高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积目标导引

2.4 向量的数量积
一览众山小
诱学导入
材料1：前面我们学习了向量的加法、减法和数乘三种运算,这三种运算的结果仍是向量.在学习物理的过程中我们遇到过这样的运算——力做功的问题.一个物体在力的作用下发生了位移,那么该力就对此物体做了功.由物理学知识我们知道,如果力为F ,位移为s,且力与位移方向的夹角为θ,则力对物体所做的功为W=|F ||s |cos θ.
由我们以前所学可知,功是一个标量,它只有大小没有方向,而力、位移是矢量,它们既有大小又有方向.也就是说两个矢量通过某种运算得到了标量,物理学中的这种运算抽象为数学知识就是向量的数量积.
问题:根据上面的材料,你能不能给出向量数量积的定义？
导入：由于力和位移可以抽象为数学中的向量,则由上面的材料可知|F|是F 的模,|s|是s 的模,而θ是两个向量的夹角.因此,两个向量的数量积是两个向量长度和它们夹角余弦值之积,其运算结果是一个数量.
材料2：
图2-4-1
在物理学习中,知道一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,这个力就对物体做了功.而力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这
三者的乘积.若设力和位移的夹角为α,则当α=
2
π时,cos α=0,此时力对物体所做功为零,如图2-4-1(1)重力和支持力对物体所做的功为零;当0≤α＜2π时,cos α＞0,此时力对物体所做的功为正功,如图2-4-1(2)人用力拉车前进,此时拉开力对车所做为正功;当π≥α＞2
π时,cos α＜0,此时力对物体所做的功为负功,如图2-4-1(3),人向后拉车的力对车所做功为负功.力与位移都是向量,而功则可以抽象为数学中向量的数量积.
问题:由上面的这段话,你能不能概括出向量数量积的定义？并且说出何时向量的数量积是正值？何时是负值？何时是零？
导入：力和位移对应于数学中的向量,它们的大小对应于数学中的向量的模,力和位移的夹角则对应于数学中两个向量的夹角,由此可知两个向量的数量积等于这两个向量的模与它夹角余弦值之积,而这个积的正负则取决于这两个向量的夹角的大小.
温故知新
1.向量的模是怎样定义的？
答:向量的大小称为向量的模,记作||.
2.平面向量基本定理的内容是什么？
答:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.
3.向量a的坐标是怎样定义的？
答:一般地,对于向量a,当它的起点移至原点时,其终点坐标(x,y)称为向量a的坐标.
4.平面向量的坐标运算律有哪些？
答:(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;
(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标;
(3)一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去始点的坐标.。