数学_2008年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2008年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 已知cosθ=3
5，且角θ在第一象限，那么2θ是( )
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角 2. 直线a // 平面α的一个充分条件是（ ）
A 存在一条直线b ，b // α，a // b
B 存在一个平面β，a ⊂β，α // β
C 存在一个平面β，a // β，α // β
D 存在一条直线b ，b ⊂α，a // b 3. 设命题p:x >2是x 2>4的充要条件，命题q ：若
a c
2>
b c 2
，则a >b ．则（ ）
A “p 或q”为真
B “p 且q”为真
C p 真q 假
D p ，q 均为假命题
4. 已知函数f(x)=log a x ，其反函数为f −1(x)，若f −1(2)=9，则f(1
2)+f(6)的值为（ ）
A 2
B 1
C 1
2
D 1
3
5. 若函数f(x)在(4, +∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f(4+x)=f(4−x)，则（ ）
A f(2)>f(3)
B f(2)>f(5)
C f(3)>f(5)
D f(3)>f(6) 6. 已知函数y =sin(x −π
12)cos(x −π
12)，则下列判断正确的是（ ）
A 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π
12,0) B 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π
12,0) C 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π
6,0) D 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π
6,0)
7. 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A 120种
B 48种
C 36种
D 18种
8. 一次抛掷三枚均匀的硬币，则正好一个正面朝上的概率是（ ） A 1
8
B 3
8
C 7
8
D 5
8
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 已知{a n }是等比数列，前n 项的和为S n ，若S 4=15，公比q =2，S 8=________．
10. 若(1+2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4(x ∈R)，则a 2=________；a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=________．
11. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3bsinA ，则cosB =________． 12. 已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30∘，
∠PF 2F 1=60∘，则椭圆的离心率e =________．
13. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则AB →
⋅BC →
+BC →
⋅CA →
+CA →
⋅AB →
的值等于________．
14. 从某区一次期末考试中随机抽取了100个学生的数学成
绩，用这100个数据来估计该区的总体数学成绩，各分数段的人数统计如图所示意．从该区随机抽取一名学生，则这名学生的数学成绩及格(≥60)的概率为________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 已知a 为实数，函数f(x)=e x (x 2−ax +a)． （1）求f′(0)的值；
（2）若a >2，求函数f(x)的单调区间．
16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为等边三角形． （1）求PC 与平面ABCD 所成角的大小； （2）求二面角B −AC −P 的大小； （3）求点A 到平面PCD 的距离．
17. 已知抛掷一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为1
27．
（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ． 18. 已知双曲线
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0, b >0)的一条渐近线方程为y =√3x ，两条准线间的距离
为1，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点． （1）求双曲线的方程；
（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M ，N ，点P 为双曲线上异于M ，N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ⋅k PN 的值． 19. 已知数列{a n }为等差数列．
（1）若a 1=3，公差d =1，且a 12
+a 2+a 3+...+a m ≤48，求m 的最大值；
（2）对于给定的正整数m ，若a 12+a m+12
=1，求S =a m+1+a m+2+...+a 2m+1的最大值． 20. 已知函数f(x)满足下列条件：(1)函数f(x)定义域为[0, 1]；(2)对于任意x ∈[0, 1]，f(x)≥0，且f(0)=0，f(1)=1；(3)对于满足条件x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1的任意两个数x 1，x 2，有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)．
(1)证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f(x)≤f(y)；
(2)证明：对于任意的0≤x≤1，有f(x)≤2x；
(3)不等式f(x)≤1.9x对于一切x∈[0, 1]都成立吗？
2008年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）答案
1. B
2. B
3. A
4. B
5. D
6. B
7. C
8. B
9. 255
10. 24,81
11. 2√2
3
12. √3−1
