第53题 数列与其他知识的交汇(2)——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等

第53题 数列与其他知识的交汇（2）——数列与函数、数列与平面向量、数
列与解析几何等
I ．题源探究·黄金母题
【例1】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数
,x y 有()()()f xy f x f y =+，
已知112f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()(
)*
11n n n f S f a f a n N
=++-∈，其中n
S
是数
列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a = （ ） A ．
1
36
B ．9
C ．18
D ．36 【答案】C 【解析】
对任意的正数,x y 均有()()()f xy f x f y =+且
112f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，又0n a >且()()()()()11112n n n n n f S f a f a f a f a f ⎛⎫
=++-=+++ ⎪⎝⎭
()()
212n n n f S f a a ⎡
⎤∴=+⨯⎢⎥⎣
⎦，
又
()f x 是定义在(]0,+∞上的单调增函数，()
2
12
n n n S a a ∴=
+① 当1n =时，()
2
11112
a a a =
+，211110,0,1a a a a ∴-=>∴=， 当2n ≥时，()
21111
2
n n n S a a ---∴=+ ②
①-②可得22
111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，
()()1110n n n n a a a a --∴+--=，()10,12n n n a a a n ->∴-=≥，{}n a ∴为等差数列11,1a d ==，n a n ∴=，1818a =，故选C ．
精彩解读
【试题来源】2018全国名校大联考高三第三次联考．
【母题评析】本题考查函数与数列的交汇，考查学生的
分析问题解决问题以及基本
计算能力． 【思路方法】由函数解析式给出数列的n a 与n S 关系式，最后利用邻差法求数列的通
项公式，解决问题．
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考山东19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．
（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，
11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．
【答案】(I)1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n
n n T -⨯+=
【解析】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >，由题意得
112
1132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，∴2
3520q q --=，∵0q >，∴12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=
（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由(I)得1
1
1222.n
n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由
题意1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=
⨯=+⨯， ∴123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+
32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①
又012
2325272n T =⨯+⨯+⨯+……+2
1(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得
()()()()()1211
11
3222221221221213212,2
12
2
n n n n n n n T n n n T ------=⨯++++-+⨯--⨯+=+-+⨯∴=
-．
【命题意图】这类题以函数、解析几何等为载体，或者利用函数解析式给出数列的递推关系，考查函数解析式的求法、数列求和、或者利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题、证明不等式等．这类題能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力
及基本计算能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较大．
【难点中心】
1．写全解答步骤，步步为“赢”
解答时，要将解题过程转化为得分点，对于得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时
根据步骤评分，有则得分，无则不得分．
2．准确把握数列与函数、数列与平面向量、数列与解析
几何等的关系．
III ．理论基础·解题原理
1．解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度大． 【技能方法】
1．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点： (1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．
2．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 数列与函数（三角函数）
数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A ，B ，C 成等差数列；三边a ，b ，c 成等比数列等，二是数列通项种含有三角函数，我们可以借助三角函数的周期性求和．
【例1】设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是( ) A ．]6,
0(π
B ．),6[ππ
C ．]3,0(π
D ．),3
[ππ
【分析】利用c b a ,,成等比数列，得ac b =2
，再利用余弦定理，将边与角联系，最后用基本不等式求
出cos B 的范围．
由于B 是ABC ∆的内角，所以B 的取值范围是]3
,
0(π
．故选C ．
【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件，所以，解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来．
【例2】【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】斐波那契数列{}n a 满足：
()
*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格
子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（ ）
A ．2
111·
n n n n S a a a +++=+ B ．12321n n a a a a a +++++=-
C ．1352121n n a a a a a -++++=-
D ．()1214?n n n n c c a a π--+-=
