九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数教案

《锐角三角函数》
◆教材分析
《锐角三角函数》这章内容是在学生已学了一次函数、二次函数、反比例函数以及相似形的基础上进行的，它反映的不是数值与数值的对应关系,而是角度与数值之间的对应关系，这对学生来说是个全新的领域．它是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；同时，又为解直角三角形等知识奠定了基础，它在实际生活中有着广泛的应用．
本节教材主要介绍正弦、余弦、正切等三角函数概念以及特殊角的三角函数值等内容,教材从修建扬水站这一实际问题入手,通过建立数学模型，转化成直角三角形的性质来解决，从而得出正弦的概念．在引出正弦概念之后，教材引导学生类比正弦的定义过程，自主探究余弦、正切的概念．同时，教材借助于两种三角尺研究了︒30，45，︒60角的正弦、余弦和正切值,并以例题的形式介绍了由特殊锐角︒
三角函数值求特殊角的问题．本节最后，教材介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应锐角等内容．
【知识与能力目标】
1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数
(A
,
A tan
sin表示直角三角形中两边的比；
A
cos
,
sin）,能够正确应用A
A
,
A tan
,
cos
2、记忆︒30，︒45,︒60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
3、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．
【过程与方法目标】
1、让学生在探索并认识锐角三角函数概念的过程中,感受数学结论的确定性；
2、通过经历三角函数概念的形成过程,培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法．
【情感态度价值观目标】
让学生经历观察、操作等过程,知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动,进一步发展空间观察，增强审美意识．
【教学重点】
1、探索并认识锐角三角函数（A
,
sin)；
cos
,
A tan
A
2、记忆︒30，︒45，︒60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角．
【教学难点】
锐角三角函数概念的形成．
多媒体课件、教具等．
一、创设情境，引入新课
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？
⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？
⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系?
问题2 爱美的女性喜欢穿高跟鞋．然而，美国加利福尼亚州立大学的人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现,70%以上女性喜欢穿鞋根高度为6～7厘米左右的高跟鞋．但穿6厘米以上的高
跟鞋会给踝骨和膝盖增加负担,腿肚、背部等肌肉极易疲劳．对于10厘米以上的高度,美丽的水晶鞋无异于残酷的刑具．
据研究,当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时，人脚的感觉最舒适．假设美女脚前掌到脚后跟长为15厘米,不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳．
追问:你知道专家是如何算出鞋跟的最佳高度的吗？
二、探索发现,形成新知
问题3 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A）的度数是30°，为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为：如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°，∠A ＝30°，BC＝35m，求AB的长．
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半"，即
1
2
A BC A
B ∠==
的对边斜边，
可得AB ＝2BC ＝70m ，也就是说,需要准备70m 长的水管． 追问1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？
同样，由12
A BC AB
∠==的对边斜边
得AB ＝2BC ＝2×50=100m ．
追问2：由此你能得出什么结论？
结论:在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于2
1．
追问3：在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么它的对边与斜边比值又是怎样的呢？
如图，在Rt △ABC ，使∠C ＝90°,∠A ＝45°，求AB
BC 的值．
在Rt △ABC 中,∠C ＝90°，由于∠A ＝45°,所以Rt △ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得2
222
2AB
AC BC BC =+=,∴2AB BC
=
．因此
2
22
BC AB BC ===,即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时，不管这
2
．
追问4：在直角三角形中，通过对30°和45°的对边与斜边比值的研究，你能得出什么结论？
结论：综上可知，在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于21，是一个固定值；当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
2
2
，也是一个固定值．
问题4 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
任意画Rt △ABC 和Rt △A ’B 'C '，使得∠C ＝∠C ’＝90°，∠
A ＝∠A ’,那么BC A
B 与B
C A B ''
''
有什么关系？你能解释一下吗？
在图中，由于∠C ＝∠C ’＝90°，∠A ＝∠A ’,所以Rt △ABC ∽Rt △A 'B ’C '，因此
BC AB
B C A B =
''''
，即BC B C AB A B
''
=
''． 这就是说，在Rt △ABC 中,当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何,∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
正弦函数概念:
如图，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine ）,记住sinA ，即sin A a A c
∠==的对边斜边
．
问题5 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比值随之确定．此时,其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
如图,类似于正弦的情况，利用相似三角形的知识可以证明，当∠A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比都是确定的．我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ）,记作cosA ,即
cos A b
A c
∠=
=的邻边斜边;
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent )，记作tanA ,即
tan A a
A b
∠=
=的对边邻边．
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．
问题6 如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？
设30°所对的直角边长为a ，那么斜边长为2a ,则 另一条直角边长＝
()
2
223a a a
-=，
1sin3022
a a ∴=
=，33
cos30
22
a a =
=，3tan303
3a a =
=．同理可以得出45°、60°
角的正弦值、余弦值和正切值．
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
30°
45°
60°
sinA 21
22 2
3 cosA 2
3 2
2 21 tanA
3
3 1
3
问题7 通过上面的学习，我们知道,当锐角A 是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢?
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．
如用计算器求sin 18°的值．
第一步：按计算器sin 键; 第二步：输入角度值18．
屏幕显示结果sin 18°=0.309 016 994．
再如已知sinA =0。

