(新教材)2020-2021学年高一数学下学期期末备考金卷

（新教材）2020-2021学年下学期高一期末名师备
考卷数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足1i 3i ()2z -=-，则z 的虚部为（ ） A ．5
2
- B ．5i 2
-
C ．1
2
D ．
52
【答案】C
【解析】由已知232i (32i)(1i)33i 2i 2i 51i 1i (1i)(1i)222
z --++--====+--+，虚部为12，
故选C ．
2．已知向量(2,3)=a ，(1,)λ=-b ，若向量2-a b 与向量a 共线，则λ=（ ）
A ．32
-
B C D ．134
【答案】A
【解析】由题意得2(4,32)λ-=-a b ，
因为向量2-a b 与向量a 共线，所以432(32)λ⨯=⨯-，解得3
2
λ=-，
故选A ．
3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
6667403714640571110565099586687683203790
5716031163149084452175738805905223594310
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） A ．10
B ．09
C ．71
D ．20
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09， 所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B ．
4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A ．
320
B ．
310
C ．25
D ．
15
【答案】C
【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有35A 60=个三个位数，
若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成334A 24=，
所以这个三位数是3的倍数的概率为33354A 242
A 605
P ===，故选C ．
5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为（ ） A ．s ＝s 1 B ．s <s 1 C ．s >s 1 D ．不能确定
【答案】C
【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变， 即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ， 则
s =
1s =
若比较s 与1s 的大小，只需比较()()221523x x -+-与()()22
2018x x -+-的大小即可， 而()()2221523754762x x x x -+-=-+，()()22
22018724762x x x x -+-=-+， 所以()()221523x x -+->()()22
2018x x -+-，
从而1s s >，故选C ．
6．在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC △的内心， 且AO AB AM λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．712
B ．34
C ．56
D ．1
【答案】A
【解析】由题知，π2
A ∠=，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径
34
1345
OE OF ⨯==
=++，四边形AEOF 为矩形，
则1
143
AO AE AF AC AB =+=+， 又11
22
AM AB AC =
+， 则11
()2
2
34
AO AB AM AB AC AB AC μ
μ
λμλ=+=+
+
=
+， 则123
124
μλμ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，则1173412λ
μ+=+=，
故选A ．
7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被
熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（ ）
A ．2936
B ．551720
C ．2972
D ．29144
【答案】A
【解析】当开关合上时，电路畅通即表示A 至B 畅通且B 至C 畅通，
A 至
B 畅通的概率1
111511114236
P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， B 至C 畅通的概率21129
15630
P =-⨯=，
所以电路畅通的概率12
52929
63036
P PP =⨯==，故选A ． 8．如图，等边三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，ED AC ⊥于D ．将ADE △沿DE 翻折至
1A DE △的位置，连接1AC ．那么在翻折过程中：
①总有1DE AC ⊥成立；
②存在某个位置，使1A E BE ⊥；
③在线段1AC 上，存在异于两端点的M 点，使线段BM 的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．以上选项都不对
【答案】B
【解析】①∵ED AC ⊥，∴ED CD ⊥，1ED A D ⊥，
又1A D CD D =，∴DE ⊥平面1ACD ，∴1DE AC ⊥，故①正确； ②假设存在某个位置，使得1A E BE ⊥， 连接CE ，则CE BE ⊥，1A E CE E =， 故BE ⊥平面1ACE ，∴1BE AC ⊥，
又由（1）知1DE AC ⊥，BE DE E =，∴1AC ⊥平面BCDE ，∴1
AC CD ⊥， ∴1A D CD >，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误； ③存在点M ，满足12CM MA =，取AC 的中点N ，连接NB ， 易得BN AC ⊥，//BN DE ，
设底面三角形ABC 的边长为4，则BN =11A D AD ==，122
33
MN A D =
=， ∵DE ⊥平面1ACD ，故BN ⊥平面1ACD ，∴BN MN ⊥，故BMN △是直角三角形，
∴BM == 故选B ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是（ ） A ．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 【答案】ABD
【解析】因为10075%75⨯=为整数，
所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位9.3， 所以A 、B 不正确；C 正确；D 不正确， 故选ABD ．
10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ） A ．若23z z =，则23z z =± B ．若1213z z z z =，则23z z =
C ．若23z z =，则1213z z z z =
D ．若2
121z z z =，则12z z =
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如21i z =+，31i z =-，A 错误；
由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =， C 正确；
取11i z =+，21i z =-，显然满足2
121z z z =，但12z z ≠，D 错误， 故选BC ．
