2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ）
A ．{}|12x x -<<
B ．{}|11x x -≤<
C ．{}|12x x ≤<
D ．{}|11x x -<≤
【答案】D
2．复数
在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第四象限 【答案】B
3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）
A ．1y x =
B ．ln ||y x =
C ．2x y =
D ．1||y x =-
【答案】B
4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
B ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥
C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥
D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B
6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）
A ．7
B ．9
C ．10
D ．13 【答案】C
7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）
A ．若2π
αβ+<，则sin sin 2αβ+<B ．若2π
αβ+<，则cos cos 2αβ+<C ．若2παβ+>
，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>
【答案】A
8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：
①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距124O O =32；
③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①
B ．②③
C ．①②
D ．①②③
【答案】C
二、填空题 9．若双曲线221x y m -=与22
132
x y -=有相同的焦点，则实数m =_________. 【答案】4
10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】12 454
11．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.
【答案】0
12．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，则四边形ABCD 的面积是_______.
【答案】4
13．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线3y =6π，则ω的所有可能值为__________． 【答案】2或10
14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号） ①130
n n n k t t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-. 在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么
a b 与b c 的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空） 【答案】② >
三、解答题
15．在ABC ∆
中，已知sin cos 0c A C =.
（1）求C ∠的大小；
（2）若2b =
，c =，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）23
C π∠=
（2
16．2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类预计升级到5G的时段人数
早期体验用户2019年8月至2019年12月270人
中期跟随用户2020年1月至202l年12月530人
后期用户2022年1月及以后200人
我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===. （1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；
（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；
（3）点M 在线段1B C 上，且
11((0,1))B M B C λλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A N A B
的值（用含λ的代数式表示）.
【答案】（1）证明见解析（2）
3π（3）1λ-
18．已知函数321()3()3
f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；
（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析
19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.
【答案】（1）2
212x y +=（2）7227,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L ….
（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ； （2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.
（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b L L ，若2020m b ≤，求m 的最大值.
【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析。