北师大版九年级上册第二章一元二次方程(解方程及判别式专题)同步测试

北师大版九年级上册第二章一元二次方程（解方程及
判别式专题）同步测试
一、解答题
1. 解方程:(用配方法)
(1)x2-2x-2=0; (2)2x2+3=7x.
2. 解以下方程:
(1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=(√3)2;
(3)(x+5)(x-5)=24; (4)x2-6x+9=2;
(5)(x+2)2-16=0; (6)(x-1)2-18=0.
3. 解方程(2x-1)2=x(3x+2)-7.
4. 用配方法解方程x2-4x+1=0.
5. 用配方法解方程:x2-6x-6=0.
6. 用配方法解以下方程.
(1)x2+2mx-n2=0; (2)4x2-7x-2=0.
7. 用适当的方法解以下一元二次方程:
(1)2(x-3)2=18; (2)x(x-5) =7x; (3)x2-2x-4=0.
8. 解方程:
(1)x2=121
; (2)(x+2)2=324;
289
(3)5(x-3)2=125;(4)(2x+3)2=(x+4)2.
9. 解以下方程
(1)x2-2x-2=0; (2)(x+3)2-2x(x+3)=0.
10. 用因式分解法解以下方程:
(1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0;
(3)(1+x)2-9=0; (4)(x-4)2=(5-2x)2.
11. 用公式法解以下方程:
(1)2x2-4x-1=0; (2)4x2-3x+1=0;
(3)3x2=5x+2; (4)(x-2)(3x-5)=1;
(5)4x2+4x+10=1-8x.
12. 解以下一元二次方程.
(1)2x2-4x-3=0; (2)(x-2)(x+3)=-4.
13. 解方程:3x(x-2)=2(2-x).
14. 解方程:
(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.
15. 解方程:2(x-3)=3x(x-3).
16. 请应用公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq处置以下效果:
(1)因式分解:①x2+5x+6; ②x2-x-6. (2)解方程:①x2+6x+8=0; ②x2-2x-8=0.
17. 关于x的方程ax2=b的两根区分为m-1和2m+7,试求方程ax2=b的两根.
18. 一元二次方程x2-4x+1+m=5,请你任取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.
(1)你选的m的值是;
(2)解这个方程.
19. 关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)假定△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
20. 关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)假定此方程的一个根是1,央求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.
21. 当m为何值时,关于x的一元二次方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0.
(1)有两个不相等的实数根;
(2)有两个相等的实数根;
(3)没有实数根.
22. 某校甲、乙两同窗对关于x的方程:-3(x-1)2+m=0停止探求,其结果:甲同窗发现,当m=0时,方程的两根都为1,当m>0时,方程有两个不相等的实数根;乙同窗发现,无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零.
(1)请找一个m 的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数,并求这两个根; (2)乙同窗发现的结论能否正确?试证明.
23. 关于x 的一元二次方程mx 2-2(2m +1)x +4m -1=0. (1)当m 为何值时,方程有两个相等的实数根? (2)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根? (3)当m 为何值时,方程无实数根? 24. :关于x 的方程kx 2
+(2k -3)x +k -3=0. (1)求证:方程总有实数根.
(2)当k 取哪些整数时,关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0的两个实数根均为负整数? 25. 关于x 的方程x 2-(k +2)x +2k =0.
(1)求证:无论k 取任何实数值,方程总有实数根;
(2)假定等腰三角形ABC 的一边长a =1,另两边长b ,c 恰恰是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.
26. x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根.
(1)能否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?假定存在,求出a 的值;假定不存在,请你说明理由; (2)求使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值.
27. a ,b 为关于x 的一元二次方程x 2-2(m -2)x +m 2=0的两个实数根,且满足a 2-ab +b 2=16,求m 的值. 28. 关于x 的一元二次方程x 2+3x +m -1=0的两个实数根区分为x 1x 2. (1)求m 的取值范围;
(2)假定2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0,求m 的值.
29. 关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2. (1)务实数k 的取值范围.
(2)能否存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22
≥0成立?
假定存在,央求出k 的值;假定不存在,请说明理由.