【答案】C
【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数学化归思想，属于难题．该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题．
【例3】【2018湖南长沙长郡中学高三第三次月考】将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，
34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当p q
⨯（p q ≤且*
,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如
()12431f =-=．数列(){}
3n f 的前100项和为__________．
【答案】
5031-
【例4】【2018河南八市重点高中上学期第三次测评】设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,6a S ==，数列{}n b 满足2log n n b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足sin n n n b c a π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求证：对任意*,2n n N S π∈<+． 【分析】(1)用基本量法，即用1a 与q 表示条件328,6a S ==，列出方程组，解出1,a q 即可求数列{}
n a
的通项公式，由2log n n b a =可求数列{}n b 的通项公式；(2)先求sin sin 2n n n n b n c a π
π⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，从而写
出3411sin
sin sin
816
2n n n S ππ
π=+++++，由当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，sin x x <放缩可得
3428162n n n S πππ<+
+++
，令34816
2n n
n T πππ
=+++
，利用错位相减法求出n T 即可． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则有211186
a q a a q ⎧=⎨+=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，则22,log 2n n
n n a b n ===．
即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为22,log 2n n
n n a b n ===．
（2）证明：sin sin 2n n n n b n c a ππ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴12343411sin
sin sin
816
2
n n n n S c c c c c ππ
π
=+++++=+++++， 易知当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，有sin x x <成立，∴342816
2n n
n S πππ<+
+++
， 令348162n n n T πππ=
+++ ① 则1134216322
n n T L πππ+=+++ ② ①-②得3
11
111621
331281632
2282
12
n n n n n n n T ππππππππ
-++⎡
⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
=
++++-=+-
-， 从而2
2
n n n T πππ+=-
<，即2n S π<+ 【点评】与求和有关数列不等式的证明，通常是把数列放缩成可以求和的数列，比如等差数列、等比数列、可以裂项求和的数列．
【例5】【2018海市十二校高三联考】给出集合()()()(){|21,}M f x f x f x f x x R =+=+-∈． （1）若()sin
3
x
g x π=，求证：函数()g x M ∈；
（2）由（1）分析可知，()sin
3
x
g x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命
题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数．命题乙：集合M 中的元素都是奇函数．请对此 给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；
（3）若()f x M ∈，数列{}n a 满足：()1n a f n =+，且12a = 23a =，数列{}n a 的前n 项 和为n S ，试问是否存在实数p 、q ，使得任意的*n N ∈，都有()1n
n
S p q n
≤-⋅≤成立，若 存在，求出p 、q 的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析（2）命题甲正确（3）75,32
p q ≤-
≥
是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，据此可知()751,11,32n
n S n ⎡⎫⎡⎤
-⋅∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦
，则满足题意时只需75
,32
p q ≤-
≥即可． 试题解析：（1）()g x M ∈转化证明
()()()12g x g x g x +-=+()()()123
3
3
sin
x sin
x sin
x π
π
π
⇔+-=+，
左边()()13
3
33
33
3
sin
x sin x sin
xcos
cos
xsin
sin
x π
ππ
π
π
π
π
=+-=+-
1323233
sin x cos x sin x πππ
=
+- ()132********sin x cos x sin x sin x πππππ⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭
右边
（2）命题甲正确．集合M 中的元素都是周期为6的周期函数． 验证()()6f x f x +=即可．
命题乙不正确．集合M 中的元素不都是奇函数． 如()3
x
g x sin
π=是奇函数；()34x h x sin ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭不是奇函数． （3）()1n f n a =- M ∈，则()21111n n n a a a ++-=--- 211n n n a a a ++⇒=-+
假设存在实数,p q 满足题设，则213211{
1
n n n n n n a a a a a a +++++=-+=-+ 32n n a a +⇒+= 6n n a a +⇒=，
所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，
()
()()()
,61,61,65{
3,62,644,63n n n k n n k n k S n n k n k n n k =+=-=-=+=-=-+=- *k N ∈
当6n k =，*k N ∈时，()11n
n
S n
-⋅
=； 当61,65,n k n k =-=- *k N ∈时，()1
11n
n S n n
-⋅
=-- [)2,1∈--； 当62,64,n k n k =-=- *k N ∈时，()311n
n S n n -⋅
=+ 51,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
