2021年广东省中考数学最后押题卷(Word版含解答)

2021年广东省中考数学最后押题卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.﹣5的倒数是（ ）
A. 5
B. 15
C. ﹣5
D. −15
2.自新型冠状病毒肺炎肆虐全球以来，万众一心战疫情已成为世界各国的共同语言，Worldometers 世界实时统计数据显示，截至北京时间2021年3月25日7时01分，全球累计确诊新冠肺炎（COVID-19）病例超过125300000例，将125300000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.253×107
B. 1.253×108
C. 0.1253×109
D. 1253×105
3.如图所示的几何体，它的主视图是( ) A. B. C. D.
4.下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. 2a ·3a=6a 2
B. a 9÷a 3=a 3
C. (a −b)2=a 2−ab +b 2
D. (2a 2)3=6a 6
5.一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率为( )
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
6.如图，AB // CD ，AD ⊥AC ，∠BAD ＝35°，则∠ACD ＝（ ）
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
7.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：DE ＝2：1，连接BE ， 交AC 于点F ， AC ＝12，则AF 为（ ）
A. 4
B. 6
C. 5.2
D. 4.8
8.如图，在矩形 ABCD 中， AD =2 .将 ∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A ′ ，折痕为 DE .若将 ∠B 沿 EA ′ 向内翻折，点 B 落在 DE 上，记为 B ′ ，则 AB 的长为（ ）
A. √3
B. 1
C. 2
D. √2
9.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
10.在边长为√2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF//AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）
A. B. C. D.
二、填空题（共7题；共28分）
11.分解因式：a2b-4b=________ 。

12.一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的一个内角的度数是________度．
13.一组数据1，1，x ，2，4，5的平均数是3，则这组数据的中位数是________．
14.分式6
x−3与x
3−x
的和为2，则x的值为________．
15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，以AC、BD的交点O为圆心，OC为半径作弧交
BC于点E ，再分别以点E、C为圆心，大于1
2
EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M ，若OM=3，则AC的长是________．
16.如图，扇形OPQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，若∠POQ＝120°，OP等于正六边形ABCDEF边心距的2倍，AB＝2，则阴影部分的面积为________．
17.如图，函数y＝x与y＝k
x
（k＞0）的图象相交于A ，B两点，P是反比例函数图象上任一点（不与A ，B重合），连接PA ，PB ．对于△ABP ，有如下性质：|∠PBA﹣∠PAB|恒为定值且等于
90°．根据上述性质完成：若在图中，tan∠PAB＝1
2
，△PAB的面积S△PAB＝12，则k＝________．
三、解答题一（共3题；共18分）
18.计算：−22+2√3sin60°−√83．
19.先化简，再求值：(1
a−2−2
a2−4
)÷a2−2a
a2−4
，其中a=√2+2．
20.某校九年级(1)班部分学生接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了如图①②两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）九年级(1)班接受调查的学生共有多少名？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数．
四、解答题二（共3题；共24分）
21.如图，四边形ABCD为菱形，BD为对角线，以AB为直径的⊙O交AD于点E，交BD于点F，⊙O 的切线BG交CD于点G。

（1）求证：DE=DC；
（2）若⊙O的直径为5，DF= √5，求DE的长。

22.某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价100元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为81元.
（1）求每次降价的百分率.
（2）若按标价出售，每瓶能盈利100%，问第一次降价后销售消毒液100瓶，第二次降价后至少需要销售多少瓶，总利润才能超过5000元？
23.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线l∥AB，点G是BC边上一点，连接AG，过点C作GE⊥AG交l于点E，连接AE。