30. x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个非零实数根,问x 1和x 2能否同号?假
定能同号,央求出相应的m 的取值范围;假定不能同号,请说明理由.
31. 两方程x 2-mx +5+m =0和x 2-(7m +1)x +13m +7=0至少有一个相反的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.
32. 关于x 的一元二次方程x 2+cx +a =0的两个整数根恰恰比如程x 2+ax +b =0的两根都大1,求a +b +c 的值.
33. 关于x 的方程mx 2-(m +2)x +2=0(m ≠0). (1)求证:方程总有两个实数根;
(2)假定方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值. 34. 一元二次方程x 2
-4x +k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;
(2)假设k 是契合条件的最大整数,且一元二次方程x 2
-4x +k =0与x 2
+mx -1=0有一个相反的根,求此时m 的值.
35. 阅读下面的例题,解方程(x -1)2-5|x -1|-6=0.
例:解方程x 2-|x |-2=0.解:原方程化为|x |2−|x |-2=0.令y =|x |,原方程化成y 2
-y -2=0.解得y 1=2,y 2=-1.当|x |=2时,x 1=2,x 2=-2;当|x |=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=2,x 2=-2.
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参考答案
1.
(1) 【答案】配方,得(x -1)2=3,所以x -1=±√3,所以原方程的解为x 1=1+√3,x 2=1-√3.
(2) 【答案】移项,得2x 2-7x =-3,二次项系数化为1,得x 2-72x =-32.配方,得x 2-72x +(-74)2=-32+(-7
4)2,整理,
得(x -7
4
4)2
=2516,所以x -74=±54,所以原方程的解为x 1=3,x 2=12
.
2.
(1) 【答案】由题意得x 2=9,∴x =±3,∴x 1=3,x 2=-3.
(2) 【答案】∵2x -1=±√3,∴x =
1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√3
2
. (3) 【答案】整理,得x 2=49,∴x =±7,∴x 1=7,x 2=-7.
(4) 【答案】原方程变为(x -3)2=2,∴x -3=±√2,∴x =3±√2,∴x 1=3+√2,x 2=3-√2.
(5) 【答案】移项,得(x +2)2=16,∴x +2=±4,∴x =-2±4,∴x 1=2,x 2=-6. (6) 【答案】移项,得(x -1)2=18,∴x -1=±3√2,∴x =1±3√2,∴x 1=1+3√2,x 2=1-3√2.
3. 【答案】原方程可化为4x 2-4x +1=3x 2+2x -7,
即x 2-6x +8=0.∴(x -3)2
=1. ∴x -3=±1. ∴x 1=2,x 2=4.
4. 【答案】将原方程移项得x 2
-4x =-1,
配方得x 2
-4x +4=-1+4,
即(x -2)2
=3,∴x =2±√3.
故原方程的解为x 1=2+√3,x 2=2-√3.
5. 【答案】x 2-6x -6=0,即x 2-6x =6, x 2-6x +(-3)2=6+(-3)2,(x -3)2
=6+9,
(x -3)2
=15,
即x -3=√15或x -3=-√15,
所以x 1=3+√15,x 2=3-√15.
6.
(1) 【答案】移项,得x 2+2mx =n 2,
配方,得x 2+2mx +m 2=n 2+m 2
,
即(x +m )2=m 2+n 2
,
开平方,得x +m =±√m 2+n 2,
故x 1=-m +√m 2+n 2,x 2=-m -√m 2+n 2.
(2) 【答案】4x 2-7x -2=0,
方程两边都除以4,得x 2
-7
4x -12
=0,
移项,得x 2
-74x =1
2
,
配方,得x 2-7
4x +(78)2=12+(78
)2,
即(x -78)2=81
64
,
开平方,得x -78=±9
8
,
即x -78=98或x -78=-98
.
故x 1=2,x 2=-1
4
.
7.
(1) 【答案】原方程可变形为(x -3)2=9, 即x -3=3或x -3=-3, ∴x 1=6,x 2=0.
(2) 【答案】原方程变形为x (x -5)-7x =0.
x [(x -5)-7]=0.
