p ⇒q ,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件三种说法是等价的． (3)判定充分条件、必要条件只是对“p 能推出q ”进行了单向探讨,至于“q 能否推出
p ”这需结合定义理解,判断“若q 则p ”的真假．
知识点三 充要条件
[填一填]
一般地,如果p ⇒q ,且q ⇒p
,则称p 是q 的充分必要条件,简称p 是q 的充要条件,记作p ⇔q ,显然,q 也是 p 的充要条件．又常说成 p 当且仅当q
或p 与q 等价．
[答一答]
3．判断充要条件的步骤是怎样的？
提示：(1)确定条件是什么,结论是什么；(2)尝试从条件推结论,结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件．
类型一充分条件、必要条件的判定
[例1] 给出下列四组命题：
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[解](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根⇒/m<－2.∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线相等；而四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形,∴p是q的充分不必要条件．
1判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性,若p⇒q为真,则p 是q成立的充分条件,若q⇒p为真,则p是q成立的必要条件.
2注意利用“成立的证明,不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断.
3关于充分条件的判断问题,当不易判断p⇒q真假时,也可从集合角度入手进行判断.
[变式训练1] 判断下列条件中,p与q中的哪个条件是另一个条件成立的充分条件．
(1)p：△ABC中,∠A＝∠B,q：△ABC是等腰三角形；
(2)p：集合M是集合N的真子集,q：集合M是集合N的子集；
(3)p：x>1,q：2x－1>5.
解：(1)在△ABC中,若∠A＝∠B,则必有△ABC是等腰三角形,反之,若△ABC是等腰三角形,则未必有∠A＝∠B
(因为可以是任意的两个角相等),所以p⇒q,但q⇒p.因此p是q的充分条件,但q不是p 的充分条件．
(2)若集合M是集合N的真子集,则集合M必是集合N的子集,即p⇒q,但是若集合M是集合N的子集,未必有集合M是集合N的真子集(可能还有M＝N),即q⇒/p.因此p是q的充分条件,但q不是p的充分条件．
(3)q：x>3,p⇒/q,q⇒p,因此q是p的充分条件,但p不是q的充分条件．
类型二充要条件的求解与证明
[例2] 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解] (1)当a ＝0时,原方程化为2x ＋1＝0,此时根为x ＝－1
2,满足条件．
(2)当a ≠0时,因为方程的常数项为1不为0,f (0)＝1≠0,方程没有零根． ①若方程有两异号的实根x 1,x 2,则x 1x 2＝1
a
<0且Δ＝4－4a ≥0,即a <0；
②若方程有两个负的实根x 1、x 2,则需满足
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1x 2＝1
a
>0，
x 1
＋x 2
＝－2a
<0，
Δ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1
a >0，
－2
a <0，Δ＝4－4a ≥0，
解得0<a ≤1.
综上,若方程至少有一个负的实根,则a ≤1. 反之,若a ≤1,则方程至少有一个负的实根．
因此,关于x 的方程ax 2
＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.
证明充要条件问题要注意以下几点：
1充分性、必要性分开,指明哪一部分是充分性,哪一部分是必要性,否则将会扣分. 2充分性与必要性错证,将充分性证成必要性,必要性证成充分性,这也会造成失分. 为了避免将充分性与必要性证反,证充分性时,从条件开始,证必要性时从结论开始.
[变式训练2] 已知ab ≠0,求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3
＋b 3
＋ab －a 2
－b 2
＝0. 证明：必要性：
∵a ＋b ＝1,∴a ＋b －1＝0, ∴a 3
＋b 3
＋ab －a 2
－b 2
＝(a ＋b )(a 2
－ab ＋b 2
)－(a 2
－ab ＋b 2
) ＝(a ＋b －1)(a 2
－ab ＋b 2
)＝0. 充分性：
∵a 3
＋b 3
＋ab －a 2
－b 2
＝0, 即(a ＋b －1)(a 2
－ab ＋b 2
)＝0, 又ab ≠0,∴a ≠0且b ≠0,
∴a 2－ab ＋b 2
＝(a －b 2)2＋34
b 2>0,
∴a ＋b －1＝0,即a ＋b ＝1.
综上可知,当ab ≠0时,a ＋b ＝1的充要条件是a 3
＋b 3
＋ab －a 2
－b 2
＝0.
1．p：x＝1或x＝2,q：x－1＝x－1,则p是q的( C )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1,x－1＝x－1
⇒x＝1或x＝2,所以,p是q的充要条件．故选C.
2．设p：－1<x<1；q：－2<x<1,则p是q的( A )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由－1<x<1可得－2<x<1,反之不一定成立,因此p是q的充分不必要条件．故选A.
3．设集合M＝{x|0<x≤3},N＝{x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( B )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为N M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．故选B.
4．若“x>a”是“x>6”的必要条件,则实数a的取值范围是a≤6.
解析：依题意,“若x>6,则x>a”为真命题,故实数a的取值范围是a≤6.。