； 当63n k =- *k N ∈时，()411n
n S n n -⋅
=-- 7,13⎡⎫
∈--⎪⎢⎣⎭
． 综上()751,11,32n
n S n ⎡⎫⎡⎤
-⋅
∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦
，要使对任意的*n N ∈，都有()1n n S p q n ≤-⋅≤恒成立，只要75
,32
p q ≤-≥即可．
【跟踪练习】
1．【2018福建闽侯县第八中学高三上学期期末考试】正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数
()321
4633
f x x x x =-+-的极值点，则20166lo
g a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2 【答案】A
2．【2018河北邢台联考】已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()100
51
i f i =∑的值为（ ）
A ．2488
B ．2495
C ．2498
D ．2500
【答案】D
【解析】由f n （） 的定义知2f n f n =（）（），且若n 为奇数则f n n =（）
则
()()()()100
1
12100i f i f f f ==++
+∑()()()1359924100f f f =+++
++++
+
()
()()()()50
1
501+99+1250=2500+2
i f f f f i =⨯=
++
+∑，()()()100
100
50
5111
=-=2500i i i f i f i f i ===∴∑∑∑，故选D ．
3．【2018湖北省七校考试联盟”高三2月联考】对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，()2,3n =（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）
．则232018
2017
a a a +++=
（ ）
A ．1010
B ．1012
C ．2018
D ．2020 【答案】A
4．【2018江西K12联盟高三教育质量检测一】已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）
，则()()56f a f a +=（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．3
D ．2 【答案】C
【解析】由函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，可知T=3 由2n n S a n =+，可得：()11212n n S a n n --=+-≥
两式相减得：1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()()11212n n a a n --=-≥
∴{}1n a -是公比为2的等比数列，∴12n
n a =-，∴5631
63a a =-=-， ∴()()()()()()()5631013211013f a f a f f f f f +=-⨯-+-⨯=-+=-=，故选C ． 5．【2018河北衡水中学高三上学期八模考试】已知函数()(0,1)x
f x a b a a =+>≠的图象经过点
()1,3P ，()2,5Q ．
当*n N ∈时，()()()
11n f n a f n f n -=⋅+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当10
33
n S =
时，n 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4 【答案】D
6．【2018山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则
28cos()a a +=（ ）
A ．12-
B ．3
C ．1
2
D 3
【答案】A
【解析】由159538a a a a π++==，得583a π=
，所以285cos()cos(2)cos cos 33
a a a 10ππ
+===-＝1
2
-，故选A ． 7．【2018青海西宁高三下学期复习检测一】如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数()1
(0)f x x x x
=+
>的图象上．若点n B 的坐标为()(),02,n n n N +≥∈，记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a ++
+=（ ）
A．220 B．216 C．212 D．208
【答案】B
8．【2018河南洛阳高三期中考试】用[]x表示不超过x的最大整数（如[][]
2.12,
3.54
=-=-）．数列
{}
n
a满足
1
4
3
a=，()
1
11
n n n
a a a
+
-=-（*
n N
∈），若
12
111
n
n
S
a a a
=+++，则[]n S的所有可能值得个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
考向2 数列与平面向量
【例6】【
2018安徽巢湖柘皋中学高三上学期第三次月考】将向量12,,,n a a a 组成的系列称为向量
列{}
n a ，并定义向量列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++．若()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则
下列说法中一定正确的是（ ） A ．(
)111n
n a S λλ
-=
- B ．不存在*
n N
∈，使得0n S =
C ．对*m n N ∀∈、，且m n ≠，都有m n S S
D ．以上说法都不对
【答案】C
【例7】已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，
C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为（ ）
A ．
12n n - B ．23n n - C ．21n - D ．1
2n
- 【答案】A
【名师点睛】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系120101a a +=，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式(1)OA OB OC λλ=+- ⇔
A B C 、、三点共线．
【例8】【2017上海市宝山区高三4月期中教学质量监控（二模）】数列2p =中，已知2
4y x =对任意l 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．
（这里a k ，均为实数）．
（1）若{}n a是等差数列，求k的值；
（2）若
1
1
2
a k
==-
，，求
n
S；
（3）是否存在实数k，使数列{}n a是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项OA OB
⋅按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有l的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
1
2
k=（2）
()
()
221
{
2
n
n n k
S
n n k
-=-
=
=
（3）
2
5
k=-
试题解析：（1）若{}n a是等差数列，则对任意*
n N
∈，有
12
2
n n n
a a a
++
=+，
即()
12
1
2
