2020-2021学年深圳中学高三上学期数学周练(6)及答案

深圳中学2021届高三上学期数学周练（6）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个小题仅有一个答案是正确的）
1．设集合{ln A x x =≤∣，{|6}B x x =≤，则A
B =（ ） A ．{}|03x x <≤ B ．{}|6x x ≤
C ．{}|06x x <≤
D ．{|36}x x ≤≤ 2．已知e 为自然对数的底数，又lg0.5a =，0.5b e =，0.5e c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 3．已知函数()321213f x ax ax x =
+++在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．()0,2 C ．[]0,2 D ．[)0,2
4．函数()sin ()x x e e x f x x
--=的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．已知函数()2
2f x x m =-，()3ln g x x x =-，若()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m =（ ）
A ．3-
B ．1
C ．2
D ．5
6．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ）
A ．412y x =+
B ．412y x =-+
C ．412y x =--
D ．412y x =-
7．已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=
>，若()f x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则ω的取值范围是（ ） A ．280,,99⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．[)28,991,⎛⎤⎥⎦∞ ⎝+
8．在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为（ ）
A 12
B ．2
C
D 二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分.全部选对5分，对而不全3分，若错选，则0分）
9．已知函数()cos f x x x =+，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 1
C ．()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数
D ．56
π为()f x 的一个零点 10．对于∆ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ）
A ．若sin 2sin 2A
B =，则AB
C 为等腰三角形
B ．若sin cos A B =，则AB
C 为直角三角形
C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形
D ．若AB =1AC =，30B =︒，则ABC 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则
[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数1()12
=-+x x e f x e ，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ）
A ．()g x 是偶函数
B ． ()g x 在R 上是增函数
C ．()g x 的值域是{}1,0-
D ． ()f x 是奇函数
12．已知函数()x f x xe =，若120x x <<，则下列选项中正确的是（ ）
A ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦
B ．()()1221x f x x f x ≤
C ．()()121f x f x e -<
D ．()()1221f x f x x x -<-
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13．ABC ∆中，2AC =，45B ∠=，若ABC ∆有2解，则边长BC 长的范围是 ．
14．将函数()sin 23f x x x =的图象向左平移
2
π个单位后，所得的图象在区间()0,m 上单调递减，则实数m 的最大值为 . 15．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln x f x x
=图象上的动点，则PQ 的最小值为 ． 16．已知函数()(1)a f x x a x =+>，若对任意的1,13m n p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
、、，长为()()()f m f n f p 、、的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-
<< ⎪⎝⎭的图象如图所示，直线38x π=、78
x π=是其两条对称轴． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）已知()65f α=，且388ππα<<，求8f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值．
18．对于函数
()()
212log 23f x x ax =-+，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若函数的值域为(],1-∞-，求实数a 的值．
19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 3cos c B a b C =-.
（1）求sin C 的值；
（2）若26c =，2b a -=，求ABC ∆的面积.
20．在 ABC ∆中，,,a b c 分 别 为 角,,A B C 的 对 边 ，且()sin sin sin B C A C -=-.
（1）求角A ；
（2）若3a =，求2b c +的最大值.
21．已知函数()2
ln f x x x ax =-. （1）若()f x 的图像恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 有两个零点m ､n ，且12m n
<
≤，求mn 的最大值.
22．已知函数()21ln 2,R 2⎛
⎫=+--∈ ⎪⎝⎭
x a x ax a f x . （1）当a <1时，讨论()f x 的单调性；
（2）当a =1时，若存在不相等的正实数12,x x ，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.
参考答案
1．B
解
:{ln {ln ln 3}{|03}A x x x x x x =≤=≤=<≤∣∣，{|6}B x x =≤，{|}6A
B x x =≤，
2．B
解:lg 0.5lg10a =<=，0.501b e e =>>，000.50.51e c <=<=,所以a c b <<
3．C
解:由题意可得，2()220f x ax ax '=++≥恒成立，当0a =时，显然满足题意， 当0a ≠时，则根据二次函数的性质可得，20480a a a >⎧⎨∆=-≤⎩
，解可得，02a <≤，综上可得，02a ≤≤． 4．A
解:函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且
()
()()()sin ()sin x x x x e e x e e x f x x f x x ---⋅--==-=---，所以()f x 为奇函数，由此排除CD 选项.而()0f π=，所以B 选项错误.
