章末复习课2019(秋)数学 必修 第二册 人教A版(新教材)改题型

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3.两个非零向量平行、垂直的等价条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0， (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
4.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x12x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
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【训练 2】 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中
点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A.－58
B.18
C.14
D.181
解析 ∵B→C＝A→C－A→B，A→F＝A→D＋D→F＝12A→B＋32D→E＝12A→B＋34A→C，
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【例 5】 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3) n mile 的两个观测点.现 位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点 南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 n mile 的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度 为 30 n mile/h，该救援船到达 D 点需要多长时间？
所以 a＝ 3，c＝2 3.
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【训练 4】 已知在△ABC 中，角 A，B，C 的对应的边分别是 a，b，c，且 C＝2A，
a＋c＝10，cos A＝34，求 b 的值. 解 在△ABC 中，由正弦定理得，ac＝ssiinn CA＝ssiinn2AA＝2cos A＝32，∴3a＝2c. 又a＋c＝10，所以a＝4，c＝6. 由余弦定理的推论得，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝34， 代入数据化简得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5. 若 b＝4，而在△ABC 中，a＝4，∴△ABC 为等腰三角形，且 A＝B，又 C＝2A，且 A ＋B＋C＝180°，∴A＝B＝45°，C＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理得 c ＝4 2，这与已求出的 c＝6 相矛盾，故要舍去.经检验 b＝5 满足题意.
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要点五 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角 度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将 问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实 际问题进行检验.
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解 由题意知 AB＝5(3＋ 3) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB
中，由正弦定理得 sin
∠DBDAB＝sin
∠ABADB，
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2.两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一 组基底.
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要点四 利用余弦、正弦定理解三角形 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形. 2. 已 知 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 ， 这 个 三 角 形 解 的 情 况 是 不 确 定 的 . 如 已 知
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5.向量的投影 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝a|b·b| ，其中 θ 为 a 与 b 的夹角
6.向量的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a. (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
公式 ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
④ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
cos A＝b2＋2cb2c－a2； cos B＝a2＋2cc2a－b2； cos C＝a2＋2ba2b－c2
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要点一 平面向量的线性运算及应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一 个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两 个方面.
即
0＝ 3λ－
3×
23，
μ＝2 则
3 3，所以
3×12μ， λ＝ 33，
λ＋μ＝
3.
答案 A
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【训练3】 在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的 外心，证明：EF⊥CD. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，
相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 【例 3】 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120°，点 C
在A︵B上，且∠COB＝30°，若O→C＝λO→A＋μO→B，则 λ＋μ 等于
()
A. 3
3 B. 3
43 C. 3
D.2 3
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【例 1】 若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且C→D＝4D→B＝rA→B＋sA→C，
则 3r＋s 的值为( )
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A. 5
B. 5
8
4
C.5
D.5
解析 因为C→D＝4D→B＝rA→B＋sA→C，
所以C→D＝45C→B＝45(A→B－A→C)＝rA→B＋sA→C，
所以 r＝45，s＝－45，所以 3r＋s＝152－45＝85.
△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情 况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
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【例 4】 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 (1)由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理sina A＝sinb B，得 sin B＝ 3cos B， 所以 tan B＝ 3，又 0<B<π，所以 B＝π3. (2)由 sin C＝2sin A 及sina A＝sinc C，得 c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝a2＋c2－ac.
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(2)a·b＝k24＋k 1＝14k＋1k. 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝14k＋1k在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单 调递增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
且A→C＝A→B＋A→D，所以λ12－λ＋μ＝ μ＝1， 1，得μλ＝＝4313，， 所以 λ＋μ＝53，故选 B. 答案 B
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要点二 向量的数量积 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
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7.正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝c2＋a2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C；
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
变形 ②sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR；
答案 C
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【训练 1】 如图所示，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若A→C＝λA→M＋
μB→D，则 λ＋μ 等于( )
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A.3
B.3
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C. 8
D.2
解析 因为A→C＝λA→M＋μB→D，＝λ(A→B＋B→M)＋μ(B→A＋A→D)
＝λA→B＋12A→D＋μ(－A→B＋A→D)＝(λ－μ)A→B＋2λ＋μA→D，
解析 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所
在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则 O(0，0)，A(0， 3)，C( 3，0)，B( 3cos 30°，－ 3sin 30°)，
因为O→C＝λO→A＋μO→B，
所以(
3，0)＝λ(0，
3)＋μ
3× 23，－
3×12，
3＝μ×
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【例 2】 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ 3|a－kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 解 (1)由|ka＋b|＝ 3|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝2k82＋k 2＝k24＋k 1(k>0).
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[核心归纳] 1.五种常见的向量
(1)单位向量：模为1的向量. (2)零向量：模为0的向量. (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量. (4)相等向量：模相等，方向相同的向量. (5)相反向量：模相等，方向相反的向量.
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(2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图 形，这是研究平面向量的重要方法与技巧. ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如A→B＋B→C＝A→C；共起点两个向量作差用减法 的几何意义，如O→B－O→A＝A→B.
∴B→C·A→F＝(A→C－A→B)·12A→B＋34A→C＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B ＝34×1×1－12×1×1－14×1×1×cos 60°＝18.
答案 B
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要点三 平面向量在几何中的应用
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行
则 D－a2，b2，C→D＝－32a，b2. 易知△ABC 的外心 F 在 y 轴上，可设为(0，y). 由|A→F|＝|C→F|，得(y－b)2＝(－a)2＋y2，
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所以 y＝b22－ba2，即 F0，b22－ba2.
由重心坐标公式，得 Ea6，b2， 所以E→F＝－a6，－2ab2 . 所以C→D·E→F＝－32a×－a6＋b2×－2ab2 ＝0， 所以C→D⊥E→F，即 EF⊥CD.