11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC △中，A B >，sin sin A B ∴>
B ．在锐角AB
C △中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △必是等腰直角三角形
D ．在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，则ABC △必是等边三角形 【答案】ABD
【解析】对于A ，由A B >，可得a b >，利用正弦定理可得sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC △中，,(0)2
π,A B ∈，
2πA B +>
，ππ
022A B ∴>>->， π
sin sin()cos 2A B B ∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；
对于C ，在ABC △中，由cos cos a A b B =，
利用正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，
,(0,π)A B ∈，22A B ∴=或22π2A B =-，
A B ∴=或2
πA B +=
， ABC ∴△是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误；
对于D ，由于60B =︒，2b ac =，
由余弦定理可得222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =， 可得60A C B ===︒，故正确， 故选ABD ．
12．若点O 是线段BC 外一点，点P 是平面上任意一点，且OP OB OC λμ=+(λ，μ∈R )， 则下列说法正确的有（ ）
A ．若1λμ+=且λ>0，则点P 在线段BC 的延长线上
B ．若1λμ+=且λ<0，则点P 在线段B
C 的延长线上 C ．若1λμ+>，则点P 在△OBC 外
D ．若1λμ+<，则点P 在△OBC 内
【答案】BC
【解析】因为(),OP OB OC λμλμ=+∈R ，
若1λμ+=且λ>0，则()()1OP OB OC OC OB OC λλλ=+-=+-， 故()OP OC OB OC λ-=-，即CP CB λ=，
又λ>0，则点P 在线段BC 或其反向延长线上，A 错误；
若1λμ+=且λ<0，同上可得CP CB λ=，而λ<0，则点P 在线段BC 的延长线上，B 正确； 若1λμ+>，()()11OP OB OC OC λλλμ=+-++-，同上可得()1CP CB OC λλμ=++-，
当1λμ+>时，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P 在△OBC 外，
C 正确；
若1λμ+<，不妨令λ=0，1μ=-，则OP OC =-，很显然此时点P 在线段CO 的延长线上， 不在△OBC 内，D 错误， 故选BC ．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数221y ax bx =-+在(],2-∞上为减函数的概率是_______． 【答案】
1
4
【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，
{}1,2,3,4,5,6b ∈，
又由函数221y ax bx =-+在(],2-∞上为减函数，则2b a
≥，即2a b ≤， 当a 取1时，b 可取2，3，4，5，6； 当a 取2时，b 可取4，5，6； 当a 取3时，b 可取6，共9种，
又因为(),a b 的取值共36种情况，
所以所求概率为91364=，故答案为14
． 14．已知复数z 满足1z =，则2i z -（其中i 是虚数单位）的最小值为________． 【答案】1
【解析】复数z 满足||1(i z =为虚数单位）， 设cos isin z θθ=+，[0,2π)θ∈，
则|2i ||cos i(sin 2)|1z θθ-=+-==≥， 当且仅当sin 1θ=时取等号， 故答案为1．
15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为__________． 【答案】88
【解析】剔除最高分和最低分后的222()()()92168480E x E x D x =+=+=，
22()8480(152)110240x E x n ∑=⨯=⨯-=，
则原始平均分()92139658
9015
E x ⨯++==，
原始222
2
9658()818815
x E x ∑++=
=， 原始方差222()()()81889088D x E X E X =-=-=原始原始， 即原始方差为88．
16．已知圆锥的底面积为2πcm ，则这个圆锥的侧面积为________ cm 2
，圆
锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________ cm 2
． 【答案】2π，
4π3
【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，
由题意可得2ππr =，可得1r =，
由勾股定理可得2l =， 所以圆锥的侧面积为ππ122πS rl ==⨯⨯=，
作圆锥的轴截面如图所示：AB 、AC 分别与圆O 相切于,M N 两点， 设圆O 半径为R ，连接,OM ON ，则90ANO AMO ∠=∠=︒， 过点A 作AD BC ⊥，则90ANO ADC ∠=∠=︒，DAC NAO ∠=∠， 所以ADC ANO △△，
所以NO AO DC AC =
，即1R =
R =，
所以圆锥的内切球半径为R =
，
所以圆锥的内切球的表面积为2
2
4π4π4π3S R ==⨯=⎝⎭
， 故答案为2π，4π
3
．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数112i z =-，234i z =+，i 为虚数单位．
（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若1
2
z z z =
，求z 的共轭复数．
【答案】（1）11(,)32
-；（2）12
i 55-+． 【解析】（1）由题意，复数112i z =-，234i z =+， 则1212i (34i)(13)(42)i z az a a a +=-++=++-，
因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，
所以130420a a +>⎧⎨-<⎩
，解得11
32a -<<， 即实数a 的取值范围11
(,)32
-．
（2）由()()()()1212i 34i 12i 510i 12
i 34i 34i 34i 2555
z z z -----=====--++-， 所以1
2i 55
z =-+．
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率直方图．
（1）求直方图中a 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的中位数． 【答案】（1）0.30；（2）36000；（3）2.04．
【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在[)0,0.5的频率为0.080.50.04⨯=．
同理，在[)0.5,1，[)1.5,2，[)2,2.5，[)3,3.5，[)3.5,4，[]4,4.5的频率分别为0.08，0.21，0.25，
0.06，0.04，0.02．
由()10.040.080.210.250.060.040.020.50.5a a -++++++=⨯+⨯，解得0.30a =．
（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12++=． 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
