新初中数学图形的相似真题汇编及答案解析(1)

新初中数学图形的相似真题汇编及答案解析(1)
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【解析】
试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选D
考点：位似变换
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）
A．1 B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）
A ．（8，6）
B ．（9，6）
C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，
∴EF ＝BE ＝6，
∵BC ∥EF ，
∴△OBC ∽△OEF ，
∴136
BO BO =+， 解得：OB ＝3，
∴EO ＝9，
∴F 点坐标为：（9，6），
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．
4．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922
A DE A EF S S '∆'∆=
=，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭
，据此求解可得． 【详解】
16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，
1922A DE A EF S S ∆∆''∴=
=，182
ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，
//A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆， 则2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭
'， 解得3A D '=或37
A D '=-
（舍）， 故选：B ．
【点睛】
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】
∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）
A．1 B．5
4
C．1或 3 D．
5
4
或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段
成比例可得
1
2
BD BE DE
AB BC AC
===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=225
AC BC
+=
∵点D是AB的中点，
∴BD=1
2
BA=
5
2
∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC
∴
1
2 BD BE DE
AB BC AC
===
∴BE=EC=1
2
BC=2，DE=
1
2
AC=
3
2
∵折叠
∴B1D=BD=5
2
，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=5 4
如图，若点B1在BC右侧，
∵B1E=DE+B1D=3
2
+
5
2
，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP 2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
7．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．11
【答案】B
【解析】
【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，
∴△FEH ∽△EBA ，
∴ ,HF HE EF AE AB BE
== G Q 为BE 的中点，
1,2
FE GE BE ∴== ∴ 1,2
HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==
∴HF 1,4,2
x EH =
= ,DH AE x ∴==
CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+- 11111(8)8(4)4
22222x x x x =
++⨯--⨯• 2141644x x x x =
+--- 2116,4
x x =-+ ∴当12124
x -=-
=
⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．
【点睛】
本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．
8．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A 5
B 453
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=1
2
OA=2．
由勾股定理得：DE=5．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴BF OF CM AM
DE OE DE AE
==
，，即
x2x
22
55
-
==
，，解得：
()
52x
5
BF?x CM
2-
==
，．
∴BF+CM=5．
故选A．
9．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与
函数
1
y
x
=-、
2
y
x
=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）
A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a -），A 为（b ，2
b ），得到OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=
2为定值，即可解决问题． 【详解】
解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，
则△BEO ∽△OFA ，
∴BE OE OF AF
=， 设点B 为（a ，1a -
），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b
=， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b
+=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b
++==++=222214()24b b b b ++=2 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
10．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数
y=
6
x
（x
＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）
A．y=﹣6
x
B．y=﹣
4
x
C．y=﹣
2
x
D．y=
2
x
【答案】C 【解析】【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵BO
AO
=tan30°
3
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，
∵1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，
∴S△BCO=1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣2
x
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．
11．如图，Rt ABC V 中，90,60ABC C ∠=∠=o o ，边AB 在x 轴上，以O 为位似中心，作111A B C △与ABC V 位似，若()3,6C 的对应点()11,2C ，则1B 的坐标为（ ）
A ．()1,0
B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,0
D ．()2,1
【答案】A
【解析】
【分析】 如图，根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，由∠ABC=90°，可得B 1C 1⊥x 轴，根据C 1坐标即可得B 1坐标．
【详解】
如图，
∵111A B C △与ABC V 位似，位似中心为点O ，边AB 在x 轴上，
∴B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，
∵∠ABC=90°，
∴B 1C 1⊥x 轴，
∵C 1坐标为（1，2），
∴B 1坐标为（1，0）
故选：A ．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，位似图形的对应边互相平行，对应点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心．
12．已知的三边长分别为2，6，2，A B C '''∆的两边长分别是1和3，如果ABC ∆与A B C '''∆相似，那么A B C '''∆的第三边长应该是（ ）
A ．2
B ．22
C ．6
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．
【详解】
解：根据题意，易证ABC ∆∽△A B C '''，且相似比为：2:1， ∴△A B C '''的第三边长应该是
22
=． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁．
13．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A ．平移变换
B ．相似变换
C ．旋转变换
D ．对称变换
【答案】B
【解析】
【分析】
根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，∵EF∥AC，
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=，
∴
4
3
y x =；
当P在OD上时，有
6
43 DP EF y x DO AC
-
==
即，
∴y=
4
8 3
x
-+．
故选C．
15．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S∆FCG＝3，其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推
出
180
2
FGC
FCG
-∠
∠=
o
，由①可得
180
2
FGC
AGB
-∠
∠=
o
,从而判断③；过点F作
FM⊥CE，用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得△ECF和△EGC的面积，从而求出△FCG的面积，判断④．
【详解】
解：在正方形ABCD中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中，222
(6)4(2)x x -+=+
解得：x=3
∴BG ＝3，CG=6-3=3
∴BG ＝CG ，故②正确；
又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG ∥CF ，故③正确； 过点F 作FM ⊥CE ，
∴FM ∥CG
∴△EFM ∽△EGC
∴FM EF GC EG =即235
FM = 解得65FM =
∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=
⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误 正确的共3个
故选：C ．
【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
16．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x
=的图象
上，OA 交反比例函数
()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9
BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA =
∴13OB OA =，23
OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF
S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x
=的图象上
∴212
BOF S ==V ∴4COE S =V
∴42
k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
17．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵////a b c
∴AB DE BC EF = 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4
故答案为D ．
【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
18．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）
A ．55
B ．45
C ．35
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，
在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，
∴AC=55，
连接BE ，
∵BD 是圆的直径，
∴∠BED=90°=∠CBA ，
∵∠BAC=∠EDB ，
∴△ABC ∽△DEB ，
∴AB AC DE DB
＝ ， ∴5355DB
＝ ， ∴DB=35
在Rt△ABD中，AD=2225
BD AB
-=，
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．19．把Rt ABC
∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1
3
C．扩大为原来的9倍D．不变
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
20．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y
k
x
=(x＞0)上，OA＝2，AB
＝4，则k的值为（）
A．4 B．6 C．32
5
D．
42
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到
OB22
OA AB
=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到
CD
85
5
=，OD
45
5
=，求得C (
8545
55
，)于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，
∵OA＝2，AB＝4，
∴过C作CD⊥x轴于D，
∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴OB AB OA OC CD OD
==，
∴2542
CD OD
==，
∴CD
85
=，OD
45
=，
∴C(45
，
85
)，
∴k
32
5 =，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。