信息大学附属中学高三数学上学期入学试题新人教A版

2013-2014学年北京信息大学附属中学高三（上）入学数学试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
2．（4分）复数在复平面上对应的点位于（）
2
4．（4分）（2012•安徽模拟）函数的图象大致是（）
5．（4分）已知sina=，则cos（π﹣2a）=（）
﹣
6．（4分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为
8．（4分）若等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为（）
9．（4分）函数的图象为C，如下结论中不正确的是（）关于直线
关于点
）在区间内是增函数
的图角向右平移个单位长度可以得到图象
10．（4分）（2012•商丘二模）函数f（x）=x3﹣的零点所在区间为（）
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．（4分）（2011•西城区一模）阅读右侧程序框图，则输出的数据S为_________ ．
12．（4分）设x＞0，则函数的最小值是_________ ．
13．（4分）sin585°的值为_________ ．
14．（4分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为
_________ ．
15．（4分）（2010•东城区二模）已知向量=（1，1），•=3，，则||=
_________ ，||= _________ ．
16．（4分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_________ ．
三．解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2013•丰台区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．
18．（12分）（2009•朝阳区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
．
（Ⅰ）求cosA，sinB的值；
（Ⅱ）若，求a，b的值．
19．（12分）已知f（x）=ax﹣lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．B
4．C
5．B
6．D
7．A
8．B
9．D
10．C
11．31
12．4
13．﹣
14．120
15．
16．a＞4
解：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，如图所示：
等价于当x≥0时，方程2x﹣a=0有一个根，且x＜0时，方程x2+ax+a=0有两个根，即⇒a＞4．
故实数a的取值范围是a＞4．
故答案为：a＞4．
17．解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2cos2x
=1+sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）
故函数f（x）的最小正周期为T==π，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x﹣∈，
故sin（2x﹣）∈，所以sin（2x﹣）∈，
故函数f（x）在上的值域为：
18．解：（Ⅰ）因为，，
所以．
由已知得．
则=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据正弦定理，得．
又因为，所以a=2，．
19．解：（I）当a=2时，f（x）=2x﹣lnx，函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得：f′（x）=2﹣
∴f′（1）=1，f（1）=2
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2=x﹣1，即x﹣y+1=0；
（II）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=a﹣
∴a﹣1=0，∴a=1
∴f′（x）=1﹣
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1
∵x＞0，∴x＞1
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
（III）假设存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，
①当a≤0时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去）；
②当时，f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增
∴f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e3，满足条件；
③当时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），
综上所述，存在实数a=，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3．。