5．B
解:设函数()2
2f x x m =-，()3ln g x x x =-的公共点设为()00,x y ， 则()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即200000023ln 3210
x m x x x x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩，解得01x m ==， 6．D
解:设()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，
所以'
(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 7．B
解:因为(
)1πsin sin 223f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以若π3π22x <<，则π
ππ3ππ23323x ωωω-<-<-，即3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 则21ω≤，又0>ω，解得01ω<≤，又()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，2839ω≤≤；当1k =-时，因为01ω<≤，所以可得209
ω<≤． 所以2280,,939ω⎛⎤⎡⎤∈
⎥⎢⎥⎝⎦
⎣
⎦． 8．B
解()
sin sin sin
sin A B C C B B C
+=++
cos sin
sin sin C B C B B C =+)sin sin
cos C C B C B =++
≤=
2=≤=，
当且仅当sin sin B C =
=sin A =时，等号成立， sin sin A B C +的最大值为2，故选B ；
9．CD
解:()cos 2sin 6f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
,对选项A ，()f x 的最小正周期为2π，故A 错误； 对选项B ，当sin 16x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 的最大值为2，故B 错误；对选项C ，因为2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，53,,62622πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x ，所以()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上为减函数，故C 正确； 对选项D ，552sin 2sin 0666ππππ⎛⎫
⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，所以56π
为()f x 的一个零点，故D 正确. 10．CD
解:对于A ：sin 2sin 2A B =，22A B ∴=或22A B π+=，
A B ∴=或2A B π+=
，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； 对于B : sin cos A B =，2A B π
∴=+或2A B π
=-，所以ABC 不一定是直角三角形，故B 错误；
对于C ：222sin sin cos 1A B C ++<，2222sin sin 1cos sin A B C C +-=∴<，
由正弦定理得222
a b c +<，又222
cos 02a b c C ab +-=<，所以角C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，
故C 正确；对于D : 3AB =，1AC =，30B =︒，sin sin AB B C AC ⋅∴==AB AC >，
60C ∴=或120，90A ∴=或30，1sin 2ABC S AB AC A ∆∴=⋅⋅=D 正确. 11．CD 解:根据题意知，e 111()1e 221e
x x x f x =-=-++. ∵e 1(1)[(1)]01e 2g f ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦，11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦
，
∴()()11g g ≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误； 由复合函数的单调性知11()21x f x e =
-+在R 上是增函数，则()()g x f x =⎡⎤⎣⎦在R 上是增函数错误，B 错误.
∵0x e >，∴11x e +>，∴()1122
f x -<<，∴()()
g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域{}1,0-，C 正确， ∵111()()1212
x x x e f x f x e e ---=-=-=-++，∴()f x 是奇函数，D 正确 . 12．CD
解：因为()x f x xe =，所以()()1x
f x x e '=+，令()0f x '>，解得1x >-，即()f x 在()1,-+∞上单调递增，令()0f x '<，解得1x <-，即()f x 在(),1-∞-上单调递减，当120x x <<，
()()()1212x x f x f x --⎡⎤⎣⎦的符号无法确定，故A 错误；
令()()f x g x x
=，(),0x ∈-∞，则()x g x e =在(),0-∞上单调递增，故120x x <<时，()()12g x g x <即()
()1212f x f x x x <，所以()()1221x f x x f x >，故B 错误；
当1x =-时函数取得极小值()1f x e
=-极小值，且当x →-∞时()0f x →，0x →时()0f x →，故()()()1211f x f x f e
-<-=，故C 正确； 令()()h x f x x =+，(),0x ∈-∞，则()()1x h x x e =+，()()11x h x e x '=++，()()2x h x e x ''=+，当2x <-时()0h x ''<，即()h x '在(),2-∞-上单调递减，当2x <-时()0h x ''<，即()h x '在()
,2-∞-上单调递增，()2210h e -'-=->，所以()0h x '>恒成立，即()h x 在(),0-∞上单调增，因为120x x <<，
所以()()12h x h x <，故()()1122f x x f x x +<+，即()()1221f x f x x x -<-，故D 正确； 13
．(2,
解:∵在△ABC 中,,2BC x AC ==,B =45︒，且三角形有两解，
∴如图：452xsin x ︒<<，解得222x <<， ∴x 的取值范围是()
2,22.
