九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形 新人教版

3
3 AD AD
∵sinC＝5，AC＝5，∴sinC＝5＝AC＝ 5 ，
∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，
1
1
21
则△ABC 的面积是2·AD·BC＝2×3×(3＋4)＝ 2 .
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6.如图 K－19－4，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，若 BD
是△ABC 的角平分线，BD＝8，则△ABC 的三边长分别是( D )
＝8，则 BC 的长是( D )
A.4 3 3
B．4
C．8 3
D．4 3
[解析] D ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
BC
BC
AB＝8，cosB＝AB，即 cos30°＝ 8 ，
∴BC＝8× 23＝4 3.
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图K－19－2
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为链接听课例1归纳总结( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵cosA＝bc，∴c＝cobsA＝cos1600°＝110＝20，
2 ∴a＝ c2－b2＝ 202－102＝10 3. (2)c＝ a2＋b2＝ （2 5）2＋（2 15）2＝4 5.
a2 5 3 ∵tanA＝b＝2 15＝ 3 ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
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[解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD.
3
AC 3
∵tan∠ACD＝4，∴tanB＝BC＝4.
设 AC＝3x，BC＝4x.
∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝1，
∴AC＝3，BC＝4.
1
1
AC·BC 12
在 Rt△BCD 中，CD＝ 3，∠B＝45°， ∴BD＝CD＝ 3，
图K－19－7
∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3.
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10．如图 K－19－8，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足
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3
12
为 D，tan∠ACD＝4，AB＝5，那么 CD 的长是____5____．
图K－19－8
图K－19－6
17.故答案为 17.
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9．如图 K－19－7，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则 AB 的长为__3_＋___3__．
[解析] 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
在 Rt△ACD 中，AC＝2 3，∠A＝30°，
∴CD＝AC·sinA＝ 3，AD＝ AC2－CD2＝3.
解：(1)证明：∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°. 在 Rt△ADE 中，∠DAE＝30°，AE＝4， ∴∠DEA＝60°，DE＝12AE＝2. 又∵EC＝2，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C. 又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°， ∴∠C＝30°＝∠DAE，∴AD＝CD.
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(2)如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，
3≈1.7， 5≈2.2)．
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图K－19－11
解：(1)过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图①所示． 在 Rt△ADC 中，AC＝4.
1 ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝2AC＝2，
CD＝AC·cos30°＝4× 23＝2 3.
在 Rt△ABD 中，tanB＝ABDD＝B2D＝18，∴BD＝16，
第二十八章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形
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第二十八章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形
课堂达标 素养提升
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课堂达标
一、 选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2
＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )
A．csinA＝a
B．bcosB＝c
C．atanA＝b
D．ctanB＝b
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1 2．如图 K－19－1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝2， 则 BC 的长是( A ) A．2 B．3 C．4 D．8
图K－19－1
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3．如图 K－19－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB
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2
3
5．如图 K－19－3，在△ABC 中，cosB＝ 2 ，sinC＝5，AC＝5，
则△ABC 的面积是( A )
21 A. 2
B．12
C．14
D．21
图K－19－3
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[解析] A 如图，过点 A 作 AD⊥BC，
∵在△ABC 中，cosB＝ 22，∴∠B＝45°，BD＝AD.
述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？
如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对
的边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于
点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝
bcosA，∴BD＝c－bcosA.
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图K－19－12
在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 CD2＋BD2＝BC2， 即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，整理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可得 b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. (注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程 同上) 利用上述结论解答下列问题： (1)在△ABC 中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求 a 的长和∠C 的 度数； (2)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°，c＞a＞b，求 c 的长．
∴BC＝BD－CD＝16－2 3.
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(2)在 BC 边上取一点 M，使得 CM＝AC，连接 AM，如图②所示．
∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
AD
2
1
1
tan15°＝tan∠AMD＝MD＝4＋2 3＝2＋ 3≈2＋1.7≈0.3.
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阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描
解得 a＝2.
∵22＋22＝(2 2)2，即 a2＋c2＝b2，∴△ABC 为直角三角形．
又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝
3，b＝
2 2，cosB＝cos45°＝ 2 ，
∴c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6± 2
2.
∵c＞a＞b，∴c＝
6＋ 2
2.
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2 ∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°精选，ppt∴sin∠ADC＝ 2 .
13．如图K－19－10，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝ 30°，过点D作DE⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2. (1)求证：AD＝CD； (2)若tanB＝3，求线段AB的长．
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图K－19－10
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12．如图 K－19－9，AD 是△ABC 的中线，tanB＝13，cosC＝ 22，AC
＝ 2.
求：(1)BC 的长；
(2)sin∠ADC 的值．
图K－19－9
[解析] (1)过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，根据 cosC＝ 22，求出∠C＝45°，
1 求出 AE＝CE＝1，根据 tanB＝3，求出 BE 的长；
则∠AFC＝∠AFB＝90°.∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝6.
在 Rt△AFC 中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，∴AF＝12AC＝3.
AF 在 Rt△AFB 中，∠AFB＝90°，tanB＝3，∴BF＝tanB＝1，
∴AB＝ AF2＋BF2＝ 10.
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14．如图 K－19－11，在△ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝18. (1)求 BC 的长； (2)利用此图形求 tan15°的值(精确到 0.1，参考数据： 2≈1.4，
(2)根据 AD 是△ABC 的中线，求出 BD 的长，得到 DE 的长，进而求得 sin
∠ADC 的值．
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解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵cosC＝ 22，∴∠C＝45°. 在 Rt△ACE 中，CE＝AC·cosC＝ 2× 22＝1，∴AE＝CE＝1.
1 AE 1 在 Rt△ABE 中，tanB＝3，即BE＝3， ∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4. (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝BD＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
于弦 AD，OC＝5，则 AD 的长为( B )
6
8
A.5
B.5
7 C. 5
23 D. 5
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图K－19－5
[解析] B 如图，连接 BD.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cosA＝cos∠BOC.
∵BC 切⊙O 于点 B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC＝OOBC＝52，∴cosA＝cos∠BOC＝25.
A．6，6 3，12 B．2 3，6，4 3
C．4，4 3，8
D．4 3，12，8 3
[解析] D ∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝30°. 解Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC的三边长．
图K－19－4
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7．如图 K－19－5，⊙O 的直径 AB＝4，BC 切⊙O 于点 B，OC 平行
∵S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC，∴CD＝ AB ＝ 5 .
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三、解答题
11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，根据下列条件解直角三角形． (1)b＝10，∠A＝60°； (2)a＝2 5，b＝2 15.链接听课例1、例3归纳总结
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AD
8
又∵cosA＝AB，AB＝4，∴AD＝5.故选 B.
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二、填空题
8．如图 K－19－6，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝
15 8 ，则 AB＝____1_7___．
[解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA
＝185，BC＝15，∴1A5C＝185，解得 AC＝8，根 据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 82＋152＝
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[解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据 勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得 到答案； (2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得 到答案．
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解：(1)在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 2)2＋22－2×2 2×2× 22＝4，