2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷
试题数：21，总分：0
1.（填空题，3分）若cosα=- √3
2
，则cos2α=___ ．
2.（填空题，3分）已知sinα= 1
3，α∈（π
2
，π），则cosα=___ ．
3.（填空题，3分）已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为1
2
，则前4项的和为___ ．
4.（填空题，3分）若tanα=3，则sin2α=___ ．
5.（填空题，3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．
6.（填空题，3分）已知扇形的圆心角为2π
3
，半径为5，则扇形的面积S=___ ．
7.（填空题，3分）在数列{a n}中，a2=5，a n+1-a n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n=___ ．
8.（填空题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=
√1 4[a2c2−(a2+c2−b2
2
)
2
]，若c2sinA=4sinC，B= π
3
，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为
___ ．
9.（填空题，3分）函数y=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
3
个单位后与函数f（x）的图象重
合，则下列结论中正确的是___ ．
① f（x）的一个周期为-2π；
② f（x）的图象关于x=- 7π
12
对称；
③ x= 7π
6
是f（x）的一个零点；
④ f（x）在(−π
12，5π
12
)单调递减．
10.（填空题，3分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．
11.（填空题，3分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b- √3 a）=1，c=1，则√3 a-b的取值范围为___ ．
12.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=4，a n=2a n-1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2-n-3＜（5-λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是___ ．
13.（单选题，3分）函数y=2sin πx
6
，x∈R的最小正周期为（）
A.12
B.6
C. π
12
D. π
6
14.（单选题，3分）已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）
A.2kπ与kπ
B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+ π
6与2kπ± π
6
D. kπ
2与kπ± π
2
15.（单选题，3分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）
A.（11
6，17
6
）
B.[ 11
6，17
6
）
C.（5
3，8
3
）
D.[ 5
3，8
3
）
16.（单选题，3分）有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）
A.5979
B.5980
C.5981
D.以上都不对
17.（问答题，0分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2-
b2=ac．
（1）求B；
（2）若a+c=6，三角形的面积S△ABC=2 √3，求b．
18.（问答题，0分）已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n=
3 2n2+1
2
n，b1=2，b2+b3= 3
2
．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
，现要在其中圈19.（问答题，0分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON= π
2
̂上，且线段AB平行于线段出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN
MN．
̂的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（1）若点A为弧MN
̂上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
（2）设∠AOB=θ，求A在MN
20.（问答题，0分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg
（a n）}是公差为lgq的等差数列．
（1）求数列{S n}的通项公式；
}是递增数列；
（2）求证：数列{S n
S n+1
（3）是否存在正常数c，使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q的取值范围；若不存在，说明理由．
21.（问答题，0分）数列{a n}满足a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1=1，
）的形式表示．
a2=2，若a n=Asin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜π
2
（1）求a3的值；
（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21，总分：0
1.（填空题，3分）若cosα=- √3
2
，则cos2α=___ ．
【正确答案】：[1] 1
2
【解析】：由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．
【解答】：解：∵cosα=- √3
2
，
∴cos2α=2cos2α-1=2× (−√3
2)
2
-1= 1
2
．
故答案为：1
2
．
【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
2.（填空题，3分）已知sinα= 1
3，α∈（π
2
，π），则cosα=___ ．
【正确答案】：[1]- 2√2
3
【解析】：由sinα的值，及α的范围，判断出cosα为负数，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．
