专题3.1第一次月考阶段性测试卷

2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题3.1第一次月考阶段性测试卷
（10月培优卷，范围：九上人教第21-22章）
班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•宝山区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x―
1
x1
=0B．7x2+
1
x2
―1＝0
C．x2＝0D．（x+1）（x﹣2）＝x（x+1）
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、由已知方程变形，得2x+2＝0，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．2．（2023春•东至县期末）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x+4＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．（2023•阿瓦提县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
【答案】C
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，根据△的意义得到Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，
∴k的取值范围是k＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．（2022秋•邗江区期末）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣4，2）
【答案】D
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
5．（2023春•青山区校级月考）将抛物线y＝（x﹣2）2﹣4向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝（x﹣3）2﹣7，则a、b的值是（ ）
A．1，﹣3B．1，2C．1，3D．﹣2，﹣3
【答案】A
【分析】直接根据二次函数图象的平移判断即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣7＝（x﹣2﹣1）2﹣4﹣3，
∴将抛物线y＝（x﹣2）2﹣4向右平移1个单位，再向上平移﹣3个单位得到解析式y＝（x﹣3）2﹣7，∴a＝1，b＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k （a，b，c为常数，a≠0），“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
6．（2023•柘城县模拟）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的开口向下，对称轴是直线x=―
b
2a
=3，
∴当x＞3时，y随x的增大而减小，P1（1，y1）关于称轴是直线x＝3的对称点是（5，y1），
∵3＜4＜5，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．（2021秋•三水区期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【答案】D
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）
cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2023•庐江县一模）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣4B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝﹣1，x2＝4D．x1＝2，x2＝3
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．
【解答】解：依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝﹣4．
则c＝1×（﹣4）＝﹣4，
则原方程为x2﹣3x﹣4＝0，
整理，得
（x+1）（x﹣4）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．此题解得c的值是解题的关键．
9．（2023•东湖区校级二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx﹣n的图象和二次函数y＝mx2+nx 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对称轴x=―
b
2a
，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向
逐个判断即可．
【解答】解：A，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x=―
n
2m＜
0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x=―
n
2m＜0，图象没过原
点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＜0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x=―
n
2m＞0，与图象不符，
不符合题意；
D，结合图象y＝mx﹣n中，m＜0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x=―
n
2m＞0与图象符合，
符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
10．（2023•吉安县校级模拟）关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣1（a为常数且a≠0），下列说法正确的是（ ）A．函数图象的对称轴为直线x＝1
B．函数图象必经过点（﹣2，1）和（0，﹣1）
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．当﹣1＜a＜0时，函数图象与x轴无交点
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否符合题意，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a≠0，a为常数），
∴该函数的对称轴为直线x＝1，故选项A不符合题意；
∵当x＝﹣2时，y＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
∴函数图象必经过点（﹣2，﹣1）和（0，﹣1），故选项B不符合题意；
∵a的正负不确定，∴当x＞﹣1时，y随x的增大如何变化无法确定，故选项C不符合题意；
∵当﹣1＜a＜0时，该函数图象开口向下，Δ＝（2a）2+4a×1＝4a（a+1）＜0，
∴当﹣1＜a＜0时，函数图象与x轴无交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
11．（2023春•周村区期末）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为2，则另一个根为　﹣5　．【答案】﹣5．
【分析】设方程的另一根为x，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x，
根据题意，得：2+x＝﹣3，
解得：x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关
系为：x1+x2=―b
a
，x1•x2=
c
a．
12．（2022秋•宝山区期末）若关于x的方程（a﹣2）x|4﹣a|+7x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为　6　．
【答案】6．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；先找出2次项的系数，再根据一元二次方程的定义，列出满足a的不等式，解不等式求出a的取值．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x|4﹣a|+7x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|4﹣a|＝2且a﹣2≠0．
解得a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查根据一元二次方程的定义求字母的范围，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
13．（2022秋•静安区校级期末）抛物线y＝（x﹣1）2+3与y轴的交点坐标是　（0，4）　．【答案】（0，4）
【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．
【解答】解：令x＝0，得y＝4，
故与y轴的交点坐标是：（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题较容易．
14．（2023春•崇左月考）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是　5　．
【答案】5．
【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．
【解答】解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0，
可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解），
∴x2﹣x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
15．（2023•文峰区开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则
a的值为　―1
2
或4　．
【答案】―1
2
或4．
【分析】分情况讨论对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质即可得到在﹣1≤x≤4中，根据最大值最小值进行计算即可．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a（a＜0）的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
a＜0时，
∴函数有最大值﹣a，