3000000.1236000⨯=．
（3）设中位数为x ，
因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>． 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<， 所以2 2.5x ≤<，
由()0.520.50.48x ⨯-=-，解得 2.04x =， 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04．
19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为1
2，恰有一人答
对的概率为5
12
．
（1）求p 和q 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率． 【答案】（1）34p =
，23q =；（2）5
12
． 【解析】（1）设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，
()P B q =． 设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则C AB =，D AB AB =+．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， 所以A 与B 相互独立，AB 与AB 相互互斥， 所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()P D P AB AB =+
()()()()()
()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =+=+=-+-．
由题意可得()()12
51112pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=
⎪⎩，
即12
1712pq p q ⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得3423p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
由于p q >，所以34p =，23
q =．
（2）设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2． 由题意得，()1133134444
8P A =⨯+⨯=，()2339
4416
P A =⨯=
， ()121124
33339
P B =⨯+⨯=，()2224339
P B =
⨯=． 设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+． 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，
所以()()()()()()()1221122134945
8916912
P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+
⨯=，
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为5
12
．
20．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为
AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．
（1）求证：1AB ∥平面BC 1D ； （2）求AB 1与BD 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2
． 【解析】（1）证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ． ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1． ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D ．
（2）解：由（1）可知，∠ODB 为AB 1与BD 所成的角或其补角， ∵AA 1＝AB ＝2
，∴1AB =
，OD = 在Rt △ABC 中，D 为AC
的中点，则2AC BD ==，
同理可得OB = 在△OBD 中，
22
2
222
cos 2OD BD OB
ODB OD BD
+-+-∠=
=
=⨯⨯，
∴AB 1与BD
21．（12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =
，sin sin A a B +=
（1）求角A 的大小；
（2）求△ABC 周长的取值范围．
【答案】（1）π3；（2
）+． 【解析】（1）∵
sin sin sin a b c
A B C
==，∴sin sin a B b A =，
∴sin sin sin sin 4sin A a B A b A A +=+==
sin A =， △ABC 为锐角三角形，于是π3
A =．
（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==
，可得2sin a B =，3sin sin C
c B
=，
2π3sin 3sin 32333sin sin B C
a c B B
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭++=+=
+，
∴周长13sin 21cos 9
3sin sin 2
B B B B
B ⎫++⎪+⎝⎭
=
+=
+
2
2cos 99
2
22
2sin cos 2tan 222
B
B B ==
+， 又∵△ABC 为锐角三角形，022π2ππ03B B ⎧
<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩
，
2π6πB ∴
<<，∴(,)2124
ππ
B ∈，
∴
tan (22
B ∈，∴1(1,2tan
2
B ∈+，
∴周长的取值范围为+⎝．
22．（12分）如图所示，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE 垂直底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点．
（1）求证：CE AF ⊥；
（2）在棱AC 上是否存在点P ，使得BP ∥平面AOF ？若存在，请找出点P 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点P 在棱AC 上靠近点A 的三等分点处． 【解析】（1）证明：连接BD ，
四边形BCDE 为菱形，CE BD ∴⊥，
O ，F
分别为BE ，DE 的中点，即OF BD ∥，
∴CE OF ⊥，
面ABE 为等边三角形，且O 为BE 的中点，AO BE ∴⊥，
又面ABE ⊥面BCDE ，AO ⊂面ABE ， 面ABE 面BCDE
BE ，AO ∴⊥面BCDE ，
又CE ⊂面BCDE ，AO CE ∴⊥，
又AO OF O =，,AO OF ⊂面AOF ，CE ∴⊥面AOF ， 又AF ⊂面AOF ，CE AF ∴⊥．
（2）解：设BD 交CE 于M ，OF 交CE 于N ， 则M 为CE 的中点，N 为EM 的中点，
在ACE △中，过点M 作MP AN ∥交AC 于点P ，则点P 即为所求． 理由如下：
O ，F
分别为BE ，DE 的中点，
ON BM
∴∥，ON ⊄面PBM ，BM ⊂面PBM ，
//ON ∴面PBM
，同理//AN 面PBM ，
ON
AN N =，ON ､AN ⊂面AON ，
∴面PBM ∥面AON ，即面PBM ∥面AOF ，
BP ⊂面PBM
，BP ∴∥面AOF ．
MP AN ∥，1
3
AP NM AC NC ∴
==， 故点P 在棱AC 上靠近点A 的三等分点处．。