新疆乌鲁木齐四中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

新疆乌鲁木齐四中2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1且x≠2}D．{x|x＞﹣1} 2．下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；
④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
3．函数的图象是（）
A．B．C．D．
4．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按如表分段累计计算：全月应纳税所得额税率
不超过3000元的部分3%
超过3000元至12000元的部分10%
超过12000元至25000元的部分20%
有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）
A．2000元B．1500元C．990元D．1590元
5．函数的定义域为（）
A．（0，+∞）B．〖0，1）C．（0，1〗D．〖0，1〗
6．若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则
f（﹣）+f（2）＝（）
A．﹣2B．0C．1D．2
7．函数y＝log a（2x﹣3）+4的图象恒过定点M，且点M在幂函数f（x）的图象上，则
f（3）＝（）
A．6B．8C．D．9
8．“”是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化满足关系式ln P0﹣ln p ＝kh，P0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的（）（取0.000126×8848.86＝1.1）
A．B．C．D．
10．已知角α的终边与单位圆交于点，则＝（）
A．B．C．D．
11．已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（）A．B．C．D．2
12．若，那么a的取值范围是（）
A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）
三、填空题
13．cos36°cos96°+sin36°sin96°的值是．
14．a＞1，则的最小值是．
15．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．
16．设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m在〖0，2π〗内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是．
四、解答题
17．（10分）求值：
（1），
（2）．
18．（10分）已知sin（π+α）＝﹣，且α为第二象限角．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为﹣，求tanα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈（0，），请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
20．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）在给定的坐标系中画出函数y＝f（x）在区间〖0，π〗上的图象．
21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），x∈R．
（1）若f（x0）＝，求x0的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈〖，〗时，求f（x）的最大值和最小值．
22．（10分）已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．
23．（10分）已知，其中α是第三象限角．（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝4，求sinα，cosα．
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题
1．D
〖解析〗∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|x＞1}∪{x|﹣1＜x＜2}＝{x|x＞﹣1}．故选：D．
2．c
〖解析〗对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题““∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，故③错误；
对于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式两边同除以c2便得到a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④正确；
即正确的有2个，故选：C．
3．D
〖解析〗因为函数是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A，B．
当x＝1时，y＝1﹣1＝0，所以排除C，选D．故选：D．
4．D
〖解析〗20000﹣5000＝15000，其中3000元应纳税3%，9000元应纳税10%，3000元应纳税20%，故一共纳税3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元．故选：D．
5．B
〖解析〗由题意可知，即，解得0≤x＜1，
∴函数的定义域为〖0，1），故选：B．
6．A
〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，
则f（2）＝f（0）＝0，f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），
又由当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（）＝4＝2，
则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2，故f（﹣）+f（2）＝（﹣2）+0＝﹣2，故选：A．
〖解析〗令log a1＝0，得2x﹣3＝1，即x＝2时，y＝4，
∴点M的坐标是P（2，4）；
幂函数f（x）＝xα的图象过点M（2，4），
所以4＝2α，解得α＝2；所以幂函数为f（x）＝x2；则f（3）＝9．故选：D．8．A
〖解析〗⇒，反之不成立，例如取α＝﹣2π．
∴“”是的充分不必要条件．故选：A．
9．C
〖解析〗∵珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米，k＝0.000126m﹣1，
∴0.000126×8848.86＝1.1，∴ln P0﹣ln p＝，
∴，即，
故珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的．故选：C．
10．D
〖解析〗∵角α的终边与单位圆交于点，
∴cosα＝，sinα＝﹣，
则＝cosα﹣cos2α＝cosα﹣2cos2α+1
＝﹣2×+1＝，故选：D．
11．A
〖解析〗因为θ∈（，2π），cosθ＝，
所以sinθ＝﹣＝﹣＝﹣，
则tanθ＝＝﹣，所以＝＝＝，故选：A．
〖解析〗若，
当a＞1时，则有a2+1＞2a＞1，求得a＞1；
当0＜a＜1时，则有0＜a2+1＜2a＜1，求得a∈∅，
综上，a的取值范围是（1，+∞），故选：D．
三、填空题
13．
〖解析〗原式＝cos36°cos96°+sin36°sin96°＝cos（96°﹣36°）＝cos60°＝．故答案为：．
14．3
〖解析〗∵a＞1，∴a﹣1＞0，
＝a﹣1++1≥2+1＝3，
当a＝2时取到等号，故答案为3.