【解答】：解：∵sinα= 1
3，α∈（π
2
，π），
∴cosα＜0，
则cosα=- √1−sin2α =- 2√2
3
，
故答案为：- 2√2
3
【点评】：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3.（填空题，3分）已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为1
2
，则前4项的和为___ ．
【正确答案】：[1] 45
8
【解析】：利用等比数列前n 项和公式能求出等比数列前4项的和．
【解答】：解：{a n }是等比数列，首项为3，公比为 12
， 则前4项的和为S 4= 3(1−1
24)
1−12
= 45
8 ．
故答案为： 45
8 ．
【点评】：本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.（填空题，3分）若tanα=3，则sin2α=___ ． 【正确答案】：[1] 3
5
【解析】：利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为 2tanα
1+tan 2α ，把已知条件代入运算求得结果．
【解答】：解：∵tanα=3， ∴sin2α=2sinαcosα= 2sinαcosαsin 2α+cos 2α = 2tanα1+tan 2α = 2×31+32 = 3
5
． 故答案为： 3
5 ．
【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
5.（填空题，3分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ． 【正确答案】：[1]7
【解析】：先由等差数列的性质可得a 1+a 7=2a 4，再根据等差数列的求和公式代入即可．
【解答】：解：根据题意，等差数列{a n }中，a 1+a 7=2a 4， 则S 7=
a 1+a 7
2
×7=7a 4=7， 故答案为7．
【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题． 6.（填空题，3分）已知扇形的圆心角为 2π
3 ，半径为5，则扇形的面积S=___ ． 【正确答案】：[1]
25π
3
【解析】：利用S= 1
2lr=1
2
αr2，即可求得结论．
【解答】：解：∵扇形的圆心角为2π
3
，半径为5，
∴S= 1
2lr=1
2
αr2 = 1
2
×2π
3
×25 = 25π
3
故答案为：25π
3
【点评】：本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.（填空题，3分）在数列{a n}中，a2=5，a n+1-a n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n=___ ．【正确答案】：[1]2n+1
【解析】：直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．
【解答】：解：由题意可得：
{a n−a n−1=2n−1
a n−1−a n−2=2n−2
…
a2−a1=2
，
利用累加法，
得：a n−a1=2(2n−1−1)
2−1
=2n−2，
a1=3，
于是：a n=2n+1．
故答案为：2n+1
【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，累加法在求数列通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.（填空题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=
√1 4[a2c2−(a2+c2−b2
2
)
2
]，若c2sinA=4sinC，B= π
3
，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为
___ ．
【正确答案】：[1] √3
【解析】：根据已知利用正弦定理可得ac=4，根据余弦定理可得a2+c2-b2=4，利用三斜公式即可求解．
【解答】：解：根据正弦定理，由c2sinA=4sinC，得ac=4，
则由B= π
3
，得：a2+c2-b2=4，
则△ABC的面积S= √1
4
(16−4) = √3．
故答案为：√3．
【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.（填空题，3分）函数y=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
3
个单位后与函数f（x）的图象重
合，则下列结论中正确的是___ ．
① f（x）的一个周期为-2π；
② f（x）的图象关于x=- 7π
12
对称；
③ x= 7π
6
是f（x）的一个零点；
④ f（x）在(−π
12，5π
12
)单调递减．
【正确答案】：[1] ① ② ③
【解析】：推导出f（x）=sin[2（x- π
3）+ π
3
]=sin（2x- π
3
），由此能求出结果．
【解答】：解：∵函数y=sin（2x+ π
3）的图象向右平移π
3
个单位后与函数f（x）的图象重合，
∴f（x）=sin[2（x- π
3）+ π
3
]=sin（2x- π
3
），
∴f（x）的一个周期为-2π，故① 正确；
y=f（x）的对称轴满足：2x- π
3=kπ+ π
2
，k∈Z，
∴当k=-2时，y=f（x）的图象关于x=- 7π
12
对称，故② 正确；
由f（x）=sin（2x- π
3）=0，得x= π
6
+ kπ
2
，
∴x= 7π
6
是f（x）的一个零点，故③ 正确；
当x∈（- π
12，5π
12
）时，2x- π
3
∈（- π
2
，π
2
），
∴f（x）在（- π
12，5π
12
）上单调递增，故④ 错误．
故答案为：① ② ③ ．
【点评】：本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
10.（填空题，3分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．
【正确答案】：[1]9
【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．
【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（3
5 sinx+ 4
5
cosx）=5sin（x+θ），
其中s inθ= 4
5，cosθ= 3
5
．
∵sinθ= 4
5，可知sin π
4
= √2
2
≤4
5
≤1=sinπ
2
，∴ π
4
≤θ≤π
2
