辽宁省开原高中09-10学年高二下学期第三次月考(数学理)

2009—2010学年度下学期开原高中高二第三次月考考试
数学试题
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1. 复数，在复平面内所对应的点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 经过对的统计量的研究，得到了若干个临界值，当时，我们认为事件A与B（）
A.有95%的把握认为A与B有关系
B.有99%的把握认为A与B有关系
C.没有充分理由认为A与B有关系
D.不能确定
3.
A．－0.2 B．0.1 C．0.2 D．－0.4
4.若点P在曲线上移动，求经过P的切线的倾斜角的取值范围（）
A. B. C. D.
5.在的展开式中，含的项的系数是（）
A.－15
B.85
C.－120
D.15
6.已知X～B(n, p)，且E(X)=7,D(X)=6,则p=( )
A. B. C. D.
7.由曲线和直线x=1围成图形的面积是（）
A.3
B.
C.
D.
8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为则下列命题不正确的是（）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10分
9.两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图
学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试
的人数为（）
A. 19
B. 20
C. 21
D.22 10.，n n n x a x a x a a x x +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅++++
22102)1()x 1()1( ( ).
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
11．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（ ）.
A. B. C. D. 12．内有任意三点不共线的2009个点.把这2009个点和三角形的三个顶点连线组成互不重叠的小三角形，则一共可组成( )个小三角形.
A.4016
B.4017
C.4018
D.4019 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.某单位为了了解用电量y 度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为时，用电量的度数约为________. 14．直线（为参数）上到点A （）的距离为，且在点A 上方的点的坐标是 _______.
15.用4种不同的颜色涂入图中编号为1、2、3、4的正方形，要求每个正方形只
16．从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法。

在这
种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是含有一个黑球，共有，即有等式：成立.试根据上述思想化简下列式子：
.
三、解答题（本题共6题，共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本题满分10分）已知圆和圆的极坐标方程分别为，．
（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
18.（本题满分12分）2010年上海世博会举办时间为2010年5月1日--10月31日．此次世博会福建馆招募了60名志愿者，某高校有13人入选，其中5人为中英文讲解员，8人为迎宾礼仪，它们来自该校的5所学院（这5所学院编号为1、2、3、4、5号），人员分布如图所示．若从这13名入选者中随机抽出3人．
（Ⅰ）求这3人所在学院的编号正好成等比数列
的概率；
（Ⅱ）求这3人中中英文讲解员人数的分布列
及数学期望．
19.（本题满分12分）已知函数图像上的点处的切线方程为.
（1）若函数在时有极值，求的表达式；
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
20．（本题满分12分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没
有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3 ξx+1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
21.（本题满分12分）已知数列，其中，且.
（1）求
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列为等差数列，其中且c为不等于零的常数，若
.求.
22．（本小题满分12分）
已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令．
（1）求g(x)的表达式；
（2）若使成立，求实数m的取值范围；
（3）设，，
证明：对，恒有
2009—2010学年度下学期开原高中高二第三次月考考试
数学试题参考答案
1B 2C 3A 4B 5A 6A 7C 8B 9B 10C 11D 12D
13. 68 14. (-2,3) 15. 84 16.
17.解:（1），所以；因为，
所以，所以．
（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．
化为极坐标方程为，即．
（Ⅱ）设这3人中中英文讲解员的人数为，则=0，1，2，3
P（=0）=，P（=1）=，
P（=2）=，P（=3）=
的分布列为
19、，
函数在处的切线斜率为-3，所以，即，
又得。

（1）函数在时有极值，所以，
解得，所以。

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，
则
得，所以实数的取值范围为。

20.解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（=1）=1－0.24=0.76.
所以的分布列为
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一因为
所以函数上单调递增，
要使上单调递增，当且仅当
从而
解法二：的可能取值为1，3.
当=1时，函数上单调递增，
当=3时，函数上不单调递增，
所以
21. (1)
(2)猜想
证明：（1）当n=1时，结论成立.
(2)假设n=k时，结论正确，即.
则当n=k+1时，有，
所以（k-1）=(k+1) (k+1)
=(k+1) k (2k-1)-(k-1)
=(k+1)()
=(k+1)(2k+1)(k-1) (k-1) 所以=（k+1）[2(k+1)-1].
即当n=k+1时，结论成立。

由（1）（2）可知
（3）证明：因为为等差数列，所以2，所以=
因为所以c=
所以=2n, =n(n+1)
所以=
=
=1
22.【解】（1）设，于是
所以
又，则．所以.
（2）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对，恒成立；
当m<0时，由，列表：
所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.
故使成立，实数m的取值范围．
（3）因为对，所以在内单调递减.
于是
记，
则
所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立。