501 8,用计算器求锐角A ． 第一步：依次按计算器2nd F 、sin 键； 第二步：然后输入函数值0。

501 8．
屏幕显示答案: 30。

119 158 67°．（按实际需要进行精确） 三、运用新知,深化理解
例1:如图,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sinA 和sinB 的值．
解：（1)在Rt △ABC 中,5
342222=+=+=
BC AC AB ,因此
5
3
sin ==
AB BC A ，5
4
sin ==AB AC B ．
（2)在Rt △ABC 中,13
5
sin ==AB BC A ．而12
5132222=+=-=
BC AB AC ，因此
13
12
sin ==
AB AC B ．
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求
sinA ，cosA ，tanB 的值．
解：由勾股定理得22221068
AC AB BC =
-=-=,因此
63sin 105BC A AB =
==,84cos 105AC A AB ===,63
tan 84
BC A AC ===．
例3：求下列各式的值： （1)2
2cos
60sin 60︒+︒
；（2）cos45tan 45sin 45︒
-︒︒
．
解：（1）2
22213
cos
60sin 60()()1
22
︒+︒=+=；
（2）
cos 4522
tan 4510
sin 4522
︒-︒=÷-=︒．
例4：（1）如图（1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，6AB =,3BC =，求∠A 的度数．
（2）
如图（2），AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，3AO OB
=
，求
α的度数．
解：在图(1）中,∵32sin 6
BC
A A
B ===
，∴∠A ＝45°．
在图(2)中,∵3tan 3AO
OB
A OB
===∴60α=︒．
四、学生练习，巩固新知
11 练习1 在△ABC 中，∠C =90°,BC =2，2sin 3A =，则边AB 的长是（ )
A ．13
B ．3
C ．43
D ．5
练习2 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
练习3 在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值有什么变化?
练习4 求下列各式的值:
（1)1－2 sin 30°cos 30°；
（2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60°；
（3)cos6011sin 60tan30︒++︒︒
． 练习5 用计算器求下列锐角三角函数值：
(1） sin 20°， cos 70°，sin 35°，cos 55°,sin 15°32 ' ，cos 74°28 ’ ；
(2）tan 3°8 ’ ，tan 80°25'43″．
练习6 已知下列锐角三角函数值,用计算器求其相应的锐角：
(1）sinA=0。

627 5,sinB＝0。

054 7；
（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
(3)tanA＝4。

842 5,tanB＝0。

881 6。

五、课堂小结,梳理新知
1、结合图形，请学生回答:什么是∠A正弦、余弦、正切？
2、填写下表:
30°45°60°
sinA
cosA
tanA
3、如何用计算器求一个角的三角函数值？已知三角函数值如何用计算器求它的对应锐角？
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题28。

1第3题，第4题，第5题;（必做题)
2、教科书习题28.1第6题，第7题，第8题．（选做题)
◆教学反思
12
略
13。