15．（0，1〗
〖解析〗因为数在R上单调递增，
所以，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为（0，1〗．
故答案为：（0，1〗．
16．（0，1）
〖解析〗画出函数f（x）在〖0，2π〗的图象，如图示：
若函数g（x）＝f（x）﹣m在〖0，2π〗内恰有4个不同的零点，
即f（x）和y＝m在〖0，2π〗内恰有4个不同的交点，
结合图象，0＜m＜1，故答案为（0，1）．
四、解答题
17．解：（1）
＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．
（2）
＝log66+lg10﹣3+e ln8＝1﹣3+8＝6．
18．解：（1）由sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣，可得sinα＝，
因为α为第二象限角，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，
故tanα＝＝﹣2．
（2）＝＝
＝＝．
19．解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，
它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动，
若点B的横坐标为﹣，可得B的坐标为（﹣，），∴tanα＝＝＝﹣，
（2）若△AOB为等边三角形，则B（，），∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝2kπ+，k∈Z，
∴与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝2kπ+，k∈Z}．
（3）弓形AB的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝•α•12﹣•1•1•sinα＝（α﹣sinα），α∈（0，）．
20．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为＝π，∴
ω＝2．
再根据函数的图象关于直线x＝对称，
可得2×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，∴φ＝﹣，
故f（x）＝sin（2x﹣）．
（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z．
（Ⅲ）用五点法作函数y＝f（x）在区间〖0，π〗上的图象：
列表：
2x﹣﹣0π
x0πy﹣010﹣1﹣作图：
21．解；（1）f（x0）＝，∴2sin（2x0﹣）＝，
即sin（2x0﹣）＝，
∴2x0﹣＝+2kπ或2x0﹣＝+2kπ，k∈Z，
∴x0＝+kπ或x0＝+kπ，k∈Z；
（2）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为〖﹣+kπ，+kπ〗（k∈Z）；
（3）由（2）可得函数f（x）在〖，〗上单调递增，在〖，〗上单调递减，∴f（x）max＝f（）＝2sin＝2，
∵f（）＝1，f（）＝，
∴f（x）min＝1．
22．解：（Ⅰ）要使函数有意义，则，解得﹣3＜x＜3，
故函数y＝f（x）定义域为（﹣3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y＝f（x）的定义域为（﹣3，3），关于原点对称．
对任意x∈（﹣3，3），则﹣x∈（﹣3，3），
∵f（﹣x）＝lg（3﹣x）+lg（3+x）＝f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f（x）为偶函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）＝lg（3+x）+lg（3﹣x）＝lg（9﹣x2），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y＝f（x）为减函数．
又函数y＝f（x）为偶函数，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等价于|m|＜|2m﹣1|＜3，
解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
23．解：（1）∵α是第三象限角，∴sinα＜0，1﹣cosα＞0，1+cosα＞0，
∴＝
＝＝，
即f（α）＝；
（2）∵f（α）＝，∴sin，
则cos．
新疆乌鲁木齐四中2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1且x≠2}D．{x|x＞﹣1} 2．下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；
④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
3．函数的图象是（）
A．B．C．D．
4．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按如表分段累计计算：全月应纳税所得额税率
不超过3000元的部分3%
超过3000元至12000元的部分10%
超过12000元至25000元的部分20%
有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）
A．2000元B．1500元C．990元D．1590元
5．函数的定义域为（）
A．（0，+∞）B．〖0，1）C．（0，1〗D．〖0，1〗
6．若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则
f（﹣）+f（2）＝（）
A．﹣2B．0C．1D．2
7．函数y＝log a（2x﹣3）+4的图象恒过定点M，且点M在幂函数f（x）的图象上，则
f（3）＝（）
A．6B．8C．D．9
8．“”是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化满足关系式ln P0﹣ln p ＝kh，P0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的（）（取0.000126×8848.86＝1.1）
A．B．C．D．
10．已知角α的终边与单位圆交于点，则＝（）
A．B．C．D．
11．已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（）A．B．C．D．2
12．若，那么a的取值范围是（）
A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）
三、填空题
13．cos36°cos96°+sin36°sin96°的值是．
14．a＞1，则的最小值是．
15．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．
16．设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m在〖0，2π〗内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是．
四、解答题
17．（10分）求值：
（1），
（2）．
18．（10分）已知sin（π+α）＝﹣，且α为第二象限角．（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为﹣，求tanα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈（0，），请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
20．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）在给定的坐标系中画出函数y＝f（x）在区间〖0，π〗上的图象．
21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），x∈R．
（1）若f（x0）＝，求x0的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈〖，〗时，求f（x）的最大值和最小值．
22．（10分）已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．
