最新版精选2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题测试题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题
专题（含答案）
学校：__________ 考号：__________
一、填空题
1．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .
2．设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
3．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为 ▲
4．已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面
积为
124
+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.
5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C
相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．
解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝5
5＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.
6． 已知直线l 的方程为2x =-，圆2
2
:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .
二、解答题
7．若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离
为1，椭圆的离心率为4
5
，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。

（1）求椭圆的方程；（2）若2PA PF =，求PO 的最小值；（3）在（2）的条件下，若点
P 在椭圆内，求12PF PF 的范围。

8．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜
2
π
＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，
4
π
］上变化时，求S 的最小值u ；
(Ⅲ）如果μ>mn ，求n
m
的取值范围. （1995上海，24）
93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=1tan 22
22n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜
2
π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝
θ
θ
2
2222tan tan 4m n n m +． （Ⅱ）S ＝
θθ
tan tan 422
2
2m n n m +．
（1）当m >n ，即m
n
＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22
m n 时等号
成立，所以mn mn
n m m n n m S 224tan tan 42222
2
2=≤+=
θθ
．
由于0＜θ≤
4
π，0＜tan θ≤1，
故tan θ＝
m
n
得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即
m n
>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4
π， 由于)tan tan ()tan tan (1
212
2222
θθθθn m n m +-+
2
12
21212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．
因为0＜tan θ
1＜tan θ2≤1，m
2
tan θ1tan θ
2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2
tan θ2＋
22tan θn ）－（m 2tan θ1＋1
2tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθ
tan tan 4222
2m n n
m +是
θ的增函数，故取θ
＝4π，即tan θ＝1得u ＝2
22
24n
m n m +． 所以u ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧<<+<<)0(
4)0( 22222n m n m n m m n mn
（Ⅲ）（1）当
n
m
>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当
n m <1时，2
24n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m
）+1<0， 所以3232+<<
-
n m ，又由n
m
<1， 得132<<
-n
m . 综上，当u >mn 时，
n
m
的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.
9．已知圆O :22
2x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,
的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线
PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,
请说明理由． (5分)
10．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且
OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .
(1）求证：221b a -=；
(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；
(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．
11．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+
上，半径为C 经过坐
标原点O ，椭圆()22
2109
x y a a +
=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

(ⅰ）求圆C 的方程；
(ⅱ）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标。

12．已知圆1F ：16)1(2
2=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

(1）求点M 的轨迹C 的方程；
(2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于B A ,两点，
且1ABF ∆的面积为2
3
，求直线l 的方程。

13．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点
(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．
14．已知椭圆1:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为1C 上任一
点,MN 是圆2:C 2
2
(3)1x y +
-=的一条直径.若与AF 平行且在y 轴上的截距为3的直线l 恰好与圆2C 相切. (Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；(7分)
(Ⅱ）若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的方程.(8分)
15． 已知椭圆x 2+22
b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过
F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；
(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．
16．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且·=0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；
(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什
么位置关系？证明你的结论.
17．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.
(Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；
(Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（2002北京，21）
18．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别
为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为
3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．
(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N
的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围． 4．
x
19．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2
:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .
(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2
AF
AM AN =⋅,求圆C 的半径.
20．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A ，0）三点，其中c ＞0．
（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；
（2）已知椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，
⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；
②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．已知抛物线:C 2
2(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴
上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为
3
π
的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==．
（Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；
（Ⅲ）过l 上的动点Q 向
M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该
定点的坐标．
22．已知,A B
分别是直线y x =
和y x =上的两个动点，线段AB
的长为AB 的中点，点P 的轨迹为.C
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

23．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

(2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。

24．已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．
第17题
（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；
（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．
25．设A 为椭圆22
1259
x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及
最小值．
26．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2
＋y 2
=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；
（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）
27．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：122
2
=-y x ．
（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12
2
=+y x 相切，求证：
OQ OP ⊥；
（3）设椭圆2C ：142
2
=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）
28．. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422
2
=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
(1)求椭圆G 的方程 ； (2)求21F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请说明理由.
29．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22
(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 30．设分别21,F F 是椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点； (1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程；
(2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；
(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值．
3．。