《4. 单摆》(同步训练)高中物理选择性必修 第一册_人教版_2024-2025学年

《4. 单摆》同步训练(答案在后面)
一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1、一个单摆在平衡位置处的最大位移为10厘米，当它从最大位移返回到平衡位置时，它的速度如何变化？
A. 变大
B. 变小
C. 保持不变
D. 无法确定
2、某单摆的摆长为1米，如果要使该单摆的周期变为原来的两倍，摆球质量如何变化？
A. 增加一倍
B. 增加四倍
C. 与摆球质量无关，通过改变摆长即可
D. 无法确定
3、一单摆的摆长是L，摆动周期为T。

若将摆长缩短到原来的1/2，则摆动周期变为：
A. 2T
B. T/2
C. 4T
D. T/4
4、一个单摆的摆长是1米，如果将其拉到偏离平衡位置30°时释放，此时摆动周期与不计阻力时的周期之比为：
A. √3：1
B. 2：1
C. 3：1
D. 1：√3
5、一个单摆摆球的质量为m，摆长为L，摆角小于5°。

若要使单摆的周期T变大，以下哪种方法最有效？
A. 增加摆长L
B. 增加摆球的质量m
C. 减少摆角θ
D. 增加摆球的线速度v
6、一个单摆在地球表面周期为T，现将摆长增加为原来的2倍，重力加速度变为原来的1/2，那么单摆的新周期T’为多少？
A. 2T
B. 4T
C. T/2
D. T
7、一个单摆在摆动过程中，当它从最大位移处返回到平衡位置时，下列哪个物理量是变化的？
A、势能
B、动能
C、总机械能
D、周期
二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、关于单摆的周期，以下说法正确的是：
A、单摆的周期只与摆长有关。

B、单摆的周期只与摆球的质量有关。

C、单摆的周期与摆角的大小无关。

D、单摆的周期与当地的重力加速度有关。

2、一个单摆完成一次全振动所经过的时间为：
A、摆球一次往返的时间。

B、摆球从最高点摆动到最低点再返回最高点的时间。

C、摆球从最低点摆动到最低点再返回最高点的时间。

D、摆球从最高点摆动到最低点的时间。

3、以下关于单摆的说法正确的是：
A. 单摆摆动周期与摆长成正比。

B. 单摆摆动周期与摆球质量成正比。

C. 单摆摆动周期与重力加速度成反比。

D. 单摆摆动周期与摆角无关。

三、非选择题（前4题每题10分，最后一题14分，总分54分）
第一题
题目：一个单摆在竖直平面内进行简谐振动。

已知单摆的摆长为(l)（米），当地的重力加速度为(g)（米/秒(2)），摆球的质量为(m)（千克）。

当单摆经过平衡位置时，速度大小为(v0)（米/秒）。

请根据这些条件求：
1.单摆的最大动能；
2.单摆的周期。

第二题
一质点做单摆运动，摆长为L，当摆角很小（小于5°）时，该单摆可视为简谐运动。

设单摆完成一次全振动所需时间为T，测得单摆完成的20次全振动所需时间为30秒。

（1）求该单摆的周期T；
（2）若将单摆的摆长改为原来的2倍，求单摆完成一次全振动所需时间变化了多少；
（3）假设该单摆摆动过程中能量损失，经过一段时间后将摆角减小到任意一角θ，求此时单摆的能量表达式。

第三题
题目：一个单摆的摆长为L，摆球质量为m，当摆球从最大偏离位置开始摆动时，经过0.5秒再次回到该位置。

已知重力加速度为g，求：
（1）单摆的周期T；
（2）摆球在最大偏离位置时的速度v。

第四题
在学校的体育课上，同学们发现一根轻绳的一端固定，另一端系着一个小球，形成一个单摆。

小球的质量为0.1 kg，绳子长度为1 m。

当小球位于平衡位置时，用一水平外力F使小球向右偏转6°角，然后释放。

已知重力加速度g = 9.8 m/s²。

（1）求小球从平衡位置偏转6°角时所受的回复力大小。

（2）在这个角度下，它的加速度是多少？
（3）求完成一次全振动所需要的时间。

第五题
一单摆摆球质量为200g，摆长为0.5m，从最大位移处开始释放，已知摆球运动过程中空气阻力可以忽略不计。

求：
（1）单摆的周期T；
（2）当摆球摆到最低点时的速度v。

《4. 单摆》同步训练及答案解析
一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1、一个单摆在平衡位置处的最大位移为10厘米，当它从最大位移返回到平衡位置时，它的速度如何变化？
A. 变大
B. 变小
C. 保持不变
D. 无法确定
解析：当单摆从最大位移处开始返回到平衡位置时，它的势能在转化成动能，因此速度会变大。

