河南省郑州市第一中学高三数学上学期第二次月考试题 文

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}2,1,0,1,3{--=A ，}1,0,1,2{--=B ，则=B A ( ) A ．}2,0,1{- B ．}1,0,1{- C ．}0,1{- D ．}0,2{- 2．复数i i z )1(+=（i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 上．（ ） A ．x y 2-= B ．x y 2= C ．x y -= D ．x y =
3．已知命题p ：)(22R m b m a m ∈>，命题q ：b
a 1
1>，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
4．抛物线4
2
y x =上一点P 到焦点F 的距离为3，则点P 到直线10-=x 的距离为（ ）
A ．5
B ．6
C ． 10
D ．12
5．已知数列}{n a 的通项公式为2
2ln )1ln(n n a n --=，则=++4
32a a a e
（ ）
A ．83-
B ．83
C ．85-
D ．8
5 6．曲线32ln )(+-=x x x f 在点)1,1(处的切线方程是（ ）
A ．02=-+y x
B ．02=+-y x
C ． 02=++y x
D ．02=--y x
7．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）
A ．7
B ．16
C ． 28
D ．43
8．为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2，则这四个单位的总人数N 为（ ） A ．96 B ．120 C ．144 D ．160
9．函数)2411(log 2
3+-=x x y 的递减区间为（ ）
A ．)3,(-∞
B ．)2
11,(-∞ C ． ),8(+∞ D ．),211
(+∞
10．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体
的体积是（ ）
A ．3)324(cm π+
B ．3)34(cm π+
C ． 3)3
28(cm π+ D ．3)3
8(cm π
+
11．小王计划租用B A ,两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩，
A 与
B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求
租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A 型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）
A ．1000元
B ．2000元
C ．3000元
D ．4000元 12． 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h ），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为a ），四棱锥的底面是有一个角为0
60的菱形（边长为b ），圆锥的体积为V ，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（ ） A ．1:2:,32,34===
b a h V b h V a B ．2:1:,32,34===b a h
V
b h V a C ． 1:2:,32,34===
b a h V
b h V a D ．2:1:,32,34===
b a h
V b h V a 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x
x x f ---=2|
4|3)(2的定义域为 ．
14．已知21)(),,2(),3,3(=-⋅-==m ，则实数m 的值为 ． 15．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知4
1cos ,2,8-==-=A c b a ，则ABC ∆的面积为 ．
16．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使MAB ∆的面积大于
4
3
的概率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a 满足92=a ，781-=+n n a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设)(1*31N n a c n n ∈-=+,将n c 的底数与指数互换得到n d ，设数列}1
{n
d 的前n 项和为n T ，求证：20
33<
n T ． 18．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形，AD AB 2=，E 是AB 的一个三等分点（靠近点A ），CE 的延长线与DA 的延长线交于点F ，连接PF ． （1）求证：PF CD ⊥；
（2）求证：在线段PD PC ,上可以分别找到两点'A ，''A ，使得直线⊥PC 平面'''A AA ，并分别求出此时
PD
PA PC PA '
',
'的值．
19．某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）．为研究这次口语考试成绩为高分（80分以上（含80分）为高分）是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生的成绩，按从低到高分成]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[),50,40[),40,30[七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．已知区间)50,40[上的频率等于区间)90,80[上频率，区间)90,80[上的频率与区间]100,90[上的频率之比为2:3．
（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的人数；
（2）请你根据已知条件将下列22⨯列联表补充完整，并判断是否有%9.99的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．
附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率与双曲线'C ：1222
2=-y x 的离心率互为倒数，且经过点)3
1
,34(M ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，已知S R ,是椭圆上的两个点，线段RS 的中垂线的斜率为
2
1
且与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：M O P ,,三点共线．
21．已知函数)(1232)(2
3
R m m x x x x h ∈+-+=的一个极值为2-．
（1）求实数m 的值；
（2）若函数)(x h 在区间]2
3,[k 上的最大值为18，求实数k 的值．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点)6,2(-P ，倾斜角4
π
α=
，圆C 的极坐标方程θρcos 2=．
（1）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；
（2）设圆C 上的点A 到直线l 的距离最近，点B 到直线l 的距离最远，求点B A ,的横坐标之积．
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|4||5|)(++-=x x x f ． （1）求不等式12)(≥x f 的解集； （2）若关于x 的不等式012)(31≥---a
x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5：BCADD 6-10：ACBAD 11、12：DC 二、填空题
13．]7,2()2,1[]1,7[ -- 14．1 15．153 16．2
1
三、解答题
17．（1）设)(81k a k a n n +=++（k 为常数），则k a k a n n 881+=++， 得k a a n n 781+=+，又781-=+n n a a ，所以77-=k ，即1-=k 所以)1(811-=-+n n a a ，由92=a ，7812-=a a ，得21=a
又因为0111≠=-a ，所以数列}1{-n a 是以1为首项，8为公比的等比数列，所以
181-=-n n a ，
所以181
+=-n n a .
