《二次函数的图像》 讲义

《二次函数的图像》讲义
一、二次函数的基本形式
二次函数是我们数学学习中的重要内容，它的一般形式为：＄y ＝
ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。

当$a ＞ 0$时，图像开口向上；当$a ＜ 0$时，图像开口向下。

在这个一般形式中，＄a$决定了二次函数图像的开口大小和方向。

＄｜a|＄越大，图像开口越窄；＄｜a|＄越小，图像开口越宽。

＄b$和$a$共同决定了二次函数图像对称轴的位置。

对称轴的方程
为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

＄c$则表示二次函数图像与$y$轴的交点，交点坐标为$（0, c)＄。

二、二次函数图像的顶点
对于二次函数$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其顶点坐标为$（h, k)＄。

当$a ＞ 0$时，顶点$（h, k)＄是二次函数的最小值点；当$a ＜ 0$时，顶点$（h, k)＄是二次函数的最大值点。

通过配方法，我们可以将一般式$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$转化为顶点
式$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，从而更方便地确定顶点坐标。

三、二次函数图像的平移
二次函数图像的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。

例如，将函数$y ＝ x^2$的图像向上平移$2$个单位，得到$y ＝ x^2
＋ 2$；向下平移$3$个单位，得到$y ＝ x^2 3$。

将函数$y ＝（x 1)＾2$的图像向左平移$2$个单位，得到$y ＝（x
1 ＋ 2)＾
2 ＝（x ＋ 1)＾2$；向右平移$4$个单位，得到$y ＝（x 1 4)
＾2 ＝（x 5)＾2$。

四、二次函数图像与$x$轴的交点
二次函数$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$的图像与$x$轴的交点，可以通过求
解方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根来确定。

当判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0$时，二次函数图像与$x$轴有两
个不同的交点；当$＼Delta ＝ 0$时，有一个交点（即顶点在$x$轴上）；当$＼Delta ＜ 0$时，没有交点。

我们可以使用求根公式$x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄来计算交点的横坐标。

五、二次函数图像的对称性
二次函数的图像是轴对称图形，其对称轴为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

在对称轴两侧，对称的点的纵坐标相等。

例如，点$（x_1, y_1)＄在二次函数图像上，其关于对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄对称的点为
$（x_2, y_1)＄，其中$x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＄。

六、实例分析
我们来看一个具体的二次函数$y ＝ 2x^2 4x ＋ 1$。

首先，确定其开口方向。

因为$a ＝ 2 ＞ 0$，所以图像开口向上。

对称轴为$x ＝＼frac{－4}｛2 ＼times 2} ＝ 1$。

将函数配方可得$y ＝ 2(x 1)＾2 1$，所以顶点坐标为$（1, －1)＄。

然后，计算判别式$＼Delta ＝（－4)＾2 4 ＼times 2 ＼times 1 ＝ 8
＞ 0$，所以函数图像与$x$轴有两个不同的交点。

接下来，我们可以通过求解方程$2x^2 4x ＋ 1 ＝ 0$，使用求根公
式$x ＝＼frac{4 ＼pm ＼sqrt{8}｝｛4} ＝ 1 ＼pm ＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＄，得到交点的横坐标。

七、二次函数图像的应用
二次函数图像在实际生活中有很多应用。

例如，在物理学中，自由落体运动的高度与时间的关系可以用二次
函数来表示。

在经济学中，成本、收入和利润的关系也常常涉及二次函数。

在工程学中，抛物线形状的桥梁设计、物体的抛射运动等都与二次
函数图像有关。

八、总结
二次函数的图像是我们理解和解决二次函数相关问题的重要工具。

通过掌握二次函数图像的开口方向、顶点、对称轴、与$x$轴的交点以
及平移等特性，我们能够更深入地理解二次函数的性质，并将其应用
到实际问题中。

希望通过本次讲义的学习，大家能够对二次函数的图像有更清晰、更全面的认识，为今后的数学学习打下坚实的基础。