23．（10分）已知，其中α是第三象限角．（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝4，求sinα，cosα．
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题
1．D
〖解析〗∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|x＞1}∪{x|﹣1＜x＜2}＝{x|x＞﹣1}．故选：D．
2．c
〖解析〗对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题““∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，故③错误；
对于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式两边同除以c2便得到a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④正确；
即正确的有2个，故选：C．
3．D
〖解析〗因为函数是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A，B．
当x＝1时，y＝1﹣1＝0，所以排除C，选D．故选：D．
4．D
〖解析〗20000﹣5000＝15000，其中3000元应纳税3%，9000元应纳税10%，3000元应纳税20%，故一共纳税3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元．故选：D．
5．B
〖解析〗由题意可知，即，解得0≤x＜1，
∴函数的定义域为〖0，1），故选：B．
6．A
〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，
则f（2）＝f（0）＝0，f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），
又由当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（）＝4＝2，
则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2，故f（﹣）+f（2）＝（﹣2）+0＝﹣2，故选：A．
〖解析〗令log a1＝0，得2x﹣3＝1，即x＝2时，y＝4，
∴点M的坐标是P（2，4）；
幂函数f（x）＝xα的图象过点M（2，4），
所以4＝2α，解得α＝2；所以幂函数为f（x）＝x2；则f（3）＝9．故选：D．8．A
〖解析〗⇒，反之不成立，例如取α＝﹣2π．
∴“”是的充分不必要条件．故选：A．
9．C
〖解析〗∵珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米，k＝0.000126m﹣1，
∴0.000126×8848.86＝1.1，∴ln P0﹣ln p＝，
∴，即，
故珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的．故选：C．
10．D
〖解析〗∵角α的终边与单位圆交于点，
∴cosα＝，sinα＝﹣，
则＝cosα﹣cos2α＝cosα﹣2cos2α+1
＝﹣2×+1＝，故选：D．
11．A
〖解析〗因为θ∈（，2π），cosθ＝，
所以sinθ＝﹣＝﹣＝﹣，
则tanθ＝＝﹣，所以＝＝＝，故选：A．
〖解析〗若，
当a＞1时，则有a2+1＞2a＞1，求得a＞1；
当0＜a＜1时，则有0＜a2+1＜2a＜1，求得a∈∅，
综上，a的取值范围是（1，+∞），故选：D．
三、填空题
13．
〖解析〗原式＝cos36°cos96°+sin36°sin96°＝cos（96°﹣36°）＝cos60°＝．故答案为：．
14．3
〖解析〗∵a＞1，∴a﹣1＞0，
＝a﹣1++1≥2+1＝3，
当a＝2时取到等号，故答案为3.
15．（0，1〗
〖解析〗因为数在R上单调递增，
所以，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为（0，1〗．
故答案为：（0，1〗．
16．（0，1）
〖解析〗画出函数f（x）在〖0，2π〗的图象，如图示：
若函数g（x）＝f（x）﹣m在〖0，2π〗内恰有4个不同的零点，
即f（x）和y＝m在〖0，2π〗内恰有4个不同的交点，
结合图象，0＜m＜1，故答案为（0，1）．
四、解答题
17．解：（1）
＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．
（2）
＝log66+lg10﹣3+e ln8＝1﹣3+8＝6．
18．解：（1）由sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣，可得sinα＝，
因为α为第二象限角，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，
故tanα＝＝﹣2．
（2）＝＝
＝＝．
19．解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，
它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动，
若点B的横坐标为﹣，可得B的坐标为（﹣，），∴tanα＝＝＝﹣，
（2）若△AOB为等边三角形，则B（，），∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝2kπ+，k∈Z，
∴与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝2kπ+，k∈Z}．
（3）弓形AB的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝•α•12﹣•1•1•sinα＝（α﹣sinα），α∈（0，）．
20．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为＝π，∴
ω＝2．
再根据函数的图象关于直线x＝对称，
可得2×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，∴φ＝﹣，
故f（x）＝sin（2x﹣）．
（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z．
（Ⅲ）用五点法作函数y＝f（x）在区间〖0，π〗上的图象：
列表：
2x﹣﹣0π
x0πy﹣010﹣1﹣作图：
21．解；（1）f（x0）＝，∴2sin（2x0﹣）＝，
即sin（2x0﹣）＝，
∴2x0﹣＝+2kπ或2x0﹣＝+2kπ，k∈Z，
∴x0＝+kπ或x0＝+kπ，k∈Z；
（2）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为〖﹣+kπ，+kπ〗（k∈Z）；
（3）由（2）可得函数f（x）在〖，〗上单调递增，在〖，〗上单调递减，∴f（x）max＝f（）＝2sin＝2，
∵f（）＝1，f（）＝，
∴f（x）min＝1．
22．解：（Ⅰ）要使函数有意义，则，解得﹣3＜x＜3，
故函数y＝f（x）定义域为（﹣3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y＝f（x）的定义域为（﹣3，3），关于原点对称．
对任意x∈（﹣3，3），则﹣x∈（﹣3，3），
∵f（﹣x）＝lg（3﹣x）+lg（3+x）＝f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f（x）为偶函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）＝lg（3+x）+lg（3﹣x）＝lg（9﹣x2），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y＝f（x）为减函数．
又函数y＝f（x）为偶函数，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等价于|m|＜|2m﹣1|＜3，
解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
23．解：（1）∵α是第三象限角，∴sinα＜0，1﹣cosα＞0，1+cosα＞0，
∴＝
＝＝，
即f（α）＝；
（2）∵f（α）＝，∴sin，
则cos．。