所以数列}{n a 的通项公式为181
+=-n n a .
（2）由（*）式，得n
n a 811=-+，所以n
n n n a c 281331==-=+)(*
N n ∈
将n n c 2=的底数与指数互换得到2
n d n =，所以
)(1
1*2N n n
d n ∈=. )121121(2)12)(12(41444
111122
2+--=+-=-=-
<=n n n n n n n d n .
当1=n 时，)3
11(2111-<==
d T n ； 当2=n 时，)5
131311(24111121-+-<+=+=
d d T n ； 当3≥n 时，)1
2112191717151(2411111321+--++-+-++=++=
∑=n n d d d T n i i n . 20
33
52411=++<.
综上，20
33
<n T 成立.
18、（1）证明：因为⊥PA 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，所以CD PA ⊥.
因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥
又因为A AD PA = ，所以⊥CD 平面PAD .
又因为⊂PF 平面PAD ，所以PF CD ⊥.
（2）如图所示，取线段PD 的中点''A ，连接''AA ，
作PC AA ⊥'，垂足为'A ，连接'''A A ，则此时满足直线⊥PC 平面'''A AA .
由（1）得，⊥CD 平面PAD ，又⊂'''A A 平面PAD ， 所以⊥CD PD CD A A ⊥,'''
因为⊥PA 平面ABCD ，所以AD PA ⊥
又因为PAD ∆是等腰三角形，所以''AA PD ⊥. 又因为D PD CD = ，所以⊥''AA 平面PCD .
又因为PC AA ⊥''，A AA AA =''' ，所以⊥PC 平面'''A AA . 易知
21''=PD PA ，下面求解
PC
PA '
： 因为AD AB 2=，AD PA =，所以可设)0(>=a a AD ，则a PA =，a CD AB 2==. 在
等
腰
直
角
三
角
形
PAD
中，由勾股定理，得
a PD PA a AD PA PD 2
2
21'',222==
=+=. 因为⊥PC 平面'''A AA ，又⊂'''A A 平面'''A AA ，
所以'''A A PC ⊥
PCD Rt ∆的平面图如图所示：
在PCD Rt ∆中，由勾股定理，得a a a CD PD PC 6)2()2(2222=+=+=，
所以33
62cos =
==
∠a
a PC PD CPD .
在'''A PA Rt ∆中，由33
2
2
''''cos =
==
∠a PA PA PA CPD ，得a PA 66'= 所以6
1
666'==a a
PC PA . 综上，在线段PD PC ,上可以分别找到两点'A ，''A ，使得直线⊥PC 平面'''A AA ， 并且此时
61'=PC PA ，2
1
''=PD PA . 19、(1)设区间)90,80[上的频率为x 3，则区间)50,40[上的频率为x 3， 区间]100,90[上的频率为x 2，
则1233)024.0026.0016.0002.0(10=++++++⨯x x x ， 解得04.0=x .
故区间)90,80[上的频率为12.0，区间]100,90[上的频率为08.0.
所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为2.008.012.0=+ 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为2002.01000=⨯. （2）根据已知条件补全22⨯列联表如下：
因为828.10841.1930
706040)2252818(1002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ， 所以有%9.99的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．
20、（1）因为双曲线'C ：12222=-y x 的离心率22
2
'''===a c e ， 而椭圆C 的离心率与双曲线'C 的离心率互为倒数，所以椭圆C 的离心率为
2
2
， 设椭圆C 的半焦距为c ，则2
2==
a c e .①
又椭圆C 经过点)31
,34(M ，所以1)31()34(22
22=+b
a .②
222c b a +=，③
联立①②③，解得1,1,2===
c b a .