即x =0或x -12=0. ∴x 1=0,x 2=12.
(3) 【答案】方法1:a =1,b =-2,c =-4.
∵b 2
-4ac =(-2)2
-4×1×(-4) =20>0, ∴x =
-(-2)±√20
2
=
2±2√5
2
,
即x 1=1+√5,x 2=1-√5.
方法2:原方程可变形为x 2
-2x =4, 配方,得x 2
-2x +1=4+1, 即(x -1)2
=5, ∴x -1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.
8.
(1) 【答案】由于x =±
√121
289,即x =±11
17,所以x 1=11
17,x 2=-11
17
. (2) 【答案】由于x +2=±√324,所以x +2=±
18,即x +2=18或x +2=-18, 所以x 1=16,x 2=-20.
(3) 【答案】由于5(x -3)2=125,即(x -3)2=25,所以(x -3)2=52, 即x -3=5或x -3=-5,所以x 1=8,x 2=-2.
(4) 【答案】由于(2x +3)2=(x +4)2,即2x +3=x +4或2x +3=-x -4,
所以x 1=1,x 2=-73
.
9.
(1) 【答案】 x 2-2x -2=0.
移项,得x 2
-2x =2,
配方,得x 2-2x +(-1)2=2+(-1)2
,
即(x -1)2
=3,
开平方,得x -1=±√3, 所以x 1=1+√3,x 2=1-√3.
(2) 【答案】(x +3)2-2x (x +3)=0,
(x +3)(x +3-2x )=0,
所以x +3=0或x +3-2x =0, 所以x 1=-3,x 2=3.
10.
(1) 【答案】有公因式3y ,提出来化为3y (y -2)=0,∴3y =0,或y -2=0,∴y 1=0,y 2=2.
(2) 【答案】这是一个完全平方式(x -4)2=0,∴x 1=x 2=4.
(3) 【答案】等式左边是两数的平方差,应用平方差公式得(1+x +3)(1+x -3)=0,即(x +4)(x -2)=0,∴x +4=0,或x -2=0.∴x 1=-4,x 2=2.
(4) 【答案】移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0,由平方差公式得(x -4+5-2x )(x -4-5+2x )=0,即(1-x )(x -3)=0,∴1-x =0,或x -3=0,∴x 1=1,x 2=3.
11.
(1) 【答案】b 2
-4ac =(-4)2
-4×2×(-1)=24>0.∴x =
-(-4)±√24
2×2
=
4±2√64
=
2±√62,∴x 1=2+√62,x 2=2-√6
2
. (2) 【答案】b 2-4ac =(-3)2-4×4×1=-7<0.∴方程无实数根.
(3) 【答案】b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0.∴x =
-b±√b 2-4ac
2a
=
5±76.∴x 1=5+76=2,x 2=5-76=-1
3
. (4) 【答案】方程化为3x 2-11x +9=0.a =3,b =-11,c =9.∴b 2-4ac =(-11)2-4×3×9=13>0.
∴x =
-(-11)±√132×3=11±√13
6, ∴x 1=11+√136,x 2=11-√13
6
. (5) 【答案】移项得4x 2+12x +9=0.a =4,b =12,c =9.∴b 2-4ac =0,∴x 1=x 2=-124×2=-3
2.
12.
(1) 【答案】2x 2-4x -3=0,x 2-2x -3
2=0,
移项,得x 2
-2x =32
.
配方,得x 2-2x +1=32
+1,即(x -1)2
=52
, 两边开平方,得x -1=±√10
2
,即x =1±
√10
2
,
所以x 1=1+
√102,x 2=1-√10
2
. (2) 【答案】(x -2)(x +3)=-4,
整理,得x 2+3x -2x -6=-4, 移项,得x 2+x =2,
配方,得x +x +(12)2=2+(12)2
,
即(x +12
)2=9
4
,
两边开平方,得x 2
+12=±32
, x +1
2
=32
或x +12
=-32
. 所以x 1=1,x 2=-2.
13. 【答案】3x (x -2)=2(2-x )整理得3x (x -2) +2(x -2)=0,因式分解得(3x +2)(x -2)=0,即
3x +2=0或x -2=0,解得x 1=-23
,x 2=2.