n n n
a a a
++
=+，故
1
2
k=．
（2）当
1
2
k=-时，()
12
1
2
n n n
a a a
++
=-+，即
12
2
n n n
a a a
++
=--，()
211
n n n n
a a a a
+++
+=-+，
故()
32211
n n n n n n
a a a a a a
+++++
+=-+=+．
所以，当n是偶数时，()()
1234112
11
22
n n n
n n
S a a a a a a a a n
-
=++++++=+=+=；
当n是奇数时，()
2312
2
a a a a
+=-+=-，
()()()() 12341123451
1
122
2 n n n n n
n
S a a a a a a a a a a a a a n
--
-=++++++=+++++++=+⨯-=-
．
综上，
()
()
221
{
2
n
n n k
S
n n k
-=-
=
=
（*
k N
∈）．
（3）若{}n a是等比数列，则公比2
1
a
q a
a
==，由题意1
a≠，故1m
m
a a-
=，
1
m
m
a a
+
=，1
2
m
m
a a+
+
=．
若
1
m
a
+
为等差中项，则
12
2
m m m
a a a
++
=+，即11
2m m m
a a a
-+
=+⇔2
21
a a
=+，解得1
a=（舍去）；
若
m
a为等差中项，则
12
2
m m m
a a a
++
=+，即11
2m m m
a a a
-+
=+⇔2
2a a
=+，因1
a≠，故解得，2
a=-，1
112
2
2
15
m
m
m m
m m
a a a
k
a a a a a
+
-+
+
====-
+++
；
若
2 m
a
+
为等差中项，则
21
2
m m m
a a a
++
=+，即112
221
m m m
a a a a a
+-
=+⇔=+，
因为1
a ≠，解得
2
12
215
a
a k
a
=-==-
+
，．
综上，存在实数k满足题意，
2
5
k=-．
【跟踪练习】
1．【2018江苏常州武进区高三上学期期中考试】已知数列{}n a中，12
a=，点列()
1,2,
n
P n=⋯在ABC
∆
内部，且
n
P AB
∆与
n
P AC
∆的面积比为2:1，若对*N
n∈都存在数列{}n b满足
()
1
1
320
2
n n n n n n
b P A a P B a P C
+
+++=，则
4
a的值为______．
【答案】80
2．【2018黑龙江省大庆实验中学高三仿真模拟】已知函数()12
f x
x
=
+
，点O为坐标原点，点()
()()*
,
n
A n f n n N
∈，向量()
0,1
i=，θn是向量OAn与i的夹角，则使得
12
12
cos
cos cos
sin sin sin
n
n
t
θ
θθ
θθθ
++<恒成立的实数t的取值范围为___________．
【答案】
3
,
4
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭
【解析】根据题意得，
2n
π
θ
-是直线OA n的倾斜角，则：
()
()
sin
cos1111
2
tan
sin2222
cos
2
n
n
n
n
n
f n
n n n n n
π
θ
θπ
θ
π
θθ
⎛⎫
-
⎪⎛⎫⎛⎫
⎝⎭
==-===-
⎪ ⎪
++
⎛⎫⎝⎭⎝⎭
-
⎪
⎝⎭
，据此可得：
结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为
3
,
4
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭．
考向3 数列与解析几何
【例9】【2018安徽皖西高中教学联盟高三上学期期末质量检测】如图所示，设曲线
1
y
x
=上的点与x轴
上的点顺次构成等腰直角三角形
11
OB A，
122
,
A B A，直角顶点在曲线
1
y
x
=上，
n
A的横坐标为
n
a，
记()*
1
2
n
n n
b n N
a a
+
=∈
+
，则数列{}n b的前120项之和为（）
A．10 B．20 C．100 D．200
【答案】A
【例10】
【2018天津耀华中学高三上学期第二次月考】已知曲线C ：4x
y =，n C ：4
x n
y +=（*N n ∈），
从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点
()111n n n Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1
n n n
y b y +=
． （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）记()23521n
n n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21
2155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
；
（Ⅲ）若已知
3
1223
212222n
n
d d d d n ++++
=-（*N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与2
4
n B -的大小．
【答案】（1）n x ()112
n n -=
+；（2）见解析；（3）见解析．
（3）由∵1n n n a x x n +=-=，∴()12
n n n A +=
，由
3
122321222
2
n
n d d d d n ++++
=-知()3
1
12231
211222
2
n n d d d d n --++++
=--（2n ≥） ∴22
n
n d =（2n ≥），而12d =，所以可得1
21{ 22n n n d n +==≥，，， 由此能够比较n A 与
2
4
n B -的大小． 试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x n
x n y +++==，∴1n n x x n +=+，
∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-=
=+++
+-()112
n n -=
+．
（2）∵()
235241
n n n n
c +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n n c c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2
1
12155558888n n
n n n c c c c ---⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫<<<
<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
∴211221n n T c c c --=++
+ 2
21
21
55555188838n n --⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫≤++
+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥
⎣⎦（当1n =时取“=”）． （Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12
n n n A +=，
由
3
1223
212222n n d d d d n ++++
=-知()3
1
1223
1
2112222n n d d d d n --+++
+
=--（2n ≥）
， ∴
22
n
n
d =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，， 于是3411232222n n n B d d d d -=+++