（1）如图1，当G为BC的中点时，设AE交BC于点F，延长AG交l于点D。

①求证：AE=DE；
②求证：AF
GF =CF
EF
（2）如图2，当∠B=45°时，求AG
AE
的值。

五、解答题三（共2题；共20分）
24.如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直线y=−x+5经过点B（5，0），C（0，5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC,AP，判定ΔAPC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由.
25.如图，在矩形ABCD中，AD＝2 √5，AB＝4 √5，DM⊥AC于点M ，在对角线AC上取一点N ，使得2CN＝3AM ，连接DN并延长交BC于点E ，F是AB上一点，连接EF ，MF ．当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N ．
（1）求AM ，CE的长．
（2）若EF∥AC ，记EP＝x ，AQ＝y ．
①求y关于x的函数表达式．
②连接PQ ，当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．
（3）在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v1，记点P的运动速度为v2，求v1
的值．
v2
答案
一、选择题
1.解：﹣5与﹣1
5
的乘积是1，
所以﹣5的倒数是﹣1
5
．
故答案为：D ．
2.解：125300000=1.253×108．
故答案为：B．
3.解：从正面看该几何体所得到图形与选项A相同.
故答案为：A.
4.解：A、2a⋅3a=6a2，此项计算正确，符合题意；
B、a9÷a3=a6，此项计算错误，不符题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，此项计算错误，不符题意；
D、(2a2)3=8a6，此项计算错误，不符题意.
故答案为：A.
5.解：由题意可知一共有6个球，绿球有2个，
∴P（从中摸出一个球是绿球）=2
6=1
3
.
故答案为：B.
6.解：∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：C．
7.解：在▱ABCD中，AD=BC ，AD∥BC ，∵AE：DE＝2：1，，
∴AE= 2
3AD= 2
3
BC ，
∵AD∥BC ，
∴△AEF∽△CBF ．
∴AF：FC=AE：BC=2：3，
∴AF
AC =2
3+2
=2
5
，
∵AC=12，
∴AF= 2
5
×12=4.8．故答案为：D ．
8.解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴ ∠ADC =∠C =∠B =90° ， AB =DC ，
由翻折知， △AED ≌ △A ′ED ， △A ′BE ≌ △A ′B ′E ， ∠A ′B ′E =∠B =90° ， ∴ ∠AED =∠A ′ED ， ∠ADE =∠A ′DE ， ∠A ′EB =∠A ′EB ′ ， BE =B ′E ， ∠A ′B ′D =90° ，
∴ ∠AED =∠A ′ED =∠A ′EB =13×180°=60° ， ∴ ∠A ′DE =∠ADE =90°−∠AED =30° ，
∴ ∠ADE =∠A ′DE =∠A ′DC =30° ，
又∵ ∠C =∠A ′B ′D =90° ， DA ′=DA ′ ，
∴ △DB ′A ′ ≌ △DCA ′ （AAS ），
∴ DC =DB ′ ，
在 Rt △AED 中， ∠ADE =30° ， AD =2 ，
∴ AE =AD ⋅tan30°=2×√33=2√33 ，
设 AB =DC =x ，则 BE =B ′E =x −2√33
， ∵在 Rt △AED 中， AE 2+AD 2=DE 2 ，
∴ (2√33)2+22=(x +x −
2√33)2 ， 解得， x 1=−√33
（负值舍去）， x 2=√3 ， ∴ AB =√3 .
故答案为：A.
9.解：∵函数开口方向向上，a ＞0，
∵对称轴为x ＝1，则﹣
b 2a ＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，
∵与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c ＜0，
∴abc ＞0，故①错；
当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ＞0，即a+c ＞b ， 故②符合题意；
对称轴为x ＝1，则﹣ b 2a ＝1，即b ＝﹣2a ，
由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，
∴4a+c＞a＞0，故③符合题意；
由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，
∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c ，
∴am2+bm≥a+b ，即a+b≤m（am+b），故④符合题意．综上，正确的个数有三个．
故答案为：B ．
10.解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝1