所以椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x . （2）因为线段线段RS 的中垂线的斜率为
2
1
，所以线段RS 所在直线的斜率为2-. 所以可设线段RS 所在直线的方程为m x y +-=2， 设点),(),,(),,(002211y x P y x S y x R ，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=12
22
2y x m x y ，消去y ，并整理得022892
2=-+-m mx x ，
显然0>∆.
所以m x x m x m x y y m
x x 2)(222,9
821212121++-=+-+-=+=+ 922982m
m m =
+⋅-=， 则9
2,942210210m
y y y m x x x =+==+=
因为
4100=x y ，所以004
1
x y =， 所以点P 在定直线x y 41=上，而M O ,两点也在定直线x y 4
1
=上，所以M O P ,,三点共线．
21、（1）由)(1232)(2
3
R m m x x x x h ∈+-+=，得
)1)(2(61266)('2-+=-+=x x x x x h ，
令0)('=x h ，得2-=x 或1=x ；令0)('<x h ，得12<<-x ； 令0)('>x h ，得2-<x 或1>x .
所以函数)(x h 有两个极值为)2(-h 和令)1(h .
若2)2(-=-h ，得2)2(12)2(3)2(223-=+-⨯--⨯+-⨯m ，解得22-=m ； 若2)1(-=h ，得2112131223-=+⨯-⨯+⨯m ，解得5=m ；
综上，实数m 的值为22-或5.
（2）由（1）得，)('x h ，)(x h 在区间]2
3
,(-∞上的变化情况如下表所示：
由上表可知，当1≥k 时，函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值为29)23(-
=m h ，其值为253-或2
1，不符合题意． 当2-≤k 时，函数)(x h 在区间]23
,[k 上的最大值为20)2(+=-m h ，其值为2-或25，不
符合题意．
当12<<-k 时，要使函数)(x h 在区间]2
3
,[k 上的最大值为18，必须使181232)(23=+-+=m k k k k h ，且5=m （因为若22-=m ，则极大值
18220)2(<-=+=-m h ，那么，函数)(x h 在区间]2
3,[k 上的最大值只可能小于2-，更小于18，不合题意）.
即1851232)(2
3=+-+=k k k k h ，所以013123223=--+k k k . 所以4
1051±-=k 或1-=k . 因为12<<-k ，所以41051±-=
k 舍去. 综上，实数k 的值为1-．
22、（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=4sin 64cos 2ππt y t x 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 226222（t 为参数）
由θρcos 2=得θρρcos 22=
因为222y x +=ρ，x =θρcos ，y =θρsin ，
所以x y x 222=+，即圆C 的直角坐标方程为x y x 222=+.
（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程是8+=x y ，
过圆心)0,1(C 且垂直于8+=x y 的直线'l 的方程为)1(0--=-x y ， 即01=-+y x .
则直线'l ：01=-+y x 与圆C ：0222=-+x y x 的交点为B A ,两点. 设点B A ,的横坐标分别为21,x x ，联立⎩⎨⎧=-+=-+020
122x y x y x 消去y ，
得01422=+-x x ，则21
21=x x .
故点B A ,的横坐标之积为21
.
23、解：（1）原不等式等价于⎩⎨⎧≥++->12455
x x x 或⎩⎨⎧≥++-≤≤-12455
4x x
x 或
⎩⎨⎧≥+---<12)4(54x x x ，解得
213≥x 或∅∈x 或211
-≤x . 所以不等式的解集为213
|{≥x x 或}211
-≤x ．
（2）不等式012)(31≥---a x f 恒成立等价于12)(31min +≥-a x f ，即 12|)4||5(|31min +≥++--a
x x
因为9|)4()5(||4||5|=+--≥++-x x x x ，
所以12931+≥-a ，得8231≤-a ，得331≤-a ，解得32
-≥a .
故实数a 的取值范围是),32
[+∞-.。