∴在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a=―1 2；
a＞0时，
∴函数有最小值﹣a，
∴在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，
∴﹣a ＝﹣4，
解得a ＝4；
故答案为：―12
或4．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
16．（2022秋•荔湾区期末）将二次函数y ＝﹣x 2+2x +3的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y ＝x +b 与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为 ―214
或﹣3　．
【答案】―214
或﹣3．【分析】分两种情形：如图，当直线y ＝x +b 过点B 时，直线y ＝x +b 与该新图象恰好有三个公共点，当直线y ＝x +b 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣4（﹣1≤x ≤3）只有1个交点时，直线y ＝x +b 与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，
∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的顶点坐标为（1，4），
当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，
解得：x 1=―12
，x 2＝3，则抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （3，0），
把抛物线y ＝﹣x 2+2x +3图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣4（﹣1≤x ≤3），顶点坐标M （1，﹣4），
如图，当直线y ＝x +b 过点B 时，直线y ＝x +b 与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b ＝0，
解得：b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，
整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，
解得：b=―21 4
，
所以b的值为：﹣3或―21 4
，
故答案为：―21
4
或﹣3．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋•中牟县校级月考）按要求解一元二次方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）（因式分解法）；
（3）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）．
【答案】（1）x1=x2=
（2）x1=―2
5
，x2=
6
7
；
（3）x1=x2
【分析】（1）移项后方程两边都除以4，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【解答】解：（1）4x2﹣8x+1＝0，
移项，得4x2﹣8x＝﹣1，
即x2﹣2x=―1 4，
配方得，x2﹣2x+1=―1
4
+1，
（x﹣1）2=3 4，
开方，得x﹣1
解得：x1=x2=
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2），
移项，得7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，（5x+2）（7x﹣6）＝0，
5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得：x1=―2
5
，x2=
6
7
；
（3）3x2+5（2x+1）＝0，
整理得，3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝100﹣60＝40＞0，
∴x=
∴x1x2=
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．（2023春•海淀区校级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…
y…0﹣3﹣4﹣30…
（1）这个二次函数的解析式是　y＝x2+2x﹣3　；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为　﹣4＜y＜5　．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）见解析；（3）﹣4＜y＜5．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣0时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4＜y＜5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
19．（2023•武进区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）k＝0．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+9＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，由x1﹣x2＝﹣2k+3知（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k+8
＝4k2+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣2k+3，
∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，
∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，
解得k＝0．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
20．（2023春•张店区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；
（2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%
（2）设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键．21．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，当x＝﹣2，5时，即可求得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a=―1 5，
∴y=―1
5
x2+3.5．
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．22．（2023春•大名县月考）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0）．（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）x=1 2；
（2）(1
2
，―
9
4
)．
【分析】（1）把二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）转化为顶点式即可得出对称轴；
（2）设点（﹣1，y1），（3，y2）是二次函数图象上的点，然后根据二次函数图象的开口向上，对称轴为
x=1
2
得点（﹣1，y1）到对称轴的距离小于（3，y2）到对称轴的距离，据此可得出当x＝3时，y2＝4，
据此可求出a的值，进而可得顶点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，
即：y=(x―1
2
)2―a2―a―
1
4
，
∴该二次函数的对称轴为x=1 2；
（2）设点（﹣1，y1），（3，y2）是二次函数图象上的点，
∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）图象的开口向上，对称轴为x=1 2，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离小于（3，y2）到对称轴的距离，∴y1＜y2，
∵当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，
∴当x＝3时，y2＝4，
∴9﹣3﹣a2﹣a＝4，
整理得：a2+a﹣2＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣2，
∵a＞0，
∴a＝1，
当a＝1时，y=(x―1
2
)2―a2―a―
1
4
=(x―
1
2
)2―
9
4
，
∴该函数的顶点坐标为(1
2
，―
9
4
)．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解当二次函数的开口向上时，二次函数图象上的点距离对称轴越远函数的值越大．
23．（2023•洪山区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P在抛物线上，a＝1，且S
△POC ＝4S
△BOC
，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由二次函数的对称性可知，点B、C到对称轴的距离相等可求得B点的坐标；
（2）由条件可先求得抛物线的解析式，再求得△BOC的面积，结合条件可求得P点到y轴的距离，即P 点的横坐标，代入可求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），
∴B点坐标为（1，0）；
（2）由条件其对称轴为x＝﹣1，即―
b
2a
=―1，
当a＝1时，代入可求得b＝2，
∴抛物线为y＝x2+2x+c，
又∵过B（1，0），代入可求得c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，且OB＝1，
∴S
△BOC =
1
2
OB•OC=
1
2
×3×1=
3
2
，
∴S
△POC ＝4S
△BOC
＝6，
设P到y轴的距离为h，则S
△POC =
1
2
OC•h=
3
2
h＝6，解得h＝4，
∴P点的横坐标为4或﹣4，
当x＝4时，代入抛物线解析式可求得y＝21，
当x＝﹣4时，代入抛物线解析式可求得y＝5，
∴P点坐标为（4，21）或（﹣4，5）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及与坐标轴的交点，利用二次函数的对称性求得B 点的坐标、求得二次函数的解析式是解题的关键．。