规划方案数学大作业

规划数学大作业
学院：控制与计算机工程
学号：
姓名：贺焕
目录
1 问题背景描述 ........................................................ 错误!未定义书签。

2 问题建模................................................................. 错误!未定义书签。

3 计算机求解............................................................. 错误!未定义书签。

4 成果分析................................................................. 错误!未定义书签。

5 附录......................................................................... 错误!未定义书签。

1 问题背景描述
从1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出单纯形求解办法以来，线性规划作为运筹学一种重要分支，无论是在理论方面还是在算法方面都日益趋向成熟和完善，并在实践中获得了良好应用效果；特别是随着计算机解决能力不断提高，使其得以更广泛应用。

规划问题往往与资源有限性密切有关，解决是有限资源条件下成本最小或利润最大等问题。

在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地运用有限人力、物力、财力等资源，以便得到最佳经济效果。

如下对一种生产管理问题进行分析和研究。

某工厂在某一筹划期内准备生产甲、乙、丙三种产品，生产需要消耗A、B、C三种资源，已知各种产品中A、B、C含量，原料成本，各种原料每月限制用量，三种产品单位加工费及售价如下表1所示。

表1
每月应生产这三种产品各多少公斤，才干使该厂获利最大呢？
对于此问题可以考虑建立线性规划数学模型进行求解，针对此问题建立数学模型。

2 问题建模
针对上面提出问题，用如下数学模型来描述，设x 1、x 2、x 3分别表达每月应生产甲、乙、丙这三种产品公斤数。

由于原料A 、B 、C 限量，可以得到如下不等式：
1200
50.060.020.0250025.025.020.0200025.015.060.0321321321≤++≤++≤++x x x x x x x x x 该厂目的是在不超过所有资源限量条件下，如何拟定产量x 1、x 2、x 3以得到最大利润。

若用z 表达利润，这时
)
50.060.020.0(00.1)25.025.020.0(50.1)25.015.060.0(00.2)30.025.2()40.085.2()50.040.3(321321321321x x x x x x x x x x x x z ++-++-++--+-+-=
综合上述，该筹划问题可用数学模型表达为： 目的函数：
)
50.060.020.0(00.1)25.025.020.0(50.1)25.015.060.0(00.2)30.025.2()40.085.2()50.040.3(max 321321321321x x x x x x x x x x x x z ++-++-++--+-+-=
满足约束条件：
,,120050.060.020.0250025.025.020.0200025.015.060.0321321321321≥≤++≤++≤++x x x x x x x x x x x x
3 计算机求解
单纯形法求解线性规划思路：普通线性规划问题具备线性方程组变量数不不大于方程个数，这时有不定解。

但可以从线性方程组中找出一种个单纯形，每一种单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目的函数值是增大还是变小，决定下一步选取单纯形。

这就是迭代，直到目的函数实现最大值或最小值为止。

这样问题就得到了最优解。

对于上面建立数学模型考虑用单纯形法进行求解。

引入松弛变量x 4、x 5 、x 6。

将目的函数整顿得：
654321000575.0175.12.1m ax x x x x x x z +++++=
约束条件变为：
,,,,,12000050.060.020.025000025.025.020.020000025.015.060.0654321654321654321654321≥≤+++++≤+++++≤+++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
由上述数据即可构造初始单纯形表，如表2所示。

表 2
使用计算机求解得到最优解为：X *=(3090.91,969.697,0,0,1639.39,0)T 目的函数值为：z *=4848.48
4 成果分析
依照以上计算成果可以懂得，每月生产甲产品3090.91公斤，乙产品969.697公斤，不生产丙产品，可使该厂获利最大，达到4848.48元。

讨论线性规划问题时，假定a ij 、b i 、c j 都是常数。

但事实上这些系数往往是预计值和预测值。

如市场条件一变，c j 值就会变化；a ij 往往是因工艺条件变化而变化；b i 是依照资源投入后经济效果决定一种决策选取。

如下将针对上述模型中c j 、b i 变化进行讨论。

当c j 是非基变量x j 系数时，若满足01≤-∆+-j B j j P B C c c ，则原最优解依然为最优解，否则需重新计算。

假设丙产品开始畅销，其售价由本来2.25元/公斤上涨至3元/公斤。

那么重新计算成果为：每月生产甲产品2800公斤，丙产品1280公斤，不生产乙产品，可使该厂获利最大，达到5056元。

若售价由本来2.25元/公斤上涨至2.75元/公斤。

重新计算成果依然为原最优解。

由以上分析中公式01≤-∆+-j B j j P B C c c 可知丙产品售价不大于2.837879元/公斤时，原最优解不变。

以上两组数据验证了这一敏捷度分析。

当cj 是基变量xj 系数时，若满足01≤∆---rj r B j a c A B C c ，j=1，2，…，n ，则原最优解依然为最优解，否则需重新计算。

假设甲产品开始畅销，其售价由本来3.40元/公斤上涨至6元/公斤。

那么重新计算成果依然为原最优解。

若甲产品开始滞销，其售价由本来3.40元/公斤下调至2.5元/公斤。

那么重新计算成果为：每月生产乙产品公斤，不生产甲产品和丙产品，可使该厂获利最大，达到2350元。

由以上分析中公式
01≤∆---rj r B j a c A B C c ，j=1，2，…，n ，可知甲产品售价介于2.59和6.9元/公斤之间时最优解不变。

以上两组数据验证了这一敏捷度分析。

当b r 发生变化时，若满足0)(1≥∆+='
-b b B X B ，则原最优基不变，但最优
解值发生了变化，所觉得'
B X 新最优解。

假设工厂新增了原料B ，每月限制用量上调至3000公斤，那么重新计算成果为：每月生产甲产品3090.91公斤，生产乙产品969.697公斤，不生产丙产品，可使该厂获利最大，达到4848.48元。