对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：
sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．
由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．
又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：
由图象可知，在区间[0，π]上，
当x= π
2
−θ时，f（x）取最大值5，
当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．
∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．
故答案为：9．
【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．
11.（填空题，3分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．若a 2+b （b- √3 a ）=1，c=1，则 √3 a-b 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（1， √3 ）
【解析】：先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把 √3 a-b 转化为2（ √3 sinA-sinB ），再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．
【解答】：解：因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ． ∵a 2+b （b- √3 a ）=1，c=1⇒a 2+b 2- √3 ab=c 2⇒2cosC= √3 ⇒cosC= √3
2 ⇒C=30°， ∴ c
sinC = a
sinA = b
sinB = 1
sin30° =2； ∴a=2sinA ，b=2sinB ；
∴ √3 a-b=2（ √3 sinA-sinB ）=2[ √3 sinA-sin （150°-A ）]=2[ √3 sinA-（ 1
2 cosA+ √3
2 sinA ）]=2（ √3
2
sinA- 12
cosA ）=2sin （A-30°）； ∵0°＜A ＜90°，0°＜B ＜90°，A+B=150°； ∴60°＜A ＜90°；
∴30°＜A-30°＜60°⇒2sin （A-30°）∈（1， √3 ）； 故 √3 a-b∈（1， √3 ）； 故答案为：（1， √3 ）．
【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
12.（填空题，3分）已知数列{a n }满足a 1=4，a n =2a n-1+2n （n≥2，n∈N *），若不等式2n 2-n-3＜（5-λ）a n 对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，
37
8
) 【解析】：首先利用构造新数列法的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的导数的应用求出结果．
【解答】：解：数列{a n }满足a 1=4，a n =2a n-1+2n （n≥2，n ∈N *），
则： a n 2n −a n−12n−1=1 （常数），所以数列{ a n
2n }是以 4
21=2 为首项，1为公差的等差数列． 所以 a
n 2n =2+(n −1)=n +1 ，整理得 a n =(n +1)•2n ，
不等式2n 2-n-3＜（5-λ）a n 对任意n∈N *恒成立，
所以5−λ＞(n+1)(2n−3)
(n+1)•2n = 2n−3
2n
，
所以λ＜5−2n−3
2n
对任意的n∈N*恒成立，
所以设f（n）= 2n−3
2n ，故f′(n)=2−(2n−3)ln2
2n
，
当n=1，2时，f′（n）＞0，当n≥3时，f′（n）＜0，
所以f（2）= 1
4，f（3）= 3
8
．
所以λ＜5−3
8=37
8
．
故答案为：（- ∞，37
8
）．
【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
13.（单选题，3分）函数y=2sin πx
6
，x∈R的最小正周期为（）
A.12
B.6
C. π
12
D. π
6
【正确答案】：A
【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为2π
ω
，得出结论．
【解答】：解：函数y=2sin πx
6，x∈R的最小正周期为2ππ
6
=12，
故选：A．
【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为2π
ω
，属于基础题．
14.（单选题，3分）已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）
A.2kπ与kπ
B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+ π
6与2kπ± π
6
D. kπ
2与kπ± π
2
【正确答案】：B
【解析】：分别写出选项中所表示的终边所在的角的集合，逐一核对即可．
【解答】：解：2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；
2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；
kπ+ π
6（k∈Z）表示终边与π
6
和7π
6
终边相同的角的集合，2kπ± π
6
（k∈Z）表示终边与π
6
和- π
6
终边相同的角的集合，两组角终边不同；
kπ2（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ± π
2
（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，
两组角终边不同；
故选：B．
【点评】：本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题．
15.（单选题，3分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）
A.（11
6，17
6
）
B.[ 11
6，17
6
）
C.（5
3，8
3
）
D.[ 5
3，8
3
）
【正确答案】：B
【解析】：利用辅助角公式化积，由x的范围得到ωx+π
6∈[ π
6
，ωπ+π
6
]，再由函数f（x）
在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+ π