2
BD=1，
①当P在OB上时，即0≤x≤1，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BP：OB，
∴EF＝2BP＝2x，
∴y＝1
2EF•OP＝1
2
×2x ·(1−x)＝-x2+x；
②当P在OD上时，即1＜x≤2，∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC＝DP：OD，
即EF：2=(2−x)：1，
∴EF＝2（2﹣x），
∴y＝1
2EF•OP＝1
2
×2(2−x)·(x−1)＝-x2+3x−2，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．
根据题意可知正确的图象只有选项B．
故答案为：B．
二、填空题
11.解：a2b−4b=b(a2−4)=b(a+2)(a−2).
12.设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n−2）•180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：（n−2）•180°＝360°×3，
解得：n＝8．
∴这个正多边形的每个外角＝360°
8
＝45°，
则这个正多边形的每个内角是180°−45°＝135°，
故答案为：135．
13.解：∵数据1，1，x ，2，4，5的平均数是3，∴1+1+x+2+4+5
6
＝3，
解得x＝5，
所以这组数据为1，1，2，4，5，5，
则这组数据的中位数为2+4
2
＝3，
故答案为：3．
14.根据题意可知6
x−3+x
3−x
=2，
等式两边同乘(x−3)得：6−x=2(x−3)，
整理得：6−x=2(x−3)，
解得x=4．
经检验x=4是原分式方程的根．
故答案为：4．
15.解：由题意可得OM⊥BC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，AO=CO，∠ABC=60°，∠DBC=∠ABD=30°，
∴BO=2OM=6，BO= √3CO，
∴CO=2 √3，
∴AC=2OC=4 √3，
故答案为：4√3．
16.解：连接OE ，OD ，OC ．设EF交OP于T ，CD交OQ于J ．
∵∠POQ＝∠EOC＝120°，
∴∠EOT＝∠COJ ，
∵OE＝OJ ，∠OET＝∠OCJ＝60°，
∴△EOT≌△COJ（ASA），
∵正六边形ABCDEF ，
∴△ODE,△OCD都是边长为2的等边三角形，
∴S五边形OTEDJ＝S四边形OEDC＝2×√3
4
×22＝2 √3，
∵ OP等于正六边形ABCDEF边心距的2倍，而正六边形ABCDEF边心距为：√22−12=√3,∴OP=2√3,
∴S阴＝S扇形OPQ﹣S五边形OTEDJ＝120π⋅(2√3)2
360
−2√3=4π−2√3.
故答案为：4π﹣2 √3 ．
17.解：如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，
∴∠BDP ＝90°， ∴tan ∠PAB ＝
PD AD
＝ 1
2 ，即AD ＝2PD ，
∵∠ABP ＝∠BPD+∠BDP ， 且|∠PBA ﹣∠PAB|＝90°， ∴∠PAB ＝∠BPD ，
∴tan ∠BPD ＝tan ∠PAB ＝ BD
PD ＝ 1
2 ，即PD ＝2BD ， 设BD ＝m ， 则PD ＝2m ， AD ＝4m ， ∴AB ＝AD ﹣BD ＝3m ，
∴S △PAB ＝ 1
2·AB ·PD ＝12，即 1
2·3m ·2m ＝12， 解得m ＝2，（m ＝﹣2舍），
∴AB ＝3m ＝6，
联立 {y =x
y =
k x ，可得A （ √k ， √k ），B （﹣ √k ，﹣ √k ）， ∴（ √k + √k ）2+（ √k + √k ）2＝62 ， 整理得，4k+4k ＝36，解得k ＝ 9
2 ． 故答案为： 9
2 ． 三、解答题
18. 解：原式 =−4+2√3×√3
2−2
=−4+3−2 =−3 19. 解： (
1a−2
−2
a 2−4)÷a 2−2a a 2−4
＝ (a+2
a 2−4−2
a 2−4)·a 2−4
a(a−2) ＝ a
a 2−4·a 2−4
a(a−2)
＝ 1
a−2 ．
当 a =√2+2 时，原式＝ √2
2 ．
20. （1）解：接受调查的学生有10÷20%＝50(名)． （2）解：听音乐的人数为50－10－5－15－8＝12(人)． 补全条形统计图如图：
“体育活动C ”所对应的圆心角的度数＝ 1550
×360°＝108°.
21. （1）证明：如答案图，连接BE ，
∵AB 是⊙O 的直径，∠AEB=90°，∠BED=90°∴BG 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=90°， ∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB ∥CD ，∠BDE=∠BDG ，∴∠BGD=90° 在△BDE 与△BDG 中， {∠BED =∠BGD
∠BDE =∠BDG BD =BD
∴△BDE ≌△BDG( AAS) ，∴DE = DG ；
（2）解：如答案图，连接AF ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°，∴AF ⊥BF
