2020-2021上海育秀实验学校高中必修五数学上期中一模试卷及答案

2020-2021上海育秀实验学校高中必修五数学上期中一模试卷及答案
一、选择题
1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A
．B
C
D
2．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
5．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B
C
D ．4
7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A
B ．
3
4 C ．32
或
D ．
34
8．若x ，y 满足20
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
9．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
10．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小
角的余弦值为（ ） A ．
34
B ．
56
C ．
78
D ．
23
11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的取值范围为
_______．
15．已知实数x，y满足不等式组
20
30
26
x y
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪+≤
⎩
，则2
z x y
=-的最小值为__________．
16．若变量x，y满足
2
239
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则z＝2x+y的最大值是_____．
17．已知数列
111 1
12123123n
+++++++
L L
L
，，，，，，则其前n项的和等于______．18．在平面内，已知直线12
l l P，点A是
12
,l l之间的定点，点A到
12
,l l的距离分别为和，点是2l上的一个动点，若AC AB
⊥，且AC与1l交于点C，则ABC
∆面积的最小值为____．
19．已知在△ABC中，角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，若2
a b c
+=，则C
∠的取值范围为________
20．已知实数x，y满足约束条件
20
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩
，若2
z x y
=+的最小值为3，则实数
b=____
三、解答题
21．在平面四边形ABCD中，已知
3
4
ABC
π
∠=，AB AD
⊥，1
AB=．
（1）若5
AC=ABC
∆的面积；
（2）若
25
sin CAD
∠=4
=
AD，求CD的长．
22．已知数列{}n a是递增的等比数列，且1423
9,8.
a a a a
+==
（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；
（Ⅱ）设n S为数列{}n a的前n项和，1
1
n
n
n n
a
b
S S
+
+
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
T．
23．已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
24．
已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中
,()()sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．
25．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
1()2
n n n S a S =⋅-．
（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝
21
n
S n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，112
12
13
2q q 2a a a ==⇒=
，所以
47
213
q a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

2．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函
数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝
，＝4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ．
【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤；
当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332
a a =+-
⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -
+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
8．D
解析：D 【解析】
作出不等式组20
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =，
综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
9．B
解析：B 【解析】 试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)
n n n n A n n n +++-+==+++．
所以
25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为
34
．
故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
二、填空题
13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式
法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为
()()()a b a b c b c +-=-，即2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-==，
再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=
sin ==
A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 42∆=
=≤=ABC S bc A 则ABC
∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划 解析：(,1]-∞
【解析】
试题分析：由题意，由2{
30
y x
x y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在
点(,)x y 满足约束条件30,
{230,,
x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围
(,1]-∞．
考点：线性规划．
15．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6
解析：-6 【解析】
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122
z
y x =
-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2
z
-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取
解析：5 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域如图，
由2z x y =+知,2y x z =-+，
所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，
由2239
x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -， 结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
17．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：
21
n
n + 【解析】 【分析】
由题意可知此数列为1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消
的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，
由公式可得：()12
n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111
n
n n ⎛
⎫-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
18．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
19．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属 解析：(0,]3
π
【解析】 【分析】
将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】
解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，
22()4a b c ∴+=，
222422a b c ab ab ∴+=-≥，
即2c ab ≥，
当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，
222223231
cos 12222
a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，
03
C π
∴<≤
.
故答案为：(0,]3
π
.
【点睛】
考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.
20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：
94
【解析】 【分析】
画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()
00,A x y 处取得，由00000
0232y x y x y x b
=-+⎧⎪
=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.
【详解】
由已知作可行域如图所示，
2z x y =+化为2y x z =-+，
平移直线2y x z =-+
由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，
由00000
023
2y x y x y x b
=-+⎧⎪
=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,
故答案为
94
. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
21．（1）1
2
；（213 【解析】 【分析】
（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得2BC =进而利用三角形的面积公式，即可求
解；
（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解10
sin BCA 10
∠=
，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】
（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅
即251BC BC =++
2BC 40⇒+-=,
解得BC =.
所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 1222
∠=
⋅⋅=⨯=. （2
）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==
,
所以cos BAC ∠=
，sin BAC ∠=
πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
)cos BAC sin BAC 2
∠∠=-
=
=⎝⎭. 在ΔABC 中，
AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=
, AB sin ABC
AC sin BCA
∠∠⋅∴=
= 222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以
51624135
=+-⨯
=
所以CD = 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 22．（Ⅰ）1
2n n a -=（Ⅱ）112221
n n ++--
【解析】
试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得
3
23
11
(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11
{2
a q ==则通项公式可
得
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--所以
1112(21)(21)
n
n n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可
试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有
323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===
联立两式可得11{2a q ==或者18
{1
2
a q ==
又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11
{2a q == 数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--
所以1111211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以111111111122
1 (133721212121)
n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=
---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和
23．(1)1
,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·
2n ＋1. 【解析】 试题分析：
（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得1
2n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简
整理即可得到所求的和. 试题解析：
(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得
解得d ＝1，q ＝2.
所以a n ＝1＋(n －1)×
1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝
－n·
2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 24．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】 【分析】 【详解】
(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，
f(x)=2sin(x+
4
π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即
52k x 2k (k Z).4
4
ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4
ππ［］
(2)设△ABC 的外接圆半径为R
，由题意，得c 3
2R sin?C sin60=
==︒
化简f (A )f (B )B 44
ππ
-+-=，得
sin Asin B.由正弦定理，得
(
)2R a b b +=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②
将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3
ab 2
=-
(舍去)
，故ABC 1S absinC 2∆=
= 25．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21
n
n + 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到
11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；
(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】
(1)由已知得23511124820109
1010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪
⎨⨯+=+=⎪⎩
， 解得11d 2a ==，，
所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111
212122121n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪-⋅+-+⎝⎭
，
所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121
n n
T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ． 【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难
点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；（2）
1
k
=
； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容
易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． 26．（1）1
()21
n S n N n =∈-；（2）21n n +。

【解析】 【分析】
（1）运用数列的递推公式1(2)n n n a S S n -=-≥，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式，即可求解n S ；
（2）求得3
10120C =，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可求
解． 【详解】
（1）()()2
2
11111112222
n n n n n n n n n n n n a S S n S S S S S S S S S ----⎛
⎫=-≥=--
=--+ ⎪⎝⎭由得 得()1122n n n n S S S S n ---=≥ ()1
11
22n n n S S -∴
-=≥ 111
,2n S S 是以为首项以为公差的等差数列⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
,
1
21,n
n S ∴
=- ()1
21
n S n N n =
∈- (2)()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
111111111 (12335212122121)
n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=
-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的裂项法求和，其中解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．。