14.
(1) 【答案】(3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11.
(2) 【答案】∵a =2,b =-6,c =3,∴b 2-4ac =36-24=12.∴x =6±√122×2
=
6±2√34
=
3±√32,∴x 1=3+√32,x 2=3-√3
2
.
15. 【答案】原方程可化为(x -3)(2-3x )=0,
∴x 1=3,x 2=23
.
16.
(1) 【答案】①2与3的和为5,积为6,所以有x 2+5x +6=(x +2)(x +3).
②2与-3的和为-1,积为-6,所以有x 2
-x -6=(x +2)(x -3).
(2) 【答案】①找到一组数：2,4,有2+4=6,2*4=8,,所以有(x +2)(x +4)=0,∴x +2=0,或
x +4=0,∴x 1=-2,x 2=-4.
②找到一组数：2,-4,有2+(-4)=-2,2*(-4)=-8,所以有(x +2)(x -4)=0,∴x +2=0,或x -4=0,∴x 1=-2,x 2=4.
17. 【答案】依据x 2=a 2⇔x =±a 可得m -1与2m +7互为相反数,所以m -1+2m +7=0,解得
m =-2.所以m -1=-2-1=-3,2m +7=2×(-2)+7=3,即方程ax 2
=b 的两根为x 1=-3,x 2=3. 18.
(1) 【答案】3
(2) 【答案】当m =3时,原方程可化为x 2-4x +1+3=5,所以(x -2)2=5,所以x -2=±√5,所以x =2±√5.
所以x 1=2+√5,x 2=2-√5.答案不独一.例如还可以取m=8,此时有x 2−4x +4=0,即(x −2)2=
0,x =2. 19.
(1) 【答案】∵Δ=(2k +1)2-4(k 2+k )=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根;
(2) 【答案】一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0的解为x =
2k+1±√1
2
,即x 1=k ,x 2=k +1,
当AB =k ,AC =k +1,且AB =BC 时, △ABC 是等腰三角形,那么k =5; 当AB =k ,AC =k +1,且AC =BC 时,
△ABC 是等腰三角形,那么k +1=5,解得k =4. 20.
(1) 【答案】证明:方程的判别式为∆=[-(m +2)]2-4×1×(2m -1)=m 2-4m +8=(m -2)2
+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根.
(2) 【答案】方程的一个根是1,把x =1代入方程x 2-(m +2)x +(2m -1)=0中,解得m =2,∴原方程为x 2
-4x +3=0,解这个方程得:x 1=1,x 2=3,∴方程的另一个根为x =3.当1,3为直角三角形的两直角边长
时,斜边长为√12+32=√10,∴周长为1+3+√10=4+√10,当3为斜边长时,另不时角边长为
√32-12=2√2,∴周长为1+3+2√2=4+2√2.
21.
(1) 【答案】方程的判别式为∆=[-(4m +1)]2
-4×2×(2m 2
-1)=8m +9.(1)当8m +9>0,即m >-9
8
时,方程有
两个不相等的实数根.
(2) 【答案】当8m +9=0,即m =-9
8时,方程有两个相等的实数根. (3) 【答案】当8m +9<0,即m <-9
8时,方程没有实数根.
22.
(1) 【答案】由探求结果可知,取的m 的数值为一个正数,或许可以这样由于-3(x -1)2
+m =0可化
为(x -1)2
=m
3
,取m =27,可使原方程的两个根为互不相等的整数,此时(x -1)2
=9,所以x -1=±3,所以x =1±3,所以原方程的两个根为x 1=4,x 2=-2.(答案不独一).
(2) 【答案】乙同窗发现的结论正确.证明如下:当m >0时,由(x -1)2=m
3,可得
x =1±√m
3,∴x 1=1+√m
3,x 2=1-√m
3.由于1+√m
3+1-√m
3=2,所以无论m 取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零,所以乙同窗发现的结论正确.
23.
(1) 【答案】∵a = m ,b =-2(2m +1),c =4m -1,∴Δ=b 2
-4ac =4(2m +1)2
-4m (4m -1)=20m +4.