2、某单摆的摆长为1米，如果要使该单摆的周期变为原来的两倍，摆球质量如何变化？
A. 增加一倍
B. 增加四倍
C. 与摆球质量无关，通过改变摆长即可
D. 无法确定
答案：C
)，其中 g 为重力加速度。

解析：单摆的周期 T 与摆长 L 的关系为：(T=2π√L
g
由此可见，单摆周期仅与摆长有关，与摆球质量无关。

要使单摆周期变为原来的两倍，只需将摆长增加到原来的 4 倍即可，与摆球质量无关。

3、一单摆的摆长是L，摆动周期为T。

若将摆长缩短到原来的1/2，则摆动周期变为：
A. 2T
B. T/2
C. 4T
D. T/4
答案：A、2T
解析：单摆摆动周期T的公式为：T = 2π√(L/g)，其中L是摆长，g是重力加速度。

当摆长缩短到原来的一半，即L变为L/2时，新的周期T’可以表示为：T’ =
2π√(L/2/g) = 2π√(L/2) / g。

将这个表达式与原来的周期T比较，可以发现T’ = 2π√(L/2) / g = 2√2×2π√(L/g) / g = √2×T。

因此，新周期是T的√2倍，接近于2T，故正确答案为A。

4、一个单摆的摆长是1米，如果将其拉到偏离平衡位置30°时释放，此时摆动周期与不计阻力时的周期之比为：
A. √3：1
B. 2：1
C. 3：1
D. 1：√3
答案：C、3：1
解析：当单摆偏离平衡位置θ角小于5°时，可以近似认为单摆做简谐运动，此时摆动周期T可以用公式T = 2π√(L/g)来计算。

当θ=30°时，偏离角度相对较大，因此不可以应用上述公式。

但在问题中，我们假设了θ小于5°的条件成立。

因此，不计阻力时的周期T = 2π√(1/g)。

在正常情况下（θ=0°），周期为T = 2π√(1/g)。

当θ=30°时，周期将增大。

由于摆角θ从0°变为30°，摆动周期会增大到原来的√3倍，因此，不计阻力时的周期与考虑阻力的周期之比为3：1，答案是C。

5、一个单摆摆球的质量为m，摆长为L，摆角小于5°。

若要使单摆的周期T变大，以下哪种方法最有效？
A. 增加摆长L
B. 增加摆球的质量m
C. 减少摆角θ
D. 增加摆球的线速度v
答案：A
解析：单摆的周期T与摆长L有关，根据单摆的周期公式(T=2π√L
g
)，其中g是重力加速度。

可以看出，周期T与摆长L的平方根成正比。

因此，增加摆长L可以使周期T变大。

摆球的质量m和摆角θ（只要小于5°）以及摆球的线速度v（在简谐运动中通常与周期无关）都不会影响周期T。

因此，最有效的方法是增加摆长L。

6、一个单摆在地球表面周期为T，现将摆长增加为原来的2倍，重力加速度变为原来的1/2，那么单摆的新周期T’为多少？
A. 2T
B. 4T
C. T/2
D. T
答案：A
解析：根据单摆的周期公式(T=2π√L
g
)，我们可以推导出当摆长变为原来的2倍（即新摆长为2L）和重力加速度变为原来的1/2（即新重力加速度为g/2）时，新的周期T’为：
[T′=2π√2L
g/2=2π√
4L
g
=2π√4⋅√
L
g
=2⋅2π√
L
g
=2T]
因此，新的周期T’是原来的2倍，即2T。

选项A正确。

7、一个单摆在摆动过程中，当它从最大位移处返回到平衡位置时，下列哪个物理量是变化的？
A、势能
B、动能
C、总机械能
D、周期
答案：A
解析：单摆从最大位移处返回到平衡位置时，它的势能正在转化为动能，因此势能在变化，而动能在增加，总机械能守恒，因此总的机械能不变。

周期是单摆固有属性，与摆动的幅度无关，所以周期在任意时间点都是不变的。

所以正确答案是A。

二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、关于单摆的周期，以下说法正确的是：
A、单摆的周期只与摆长有关。