13. −25
14. 0.65
15. 解：（1）f′(x)=e x(x2−ax+a)+e x(2x−a)，
可得f′(x)=e x[x2−(a−2)x]．
所以f′(0)=0．
（2）当a>2时，令f′(x)>0，可得x<0或x>a−2．
令f′(x)<0，可得0<x<a−2．
可知函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(a−2, +∞)，单调减区间为(0, a−2)．
16. 解：（1）解：设O为AB中点，连接PO，CO，
∵ PA=PB，
∴ PO⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABCD，
∴ PO⊥平面ABCD．
∴ ∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角．
由底面正方形边长为2，△PAB为等边三角形，
则PO=√3，CO=√5，
∴ tanPCO=PO
CO =√15
5
．
∴ 直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan√15
5
．
（2）解：过O 做OE ⊥AC ，垂足为E ，连接PE ． ∵ PO ⊥平面ABCD ， ∴ PE ⊥AC ．
∴ ∠PEO 为二面角B −AC −P 的平面角． 可求得OE =
√22
． 又PO =√3，
∴ tanPEO =PO
OE =√6．
∴ 二面角B −AC −P 的大小为arctan √6． （3）解：∵ AB // 平面PCD ，
∴ 点A 到平面PCD 的距离等于点O 到平面PCD 的距离． 取CD 中点M ，连接OM ，PM ， ∵ PO ⊥CD ，OM ⊥CD ， ∴ CD ⊥平面POM ．
∴ 平面POM ⊥平面PCD ． 过O 做ON ⊥PM ，垂足为N ， 则ON ⊥平面PCD ．
在△POM 中，PO =√3，OM =2， 可得PM =√7， ∴ ON =
√3√7
=
2√21
7
． ∴ 点A 到平面PCD 的距离为
2√21
7
． 17. （1）解：设掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为r ，
则依题意有：C 33
⋅r 3=1
27．
可得r =1
3
．
∴ 抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为
P =C 32×(1
3)2×2
3=2
9．
（2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=C 30×(2
3)3×1
2=
427
；
P(ξ=1)=C 30×(23
)3×12
+C 31×13
×(23)2×12=
1027；
P(ξ=2)=C 31×1
3×(2
3)2×1
2+C 32×(1
3)2×2
3×1
2=9
27； P(ξ=3)=C 32×(1
3)2×2
3×1
2+C 33×(1
3)3×1
2=7
54； P(ξ=4)=C 33×(1
3)3×1
2=1
54．
∴ 随机变量ξ的分布列为
∴ Eξ=0×4
27+1×10
27
+2×9
27
+3×7
54
+4×1
54
=3
2
．
18. 解：（1）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：
{b
a
=√3 2a2
c
=1
a2+b2=c2.
解得a2=1，b2=3．
∴ 双曲线方程为x2−y2
3
=1．
（2）设M(x0, y0)，由双曲线的对称性，可得N(−x0, −y0)．设P(x P, y P)，
则k PM⋅k PN=y P−y0
x P−x0⋅y P+y0
x P+x0
=y P2−y02
x P2−x02
，
又x02−y02
3
=1，
∴ y02=3x02−3．
同理y P2=3x P2−3，
∴ k PM⋅k PN=3x P2−3−3x02+3
x P2−x02
=3．
19. 解：（1）由a12+a2+a3+...+a m≤48，
可得：a12−a1+a1+a2+a3+...+a m≤48，
又a1=3，d=1，可得：6+3m+m(m−1)
2
≤48．
整理得：m2+5m−84≤0，
解得−12≤m≤7，即m的最大值为7．
（2）解：S=a m+1+a m+2+⋯+a2m+1=(m+1)(a m+1+a2m+1)
2
设a m+1+a2m+1=A，
则A=a m+1+a2m+1+a1−a1=a m+1+2a m+1−a1=3a m+1−a1．
则a m+1=A+a1
3，由a12+(A+a1
3
)2=1，可得：10a12+2Aa1+A2−9=0，
由△=4A2−40(A2−9)≥0，可得：−√10≤A≤√10．
所以S=(m+1)(a m+1+a2m+1)
2=(m+1)A
2
≤√10(m+1)
2
．
20. (1)证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y−x≤1，
∴ f(y−x)≥0．
∴ f(y)=f(y−x+x)≥f(y−x)+f(x)≥f(x)，∴ 对于任意的0≤x≤y≤1，有f(x)≤f(y)．
(2)证明：由已知条件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)， ∴ 当x =0时，f(0)=0≤2×0， ∴ 当x =0时，f(x)≤2x ．
假设存在x 0∈(0, 1]，使得f(x 0)>2x 0， 则x 0一定在某个区间x 0∈(1
2k ,1
2k−1]上． 设x 0∈(1
2k ,
12k−1
]，
则f(2x 0)>4x 0，f(4x 0)>8x 0，⋯，f(2k−1x 0)>2k x 0． 由x 0∈(1
2k ,1
2k−1]，
可知1
2<2k−1x 0≤1，且2k x 0>1，
∴ f(2k−1x 0)≤f(1)=1， 又f(2k−1x 0)>2k x 0>1．
从而得到矛盾，因此不存在x 0∈(0, 1]，使得f(x 0)>2x 0． ∴ 对于任意的0≤x ≤1，有f(x)≤2x ． (3)解：取函数f(x)={0,0≤x ≤1
2
，1,12<x ≤1，
则f(x)显然满足题目中的①，②两个条件．
任意取两个数x 1，x 2，使得x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1， 若x 1,x 2∈[0,1
2]，
则f(x 1+x 2)≥0=f(x 1)+f(x 2)． 若x 1，x 2分别属于区间[0,1
2]和(1
2,1]中一个， 则f(x 1+x 2)=1=f(x 1)+f(x 2)， 而x 1，x 2不可能都属于(12,1]．
综上可知，f(x)满足题目中的三个条件． 而f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969．
即不等式f(x)≤1.9x 并不对所有x ∈[0, 1]都成立．。