∵方程有两个相等的实数根, ∴20m +4=0,解得m =-1
5
.因此,当m =-15
时,方程有两个相等的实数根.
(2) 【答案】∵方程有两个不相等的实数根, ∴20m +4>0且m ≠0,解得m >-1
5且m ≠0.因此,当
m >-15
且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根.
(3) 【答案】∵方程无实数根, ∴20m +4<0,解得m <-15.因此,当m <-1
5时,方程无实数根.
24.
(1) 【答案】分类讨论:
当k =0时,此方程为一元一次方程,即-3x -3=0, ∴x =-1,契合题意;
当k ≠0时,此方程为一元二次方程,
∴Δ=(2k -3)2
-4k (k -3)=9>0,
∴方程有两个不相等的实数根. 综上所述,方程总有实数根.
(2) 【答案】由于方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程,
应用求根公式求得x =-(2k -3)±√9
2k
, 即x 1=
6-2k 2k
=3
k -1,x 2=-1.
∵方程有两个负整数根,∴3k
-1是负整数,即k 是3的约数, ∴k =±1,±3,但k =1或k =3时,根不是负整数, ∴k =-1或k =-3.
25.
(1) 【答案】证明:证法一：由于方程的判别式为∆=[-(k +2)]2-4×1×2k =(k -2)2
≥0, ∴无论k 取任何实数值,方程总有实数根.
证法二：方程可以因式分解为(x −2)(x −k)=0,方程的两根为2,k ,所以命题得证.
(2) 【答案】解法一:①当b =c 时,∆=(k -2)2=0,∴k =2,∴b +c =k +2=2+2=4,又b =c ,∴b =c =2,∵2,2,1
契合三角形的三边关系,∴△ABC 的周长=4+1=5;②当b ,c 中有一个与a 相等时,无妨设b =a =1,∵1是方程x 2
-(k +2)x +2k =0的一个根,∴12
-(k +2)×1+2k =0,解得
k =1,∴b +c =k +2=1+2=3,∴c =3-b =3-1=2,∵2,1,1不契合三角形的三边关系,∴a 不能为△ABC 的腰长.
综上所述,△ABC 的周长为5.
解法二：由题意得另两边长区分为2,k ,由于ΔABC 为一个等腰三角形,所以k =1,或k =2,但k =1时构不成三角形,所以k =2.此时三角形的周长为1+2+2=5.
26.
(1) 【答案】首先应有a −6≠0.∵x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根,∴由
根与系数的关系可知,x 1x 2=a a -6,x 1+x 2=-2a a -6
.∵一元二次方程(a -6)x 2
+2ax +a =0有两个实数根,∴∆=4a 2
-4(a -6)·a ≥0,且
a -6≠0,解得a ≥0且a ≠6.∵-x 1+x 1x 2=4+x 2,∴x 1x 2=4+(x 1+x 2),即a a -6=4-2a
a -6
,解
得a =24,∴存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立,a 的值是24;
(2) 【答案】∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=a
a -6−2a
a -6+1=-6
a -6,∴当(x 1+1)(x 2+1)为负整数且a 为
整数时,有a -6=6,a -6=3,a -6=2,a -6=1,∴a =12,9,8,7,∴使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值有12,9,8,7.
27. 【答案】依据根与系数的关系,得a +b =2(m -2),ab =m 2.由于a 2-ab +b 2=16,所以(a +b )2-3ab =16,
所以[2(m -2)]2-3m 2=16,整理,得m 2
-16m =0,解得m 1=0,m 2=16.当m =0时,方程的常数项变为0,方程
化为x 2+4x =0,契合题意.当m =16时,∆=[-2(m -2)]2
-4m 2
=282
-4×162
=-240<0,不契合题意,舍去.所以m =0.
28.
(1) 【答案】∵原方程有两个实数根,∴∆=9-4(m -1)≥0,解得m ≤13
4.
(2) 【答案】由题意得x 1+x 2=-3,x 1x 2=m -1,∴2×(-3)+(m -1)+10=0,解得m =-3.
29.