6
＜3π，由此求得ω的取值范围．
【解答】：解：f（x）= √3sinωx+cosωx= 2sin(ωx+π
6
)，
∵x∈[0，π]，∴ ωx+π
6∈[ π
6
，ωπ+π
6
]，
要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ωπ+ π
6
＜3π，
解得：11
6≤ω＜17
6
．
∴ω的取值范围为[ 11
6，17
6
）．
故选：B．
【点评】：本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
16.（单选题，3分）有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）
A.5979
B.5980
C.5981
D.以上都不对
【正确答案】：B
【解析】：首先分析出A第n次报数的个数为3n-2，进一步求出3人以公报的次数，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．
【解答】：解：由题意可得：A第n次报数的个数为3n-2，
则A第n次报完数后共报的个数为T n=n[1+(3n−2)]
2=n(3n−1)
2
．
再代入正整数n，使得T n≥2020，
解得：n的最小值为37，得T37=2035．
而A第37次报时，3人总共报了36×3+1=109次，
当A第109次报完数3人总的报数个数为S n=1+2+3+⋯+109=109×(109+1)
2
=5995．即A报出的第2035个数字为5995，
故A报出的第2020个数字为5980．
故选：B．
【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的前n项和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
17.（问答题，0分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2-
b2=ac．
（1）求B；
（2）若a+c=6，三角形的面积S△ABC=2 √3，求b．
【正确答案】：
【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求cosB，进而可求B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，进而可求．
【解答】：解：（1）因为a2+c2-b2=ac．
由余弦定理可得，cosB= a 2+c2−b2
2ac
= 1
2
，
因为B为三角形的内角，所以B=π
3
；
（2）∵a+c=6，三角形的面积S△ABC= 1
2acsin1
3
π = √3
4
ac =2 √3，
∴ac=8，
∵a2+c2-b2=ac，
∴（a+c）2-b2=3ac，
∴36-b2=24，
∴b=2 √3
【点评】：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于中档试题．18.（问答题，0分）已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n=
3 2n2+1
2
n，b1=2，b2+b3= 3
2
．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【正确答案】：
【解析】：（1）先由a n=S n-S n-1求得a n，再检验n=1时是否适合，从而求得a n．设等比数列{b n}的公比为q，由题意列出q的方程，求得q，进而求得b n；
（2）由（1）求得c n，再利用错位相减法求其前n项和T n．
【解答】：解：（1）∵S n = 32n 2+12 n ，∴当n≥2时，有a n =S n -S n-1= 32n 2+1
2 n-
3(n−1)2
2
−
12
(n −1) =3n-1，又当n=1时，有S 1= 32+12
=2=a 1也适合，∴a n =3n-1．
设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得： {q ＞0
b 1=2b 1(q +q 2)=
3
2
，解得q= 1
2 ，
故 b n =
(12)n−2
；
（2）由（1）得c n =（3n-1）•（ 12
）n-2，
∴T n =2×（ 12 ）-1+5×（ 12 ）0+8×（ 12 ）1+…+（3n-1）×（ 12
）n-2 ① ， 又 12T n =2×（ 12 ）0+5×（ 12 ）1+8×（ 12 ）2+…+（3n-1）×（ 1
2 ）n-1 ② ，
由 ① - ② 得： 12T n =4+3[1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n-2]-（3n-1）×（ 1
2 ）n-1=4+3× 1−(12)n−1
1−
1
2 +
（1-3n ）×（ 12 ）n-1=10-（3n+5）•（ 1
2 ）n-1 ∴ T n =20−3n+5
2n−2
．
【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题． 19.（问答题，0分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，∠MON= π
2 ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧 MN ̂ 上，且线段AB 平行于线段MN ．
（1）若点A 为弧 MN
̂ 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）设∠AOB=θ，求A 在 MN
̂ 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？
【正确答案】：
【解析】：（1）作OH⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ；
（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜ π
2 ），求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ，再求最大值．
【解答】：解：（1）如图，作OH⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ， ∴∠AOB= π
6 ，
∴AB=2Rsin π
12 ，OH=Rcos π
12 ， OE=DE= 1
2 AB=Rsin π
12 ，
∴EH=OH -OE=R （cos π
12 -sin π
12 ）， S=AB •EH=2R 2（sin π
12 cos π
12 -sin 2 π