+=+++
+2341222224n +=++++
+-
(
)12
22142
621
n n ++-=
-=--．
∴
2
224
n n B -=-． 当1n =，2时，()12
222
4
n n n n n B A +-=
>-=
； 当3n =时，()12
222
4
n n n n n B A +-=
=-=
当4n ≥时，012
1
222n n n n n n n n C C C C C --=+++++-
()()21
21113222n n n
n
n n n n n n C C C
n n --++=++
+>+
+=>∴当4n ≥时，24
n n B A -<
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键． 【跟踪练习】
1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()
*,n n a S n N ∈在直线220x y --=上． （1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；
（2）设直线n x a =与函数()2
f x x =的图象交于点n A ，与函数()2lo
g g x x =的图象交于点n B ，记
n n n b OA OB =⋅（其中O 为坐标原点），求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析（2）128
4399n n n T +⎛⎫=+⋅-
⎪⎝
⎭ 【解析】试题分析：（1）根据表达式得到12n n a a -=，从而得到数列满足1
2n
n a a -=，故得到结论；（2）根据向量点积的定义得到()14n
n b n =+，错位相减得到前n 项和．
解析：
∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由已知()()
2,4,2,n n n n n A B n ．()14n n n n n b OA OB b n =⋅∴=+，1284399n n n T +⎛⎫
∴=+⋅- ⎪⎝⎭
．
2．已知曲线C ：4x
y =，n C ：4
x n
y +=（*
N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于
点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点()111n n
n Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1
n n n
y b y +=． （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）记()23521n
n n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21
2155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
；
（Ⅲ）若已知
3
122321222
2n n
d d d d n ++++
=-（*
N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与2
4
n B -的大小．
【答案】（1）n x ()112
n n -=
+；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】试题分析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，则1144n n x n
x n y +++==∴1n n x x n +=+
从而能求出数列{}n x 的通项公式．
（2）由()23521n n n n c b +⨯=⨯-，知158n n c c +<，，当2n ≥时，2
1
12155558888n n
n n n c c c c ---⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫<<<
<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
∴211221n n T c c c --=++
+ 2
21
555888n -⎛⎫
⎛⎫≤++
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．由此能够证明21
2155138n n T --⎡⎤
⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦；
试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x n
x n y +++==∴1n n x x n +=+
∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-=
=+++
+-()112
n n -=
+．
（2）∵()
235241n
n n n
c +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n n
c c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2
1
12155558888n n
n n n c c c c ---⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫<<<
<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
∴211221n n T c c c --=++
+ 2
21
21
55555188838n n --⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫≤++
+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（当1n =时取“=”）． （Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12
n n n A +=，
由
3
1223
212222n n d d d d n ++++
=-知()3
1
1223
1
2112222n n d d d d n --+++
+
=--（2n ≥）
， ∴
22
n
n
d =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，， 于是3411232222n n n B d d d d -=+++
+=+++
+2341222224n +=++++
+-
(
)12
22142
621
n n ++-=
-=--．
∴
2
224
n n B -=-．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．
3．设),(),,(2211y x B y x A 是函数x x x f -+=1log 21)(2图象上任意两点，且)(2
1OB OA OM +=，已知点M 的横坐标为21，且有)1
(
)2()1(n
n f n f n f S n -+++= ，其中*N n ∈且n≥2， （1） 求点M 的纵坐标值；
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（2） 求2s ，3s ，4s 及n S ；
（3）
其中*N n ∈，且n T 为数列}{n a 的前n 项和，若)1(1+≤+n n S T λ对一切*N n ∈都成立，试求λ的最小正整数值．
【答案】（1）M
（3）λ的最小正整数为1． 【解析】试题分析：（1 又M 的横坐标为1，A
),(11y x ，B ),(22y x 即
M （
2。