∵AB=AD ，∴BD=2DF=2 √5 ，设DE=x ， ∴AE=AD-DE=5-x
∵BE 2=AB 2-AE 2=BD 2-DE 2 ， ∴52-(5-x)2=(2 √5 )2-x ， 解得x=2，∴DE = 2．
22. （1）解：设每次降价的百分率为x ， 依题意得： 100(1−x)2=81 ， 解得： x 1=0.1，x 2=1.9 （舍）
答：每次降价的百分率为10%
（2）解：进价为：100÷（1+100%）=50元
第一次降价后售价为：100×（1-10%）=90元
设第二次降价后需要销售m瓶，则(90−50)×100+(81−50)m>5000解得：m>1000
31
，
∵m为整数，
∴第二次降价后至少需要销售33瓶，总利润才能超过5000元.
23. （1）①证明∵G为Rt△ABC斜边BC的中点，∴AG=BG=CG
∵I∥AB，
∴∠BAG=∠CDG，∠B=∠GCD，∴△ABG≌△DCG(AAS)，∴AG=DG 又∵GE⊥AG，∴GE为AD的中垂线，
∴AE=DE；
②证明：由①知AG=CG，AG=DG，∴CG=DG，∴∠DCG=∠CDG
∵AE= DE，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠DAE=∠DCG
∵∠AFG=∠CFE，∴△AFG∽△CFE，
∴AF
CF =GF
EF
，即AF
GF
=CF
EF
（2）解：如答案图，过点G作GM⊥BC交AC于点M，
∵∠B=45°，∠BAC=90°，
∴∠ACB =45°，∴∠CMG=45°，
∴GM=CG，∠GCE=∠AMG=135°(11分)
又∵GE⊥AG，GM⊥BC，
∴∠AGM+∠MGE=90°，∠CGE+∠MGE=90°，
∴∠AGM=∠CGE，△AMG≌△ECG(ASA)，
∴AG=EG，即△AGE是等腰直角三角形，
∴AG
AE =√2
2
24. （1）解：将C（0，5）B（5，0）代入y=ax2−6x+c ∴{5=a⋅02−6×0+c
0=52a−6×5+c
解得{a=1
c=5
∴该抛物线的解析式为y=x2−6x+5
（2）解：△APC的为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2−6x+5=0，
则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线y=x2−6x+5的对称轴为直线x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴△APC的为直角三角形
（3）解：如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴{5=k⋅0+b
0=k+b
解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y= 1
5
x+n
∵点E的坐标为（1
2,5
2
）
∴5
2= 1
5
×1
2
+n，解得：n= 12
5
∴EM1的函数解析式为y= 1
5x+ 12
5
∵{y=−x+5
y=1
5x+12
5
解得{
x=13
6
y=17
6
∴M1的坐标为（13
6,17
6
）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2设M2（a，-a+5）
则有：3= 136+a
2，解得a= 23
6
∴-a+5= 7
6
∴M2的坐标为（23
6，7
6
）.
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（13
6,17
6
），M2（23
6
，7
6
）
25. （1）解：在矩形ABCD中，AD＝2 √5，AB＝4 √5，∠ADC＝90°，∴AC＝√AD2+DC2=√(2√5)2+(4√5)2＝10，
∵DM⊥AC，
∴∠ADM＝∠DCM，
∴AM＝AD•sin∠ADM＝AD•sin∠DCM＝2 √5×√5
5
＝2，
∵2CN＝3AM，
∴CN＝3，AN＝AC﹣CN＝7，
∵AD∥CE，
∴△ADN∽△CEN，
∴AD
CE =AN
CN
，
∴2√5
CE =7
3
，
∴CE＝6√5
7
（2）解：①若EF∥AC，则EF＝√5BE＝√5×8√5
7＝40
7
，
∵P，Q匀速运动，设y＝kx＋b，（k≠0），
令x＝0，y＝b，此时点P在E点，Q在M点，b＝AM＝2；令y＝7时，此时Q在N点，P在F点，x＝40
7
，
即{2=b
7=40
7k+b
，
解得k＝7
8
，
∴y＝7
8
x＋2；
②（i）当QP∥DM时，AN﹣y＋CN﹣6
7
＝x，
解得x＝80
21
，
（ii）当QP∥MF时，四边形QMFP是平行四边形，由MQ＝FP得，y﹣2＝40
7
﹣x，
解得x＝64
21
，
（iii）当QP∥NE时，四边形QPEN为平行四边形，由QN＝EP可得，7﹣y＝x，
解得x＝8
3
．
综合以上可得，满足条件的x的值为80
21或64
21
或8
3
（3）解：PQ同时经过B，D时，Q为AC的中点，此时MQ＝3，QN＝2，
由题意知EP
FP =MQ
NQ
=3
2
，
过点P作PH⊥BE，EH＝3
5EB＝3
5
×8√5
7
=24√5
35
，BH＝16√5
35
，
∴PH=2BH=32√5
35
，
则EH∶PH∶EP＝3∶4∶5，
∴EF=5
3BE＝5
3
×8√5
7
＝40√5
21
，
∴Q，P的运动速度比为v1v
2=MN
EF
=
40√5
21
＝21√5
40。