(1) 【答案】∵x 2-(a +b )x +ab -1=0有两个实数根,
∴Δ= [-(2k +1)]2
-4(k 2
+2k )≥0,整理得1-4k ≥0,解得k ≤14
. 故当k ≤1
4
时,原方程有两个实数根.
(2) 【答案】假定存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22
≥0成立.
∵x 2-(2k +1)x +k 2
+2k =0有两个实数根x 1,x 2, ∴x 1+x 2=2k +1,x 1·x 2=k 2
+2k.
∵x 1·x 2-x 12−x 22≥0,
即3x 1·x 2-(x 1+x 2)2
≥0,
∴3(k 2
+2k )-(2k +1)2
≥0,整理得-(k -1)2
≥0, ∴只要当k =1时,上式才干成立. 又由第1问知k ≤14
,
故不存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.
30. 【答案】∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0有两个非零实数根,
∴Δ=[4(m -1)]2-4×4m 2=-32m +16≥0,
解得m ≤12
.
又∵x 1,x 2是方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个实数根,
∴x 1+x 2=-(m -1),x 1·x 2=14m 2.
x 1,x 2同号存在两种能够: (1)假定x 1<0,x 2<0,那么有{x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)<0,14
m 2>0. 解得m >1.
∵m ≤12
时方程才有实数根,
∴此种状况不成立. (2)假定x 1>0,x 2>0,那么有{x 1+x 2>0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)>0,14
m 2>0.
解得
m <1.∵m ≤12时方程才有实数根, ∴当m ≤12时,两根能同号.
31. 【答案】设两方程的相反根为α,依据根的意义可得
{α2-mα+5+m =0,α2-(7m +1)α+13m +7=0.
两式相减,得(6m +1)α=2(6m +1),
当6m +1=0时,m =-16,方程x 2-mx +5+m =0根的判别式Δ=(-m )2-4(m +5)=(16)2-4×(-16+5)=136−583<0,那么方程无实数解,不合题意.
当6m +1≠0时,有实数解a =
2(6m+1)6m+1=2, 代入方程x 2-mx +5+m =0,得22-m ×2+5+m =0,
解得m =9.
∴两方程为x 2-9x +14=0,x 2
-64x +124=0.
故这两个方程的四个实数根的乘积为:14×124=1 736.
32. 【答案】设方程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,其中α,β为整数且α≤β,那么方程x 2
+cx +a =0的两根为α+1,β+1,由根与系数的关系可得α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,
两式相加,可得αβ+2α+2β+1=0,
即(α+2)(β+2)=3.
所以{α+2=1,β+2=3或{α+2=-3,β+2=-1.
解得{α=-1,β=1或{α=-5,β=-3.
又由于a =-(α+β),b =αβ,c =-[(α+1)+(β+1)],
所以a =0,b =-1,c =-2或a =8,b =15,c =6.
因此a +b +c =-3或29.
33.
(1) 【答案】∵Δ=(m +2)2-4×2m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=(m -2)2
≥0,∴方程总有两个实数根. (2) 【答案】mx 2-(m +2)x +2=0,
即(x -1)(mx -2)=0, ∴x 1=1,x 2=2m
.
∵x 1=1为整数,
∴只需求x 2=2m 为整数即可,
∴正整数m 的值为1或2.
34.
(1) 【答案】关于方程x 2-4x +k =0中a =1,b =-4,c =k ,
由于方程有两个不相等的实数根,
所以Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×1×k >0,
因此k <4.
(2) 【答案】由第1问知k 取的最大整数为3,将k =3代入方程x 2-4x +k =0中得x 2-4x +3=0, 解得x 1=1,x 2=3.
当相反的根为x =1时,m =0;
当相反的根为x =3时,m =-83
.
35. 【答案】该解法的原理是x 2=|x|2,对比例题解法,原方程可以化为|x -1|2
-5|x -1|-6=0.令y =|x -
1|,原方程化成y 2-5y -6=0.解得y 1=6,y 2=-1.当|x -1|=6时,x 1=7,x 2=-5;当|x -1|=-1时,不合题意,舍去.∴
原方程的解是x 1=7,x 2=-5.。