14．
512
π 解:由()sin 23cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
， 则()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭向左平移2π个单位后的解析式为22sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 当()0,x m ∈时，2222,2333
x m πππ
⎛⎫
+
∈+ ⎪
⎝⎭
，由题意，只需23523212m m πππ+≤⇒≤， 从而有max 512
m π
=
. 15．2
解:由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln x
f x x
=
相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y 因为()220
0022
1ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=
∴=∴+==+单调递增，
01x ∴=因此PQ 的最小值为
ln1
|11|122
-
+= 16．(1，5
)3
解:函数()(0)a f x x a x
=+
>的导数为2()1a f x x '=-，
当x a >时，()0f x '>，()f x 递增；当x a <时，()0f x '<，()f x 递减．
又a >1时，1[3，1]为减区间，即有()f x 的最大值为1
33
a +；最小值为1a +．
由题意可得只要满足1
2(1)33a a +>+，解得1<53
a <；
17．（1）()2sin 24f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭；（2）85f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
． 解:（1）因为直线38x π=
、78
x π=是其两条对称轴， 所以
732,2288T T T
πππ
πω=-∴===， 因为77(
)2sin()184
f ππ
ϕ=-∴+=- 73+2()+2()424
k k Z k k Z πππϕπϕπ∴
+=∈∴=-∈ 2
2
4π
π
π
ϕϕ-
<<
∴=
，所以()2sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
（2）因为()65f α=
，所以3sin 245πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
因为
38
8π
πα<<
，所以0242ππα<-<∴4cos 245πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
2sin(2))cos(2)]844445f πππππαααα⎛⎫+=-+=-+-=
⎪⎝⎭
18．（1）a <<（2）1a =±．
解：设()()2
22233u g x x ax x a a ==-+=-+-
（1）因为0u >对R x ∈恒成立，所以2
min 30u a =->，所以a <<（2）因为函数()f x 的值域为(],1-∞-，所以()g x 的值域是[)2,+∞，即()g x 的最小值是232a -=，
所以1a =± 19．（1
（2
） 解：（1）cos (3)cos c B a b C =-，∴由正弦定理可知，sin cos 3sin cos sin cos C B A C B C =-， 即sin cos cos sin 3sin cos C B C B A C +=，sin()3sin cos C B A C ∴+=，
A B C π++=，sin 3sin cos A A C ∴=，
sin 0A ≠，1
cos 3
C ∴=，
0C π<<
，sin 3
C ∴= （2
）
c =1cos 3
C =
， ∴由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，可得：222243
a b ab =+-，
24
()243
a b ab ∴-+=，
2b a -=，∴解得：15ab =，
11sin 1522ABC S ab C ∆∴==⨯=20．（1）3
A π=
；（2
）解:（1）因为()sin sin sin B C A C -=-，所以()()sin sin sin A C C A C +-=-，
所以1
sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2
A C A C C A C A C A +-=-⇒=
， 因为0A π<<，所以3
A π=
.
（2）由（1）得23
C B π
=
-， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===，所以32sin sin sin()33
b c
B B ππ==
-，
所以2,3sin(
)3
b B
c B π
==-，
所以223sin(
))3
b c B B B B π
+=+-=+
)B ϕ=+
，其中tan (0,)2
πϕϕ=
∈， 由2(0,
)3
B π∈，存在B 使得2B π
ϕ+=，所以sin()B ϕ+的最大值为1，
所以2b c +
的最大值为21．（1）1
a e
>
；（2）8. 解:（1）由题意可得，()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即2ln ax x x >，∴ln x
a x
>恒成立. 令()ln x h x x =
，则()2
1ln x
h x x -'=， 由()0h x '>得0x e <<；由()0h x '<得x e >；
所以()h x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，因此()()max 1
h x h e e
== ∴只需1a e
>
； （2）由2ln 0x x ax -=知ln x ax =，由题意，可得：ln m am =，ln n an =，
所以ln ln ()m n a m n -=-，即ln ln m n
a m n
-=
-，
又()1
ln ln ln ln ()ln 1m m n m n m n a m n m n m m n n n
+-+=+=
⋅+=⋅-- 令m
t n =
，(]1,2t ∈，则()1ln ln 1
t mn t t +=
-，
令()()1ln 1t t g t t +=-，(]1,2t ∈，则
()()
21
2ln 1
t t t g t t --'=-， 令()12ln t t t t ϕ=--，则()()2
2212110t t t t t
ϕ-'=-+=≥显然恒成立； ∴()t ϕ递增，
∴(]1,2t ∈时，()()10t ϕϕ>=， ∴()0g t '>，即()g t 在(]1,2t ∈上递增， 因此()()max 23ln 2g t g ==，
∴ln ln m n +最大值为3ln2，mn 最大值为8.
22．解：()f x 的定义域为()0,∞+，因为()2
1ln 22⎛
⎫=+-
- ⎪⎝⎭
a x f x x ax ， 所以()()()()()2
121121211212---⎡⎤--+⎣⎦=+--=
='x a x a x ax a x x x x f a x
， 当1
2a ≤时，令()00f x x '⎧>⎨>⎩，得01x <<，令()00f x x '⎧<⎨>⎩，得1x >；
当
112a <<时，则1121a >-，令()00
f x x '⎧>⎨>⎩，得01x <<，或121>-x a ， 令()00f x x '⎧<⎨>⎩
，得1121<<-x a ；
综上所述，当1
2
a ≤
时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减； 当
112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭
a 上递减，在1,21a ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭上递增；
（2）当1a =时，此时()2
1ln 22
=+
-f x x x x ，()f x '= + x −2 ≥ 0 ，()f x 在()0,∞+上递增； 设12x x <，又因为()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<， 设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，则
()()()
()()()
()
2
2
3
11212022---'''=--+=-
+
=>--x x x g x f x f x x
x
x x 对于任意()0,1x ∈成立， 所以()g x 在()0,1上是增函数，所以对于()0,1x ∀∈，有()()()12130<=+=g x g f ， 即()0,1x ∀∈，有()()230-++<f x f x ，因为101x <<，所以()()11230-++<f x f x ， 即()()212f x f x >-，又()f x 在()0,∞+递增，所以212x x >-，即122x x +>.
选择题答案
B B
C A B
D B B
9.CD 10.CD 11.CD 12.CD
13
．(2, 14．512
π
15．
16．(1，5
)3。