人教版2013届高三一轮复习课时训练40：空间几何体的表面积和体积

人教版2013届高三一轮复习课时训练40
空间几何体的表面积和体积
1．（2012·绵阳调研)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是()
A．6B．12
C．24 D．36
解析：选B.依题意可知，该棱锥的体积等于错误!×（3×4)×3＝12.
2．一个几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的表面积为（）
A．72 B．66
C．60 D．30
解析：选A。

根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱,且底面是一直角三角形，两直角边长度分别为3,4，斜边长度为5，直三棱柱的高为5,所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72，故选A。

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(）
A．24＋6π B．24＋4π
C．28＋6π D．28＋4π
解析：选A。

由题意知，该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合体，并且正四棱柱的底面内接于半球的底面，由三视图中的数据可知，正四棱柱的底面边长为2，高为3，故半球的底面半径为错误!.所以该几何体的表面积为S＝错误!×4π×(错误!)2＋π×(错误!)2＋4×2×3＝24＋6π。

故选A。

4．（2011·高考上海卷)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面圆半径为r,高为h，母线长为l，则
错误!∴错误!
∴h ＝错误!＝错误!＝错误!， ∴圆锥的体积V ＝错误!π·12·错误!＝错误!π。

答案：错误!π
一、选择题
1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则该圆柱的底面积是（ ) A ．24π2 B ．36π2 C ．36π2或16π2 D ．9π或4π
解析:选D 。

由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π，故底面圆的半径为3或2，所以底面圆的面积是9π或4π。

2．（2011·高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2错误!，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D 。

错误!
解析：选B 。

设底面边长为x ，则V ＝错误!x 3＝2错误!,∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形,其面积为2错误!。

3．(2011·高考湖南卷)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ) A.错误!π＋12 B 。

错误!π＋18 C ．9π＋12 D ．36π＋18
解析：选B 。

由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V ＝32×2＋4
3
π错误!3
＝18＋错误!π. 4．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（ ) A 。

错误! B 。

错误! C.错误! D 。

错误!
解析：选B.由题意可得截面圆半径为错误!R (R 为球的半径)，所以截面面积为π(错误!R ）2＝错误!πR 2，又球的表面积为4πR 2,则错误!＝错误!，故选B.
5．某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
A ．8
B ．6错误!
C ．10
D ．8 2
解析：选C 。

将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8,6,10，6错误!，故最大的面积应为10. 二、填空题
6．(2012·洛阳质检）若一个圆锥的正视图(如图所示）是边长为3,3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．
解析：由正视图知该圆锥的底面半径r ＝1，母线长l ＝3，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π. 答案：3π
7. 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．
解析：V ＝错误!S △BOC ·B 1B ＝错误!×错误!BO ·BC ·sin45°·B 1B ＝错误!×错误!×2×错误!×2＝错误!.
答案：23
8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是错误!,则这个三棱柱的体积是________．
解析：由错误!πR 3＝错误!，得R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4. 设这个三棱柱的底面边长为a ，则错误!·错误!a ＝2，∴a ＝4错误!， ∴V ＝错误!·a ·错误!a ·h ＝48错误!. 答案:48错误! 三、解答题
9．已知圆台的母线长为4 cm,母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的错误!，求这个圆台的侧面积．
解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，
由题意知AC＝4 cm，∠ASO＝30°,
O1C＝错误!OA，
设O1C＝r，则OA＝2r,
又错误!＝错误!＝sin30°，
∴SC＝2r，SA＝4r，
∴AC＝SA－SC＝2r＝4 cm，
∴r＝2 cm.
所以圆台的侧面积为S＝π(r＋2r）×4＝24π cm2.
10．如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm）．
(1）画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2）求这个几何体的表面积及体积．
解:（1）这个几何体的直观图如图所示．
（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体．
由P A1＝PD1＝错误!，
A1D1＝AD＝2，可得P A1⊥PD1。

故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×错误!＋2×错误!×(错误!）2
＝22＋4错误!（cm2)，
体积V＝23＋错误!×（错误!）2×2＝10(cm3)．
11．（2012·广州调研）如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB,AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD;
(2）求几何体D—ABC的体积．
解：(1)证明：在图中，可得AC＝BC＝2错误!，
从而AC2＋BC2＝AB2,故AC⊥BC,
取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，
从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，
又AC⊥BC,AC∩DO＝O，
∴BC⊥平面ACD。

(2）由（1)可知BC为三棱锥B—ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2, ∴V B—ACD＝错误!S△ACD·BC＝错误!×2×2错误!＝错误!，
由等体积性可知，几何体D—ABC的体积为错误!。