数学分析专题研究试题T

数学分析专题研究试题T
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．设B A ,是任意两个集合，则有（ ）成立.
A ．
B A A ⋂⊃ B ．B A A ⋂⊂
C ．B A A ⋃⊃
D ．B A A -⊂
2．设B A ,是两个集合，B A R ⨯⊂，则有（ ）.
A ．A R ⊂
B ．B R ⊂
C ．B R ⊂)(Dom
D ．B R ⊂)(Ran
3．设}{A a =，则有（ ）.
A ．A a ∈}{
B ．A a ⊂}{
C ．A a ⊂
D ．Φa A =-
4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(上（ ）.
A ．有界
B ．无界
C ．间断
D ．连续
5． )(x f 是]10,10[-上的既奇又偶的函数，则（ ）.
A ．1)(=x f
B ．0)(=x f
C ．x x f =)(
D ．x x f -=)(
二、填空题（每小题4分，共20分）
1．已知=B {甲、乙}，则B 的幂集_________________________________2=B .
2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 .
3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .
4．已知))1ln(1cos()(2x x f ++=，则__________________
)(='x f . 5．函数)(x f 定义在),(b a 内，若)1,0(),,(,21∈∀∈∀αb a x x ，有 ，则称)(x f 是下凸函数.
三、计算题（每小题15分，共30分）
1．解方程x f x x =+-)1
e 1e (，求)(x
f . 2．设)21ln(),(2++=x y x f ，求)(x f '.
四、证明题（每小题15分，共30分）
1．设)(x f y =是从]1,0[到]1,0[的连续函数，则存在点]1,0[0∈x ，使n x x f 00)(=，其中n
是一个非零自然数.
2．设C B A ,,为三角形的三内角时，求证
8
12sin 2sin 2sin ≤⋅⋅C B A .
参考答案：
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.B.
二、填空题（每小题4分，共20分）
1．}},{},{},{乙甲乙甲{Φ, 2.等价关系；3.无限集；4.2
212))1ln(1sin()(x x x x f +++-='；5. )()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+.
三、计算题（每小题15分，共30分） 1．解 令1
e 1e +-=x x t ，则t t x x +⋅=-e 1e ，)1,1(-∈t ， t t x +=-1)1(e ，于是t t x -+=11ln
10分 故x
x x f -+=11ln )( ， )1,1(-∈x 15分 4．解 222211
)(22+⋅++='x x
x x f 15分
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.证明：若0)0(=f 或1)1(=f ，则0x 可取为0或1.
否则有0)0(>f 且,1)1(<f 设n x x f x -=)()(ϕ，)(x ϕ是]1,0[上的连续函数，且
0)0()0(>=f ϕ，01)1()1(<-=f ϕ 10分
由连续函数的介值定理知，至少有一点)1,0(0∈x ，使0)(0=x ϕ，即n x x f 00)=（ 15分
2．证明 已知x sin 在)2,0(π
内是上凸函数，故有
]2
31231231sin[]2sin 2sin 2[sin 31C B A C B A ++≤++ 2
1)(61sin =++=C B A 10分 故有8
1)21()}2sin 2sin 2(sin 31{2sin 2sin 2sin 33=≤++≤⋅⋅C B A C B A 15分。