若工厂减少了原料B ，每月限制用量下调至500公斤，那么重新计算成果为：每月生产甲产品2500公斤，不生产乙产品和丙产品，可以使该厂获利最大，达到3000元。

由以上分析中公式
0)(1≥∆+='
-b b B X B ，可知当原料B 限制用量不不大于530.303公斤时，可以使得原最优基不变，但最优解值会发生变化。

以上两组数据验证了这一敏捷度分析。

5 附录
计算机求解使用语言是C++，实当代码如下所示：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(int argc，_TCHAR* argv[])
{
int M，N，XB[100]，human[100]，num，i，j，k，l;
float A[100][100]，a[100][100]，b[100]，th[100]，C[100]，cj_zj[100],CB[100];
//获取初始数据
cout<<"构建初始单纯形表。

"<<endl
<<"输入决策变量个数N=";
cin>>N;
cout<<"输入价值向量C：";
for (i = 0；i < N；i++)
{
cin>>C[i];
}
cout<<"输入约束方程组中方程个数M=";
cin>>M;
cout<<"输入约束方程组增广矩阵："<<endl;
for (i = 0；i < M；i++)
{
for (int j = 0；j < N；j++)
{
cin>>A[i][j];
}
cin>>b[i];
}
cout<<"输入初始CB：";
for (i = 0；i < M；i++)
{
cin>>CB[i];
}
cout<<"输入初始XB：";
for (i = 0；i <M；i++)
{
cin>>XB[i];
XB[i]--;
}
cout<<"输入人工变量个数："; cin>>num;
if (num > 0)
{
cout<<"输入人工变量："<<endl;
for (i = 0；i < num；i++)
{
cin>>human[i];
human[i]--;
}
}
loop:
//计算cj-zj
cout<<"cj-zj为："<<endl;
for (j = 0；j < N；j++)
{
bool flag = false;
for (i = 0；i < M；i++)
{
if (j == XB[i])
{
flag = true;
break;
}
}
if (flag)
{
cj_zj[j] = 0;
cout<<cj_zj[j]<<" ";
continue;
}
float sum = 0;
for (i = 0；i < M；i++)
{
sum += CB[i]*A[i][j];
}
cj_zj[j] = C[j] - sum;
cout<<cj_zj[j]<<" "; }
cout<<endl<<endl;
//判断与否所有cj-zj<=0 for (j = 0；j < N；j++) {
if (cj_zj[j] > 0)
{
break;
}
}
if (j < N)
{
for (i = 0；i <M；i++)
{
if (A[i][j] > 0)
{
break;
}
}
if (i < M)
{
//拟定换入变量
float maxj = 0;
k = 0;
for (j = 0；j < N；j++)
{
if (cj_zj[j] > maxj)
{
k = j;
maxj = cj_zj[j];
}
}
cout<<"换入变量为："<<k+1<<endl<<endl; //求旋转变量
cout<<"旋转变量为：";
for (i = 0；i < M；i++)
{
if (A[i][k] > 0)
{
th[i] = b[i]/A[i][k];
}
else
{
th[i] = -1;
}
cout<<th[i]<<" ";
}
cout<<endl<<endl;
//拟定换出变量
float minj = 1000000;
for (i = 0；i < M；i++)
{
if (th[i] < 0)
{
continue;
}
if (th[i] < minj)
{
minj = th[i];
/*l = XB[i];*/
l = i;
}
}
cout<<"换出变量为："<<XB[l]+1<<endl<<endl; //迭代运算
XB[l] = k;
CB[l] = C[k];
float bb[100];
for (i = 0；i < M；i++)
{
for (j = 0；j < N；j++)
{
a[i][j] = A[i][j];
}
bb[i] = b[i];
}
b[l] = bb[l] / a[l][k];
for (j = 0；j < N；j++)
{
A[l][j] = a[l][j]/a[l][k];
}
for (i = 0；i < M；i++)
{
if (i == l)
{
continue;
}
for (j = 0；j < N；j++)
{
A[i][j] = a[i][j] - A[l][j]*a[i][k];
}
b[i] = bb[i] - b[l]*a[i][k];
}
cout<<"增广矩阵为："<<endl;
for (i = 0；i < M；i++)
{
for (j = 0；j < N；j++)
{
cout<<A[i][j]<<" ";
}
cout<<b[i]<<endl;
}
cout<<endl;
goto loop;
}
else
{
cout<<"此问题无界！"<<endl;
return 0;
}
}
else
{
for (i = 0；i < M；i++)
{
for (j = 0；j < num；j++)
{
if (XB[i] == human[j] && CB[i] != 0)
{
cout<<"此问题无可行解！"<<endl;
return 0;
}
}
}
for (i = 0；i < N；i++)
{
for (j = 0；j < M；j++)
{
if (i == XB[j])
{
break;
}
}
if (j < M)
{
continue;
}
else
{
if (cj_zj[i] == 0)
{
cout<<"此问题有无穷多最优解！"<<endl;
return 0 ;
}
}
}
cout<<"此问题有唯一解！"<<endl;
cout<<"最优解为："<<endl;
float X[100];
for (i = 0；i < N；i++)
{
X[i] = 0;
}
for (i = 0；i < M；i++)
{
X[XB[i]] = b[i];
}
for (i = 0；i < N；i++)
{
cout<<X[i]<<" ";
}
cout<<endl<<"目的函数值为：";
float sum = 0;
for (i = 0；i < M；i++)
{
sum += CB[i] * b[i];
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
}
运营截图如下：。