12 ）= √3−12
R 2
，
（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜ π
2 ），
则AB=2Rsin θ
2 ，OH=Rcos θ
2 ，oe= 1
2 AB=Rcos θ
2 ，OE= 1
2 AB=Rsin θ
2 ， ∴EH=OH -OE=R （cos θ
2 -sin θ
2 ），
S=AB•EH=R 2（2sin θ
2 cos θ
2 -2sin 2 θ
2 ）=R 2（sinθ+cosθ-1）=R 2[ √2 sin （θ+ π
4 ）-1]， ∵0＜θ＜ π
2 ， ∴ π4
＜θ+ π4
＜ 3π4 ， ∴θ+ π
4 = π
2 即θ= π
4 时，
S max =（ √2 -1）R 2，此时A 在弧MN 的四等分点处． 答：当A 在弧MN 的四等分点处时，S max =（ √2 -1）R 2．
【点评】：本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．
20.（问答题，0分）设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为1，q 为非零正常数，数列{lg （a n ）}是公差为lgq 的等差数列． （1）求数列{S n }的通项公式；
（2）求证：数列 {S n
S
n+1
} 是递增数列；
（3）是否存在正常数c ，使得{lg （c-S n ）}为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意得a 1=1，根据题意可得lg （a n ）=lg （a 1）+（n-1）lgq=lg1+（n-1）lgq=lgq n-1，即a n =q n-1，分当q=1时，当q≠1时，两种情况写出S n （2）当q=1时，S n =n ， S n
S
n+1
=1- 1
n+1 随着n 的增大而增大，当q ＞0，q≠1时， S n
S
n+1
- S
n+1S n+2
=
1−q n 1−q n+1 - 1−q n+11−q n+2 = −q n (1−q )2(1−q n+1)(1−q n+2) ＜0，可得数列 {S n
S n+1
} 是递增数列； （3）假设存在正常数c 使得{lg （c-S n ）}为等差数列，若{lg （c-S n ）}为等差数列，可得q≠1，lg （c- 1
1−q + q n
1−q ）=lg q n
1−q =nlgq-lg （1-q ）为等差数列， 即可求出c= 1
1−q
（0＜q ＜1）．
【解答】：解：（1）根据题意得a 1=1， 因为数列{lg （a n ）}是公差为lgq 的等差数列，
所以lg （a n ）=lg （a 1）+（n-1）lgq=lg1+（n-1）lgq=lgq n-1， 所以a n =q n-1， 当q=1时，S n =n ， 当q≠1
时，S n = 1×(1−q n )1−q = 1−q n
1−q ，
所以 S n ={n
q =11−q n
1−q
q ＞0且q ≠1
．
（2）证明：当q=1时，S n =n ， 所以 S n
S
n+1
= n n+1 =1- 1
n+1 随着n 的增大而增大，
当q ＞0，q≠1时， S n = 1−q n
1−q ，
S n S n+1
= 1−q n
1−q n+1 ，
由S n
S n+1 - S n+1
S n+2
= 1−q n
1−q n+1
- 1−q n+1
1−q n+2
= −q n(1−q)2
(1−q n+1)(1−q n+2)
＜0，
可得数列{S n
S n+1
}是递增数列；
（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，
所以C n=lg（c-S n）=lg（c- 1−q n
1−q
），数列{C n}是等差数列，
即C1=lg（C-1），C2=lg（c- 1−q2
1−q
）=lg（c-1-q），
C3=lg（c- 1−q3
1−q
）=lg（c-1-q2-q），
（c-1-q）2=（c-1）（c-1-q2-q），
解得c= 1
1−q
，因此c＞0，所以0＜q＜1，
此时C n=lg（1
1−q - 1−q n
1−a
）=lg q n
1−q
，
因为C n+1-C n=lg q n+1
1−q -lg q n
1−q
=lgq，
所以数列{C n}是等差数列，
因此存在正常数c= 1
1−q
，使得{lg（c-S n）}为等差数列，且0＜q＜1．
【点评】：本题考查了等差数列，等比数列的性质、考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.（问答题，0分）数列{a n}满足a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1=1，
a2=2，若a n=Asin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜π
2
）的形式表示．
（1）求a3的值；
（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；
（3）求{a n}的通项公式．
【正确答案】：
【解析】：（1）代值计算即可，
（2）分别令n=1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出，
（3）分别由a1=1，a2=2，a3=3，可得1=Asin（2π
3+φ）+c，2=-Asin（π
3
+φ）+c，
3=Asinφ+c，解得即可求出．
【解答】：解：（1）当a 1=1，a 2=2，a 1a 2a 3=a 1+a 2+a 3，解得a 3=3； （2）当n=2时，6a 4=2+3+a 4，解得a 4=1， 当n=3时，3a 5=1+3+a 5，解得a 5=2， …，
可得a n+3=a n ，当a 1=1，a 2=2，a 3=3； 故3为数列{a n }的一个周期， 则
2kπ
ω
=3，k∈N*，则 ω=
2kπ
3
(k ∈N ∗) ；
（3）由（2）可得a n =Asin （ 2π
3 n+φ）+c ，
则1=Asin （ 2π
3 +φ）+c ，2=-Asin （ π
3 +φ）+c ，3=Asinφ+c ， 即1=A• √3
2 cosφ-A• 1
2 sinφ+c ， ① 2=-A• √3
2 cosφ-A• 1
2 sinφ+c ， ② 由 ① + ② ，可得3=-Asinφ+2c ， ∴c=2，Asinφ=1，
① - ② ，可得-1=A• √3 cosφ， 则tanφ=- √3 ， ∵|φ|＜ π2 ， ∴φ=- π3 ， ∴A=-
2√3
3
， 故 a n =−2√33sin (2π
3n −π
3
)+2 ．
【点评】：本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。