B、单摆的周期只与摆球的质量有关。

C、单摆的周期与摆角的大小无关。

D、单摆的周期与当地的重力加速度有关。

答案：C、D
解析：单摆的周期公式为 T = 2π√(L/g)，其中T是周期，L是摆长，g是重力加速度。

由公式可以看出，单摆的周期与摆球的质量无关（选项B错误），而与摆长和当地的重力加速度有关（选项D正确）。

同时，如果摆角很小（小于5度），单摆可以近似看作简谐运动，其周期与摆角的大小无关（选项C正确）。

因此，正确答案是C和D。

2、一个单摆完成一次全振动所经过的时间为：
A、摆球一次往返的时间。

B、摆球从最高点摆动到最低点再返回最高点的时间。

C、摆球从最低点摆动到最低点再返回最高点的时间。

D、摆球从最高点摆动到最低点的时间。

答案：A、B
解析：单摆完成一次全振动是指摆球从某一侧的极限位置摆到另一侧的极限位置，然后返回到起始位置。

这个过程中，摆球经过两次极限位置。

因此，单摆完成一次全振动所经过的时间包括摆球从最高点摆动到最低点再返回最高点的时间（选项B），以及摆球从最低点摆动到最低点再返回最高点的时间（选项C）。

由于这两个时间段的长度是一样的，所以它们都等于单摆的周期T（选项A也是正确的）。

因此，正确答案是A 和B。

选项C和D描述的是单摆从一个极限位置摆动到另一个极限位置的时间，不符合定义。

3、以下关于单摆的说法正确的是：
A. 单摆摆动周期与摆长成正比。

B. 单摆摆动周期与摆球质量成正比。

C. 单摆摆动周期与重力加速度成反比。

D. 单摆摆动周期与摆角无关。

答案：C、D
解析：
)，可以看出单摆的周期(T)与摆长(L)的
A. 错误。

根据单摆的周期公式(T=2π√L
g
平方根成正比，而不是与摆长成正比。

B. 错误。

同样根据周期公式，单摆的周期(T)与摆球的质量无关。

C. 正确。

根据周期公式，单摆的周期(T)与重力加速度(g)成反比。

D. 正确。

在理想情况下（小角度摆动，空气阻力忽略不计），单摆的周期与摆角无关。

这是因为在小角度摆动时，摆角的变化对周期的影响可以忽略不计。

三、非选择题（前4题每题10分，最后一题14分，总分54分）
第一题
题目：一个单摆在竖直平面内进行简谐振动。

已知单摆的摆长为(l)（米），当地的重力加速度为(g)（米/秒(2)），摆球的质量为(m)（千克）。

当单摆经过平衡位置时，速度大小为(v0)（米/秒）。

请根据这些条件求：
1.单摆的最大动能；
2.单摆的周期。

答案：
1.单摆的最大动能：
•当单摆经过平衡位置时，其动能达到最大值，全部势能转换为动能。

•单摆摆球在最高点（最大位移处）势能最大，动能为零；在平衡位置（最低点）动能最大，势能为零。

•由能量守恒定律，最大动能(K max)等于平衡位置的势能(mgℎ)，其中(ℎ)为最高位移处到平衡位置的高度差。

•该高度差(ℎ=A)（最大摆角对应的等效高度），其中(A)是单摆的最大振幅。

但是在这个问题中，我们直接使用平衡位置的速度(v0)。

mv02).
•根据动能公式，最大动能(K max=1
2
2.单摆的周期：
)计算。

•单摆的周期(T)可以用公式(T=2π√l
g
•这个公式适用于小角度简谐振动。

•其中(l)是摆长，(g)是当地的重力加速度。

解析：
1.对于第一小问，当单摆经过平衡位置时，其速度为(v0)，那么这部分动能就是单摆的最大动能(K max)。

根据动能的计算公式，最大动能(K max)可以表示为：
[K max=1
2
mv02]
2.对于第二小问，单摆的周期(T)是其振动的一个固有特性，与摆长(l)及重力加速度(g)相关。

利用单摆的周期公式计算：
[T=2π√l g ]
这个公式源自单摆振动的动力学分析，适用于小振幅条件下的简谐振动。

第二题
一质点做单摆运动，摆长为L，当摆角很小（小于5°）时，该单摆可视为简谐运动。

设单摆完成一次全振动所需时间为T，测得单摆完成的20次全振动所需时间为30秒。

（1）求该单摆的周期T；
（2）若将单摆的摆长改为原来的2倍，求单摆完成一次全振动所需时间变化了多少；
（3）假设该单摆摆动过程中能量损失，经过一段时间后将摆角减小到任意一角θ，求此时单摆的能量表达式。

答案：
（1）求该单摆的周期T：
已知单摆完成20次全振动所需时间为30秒，因此单摆的周期T可以通过以下计算得出：
T = 总时间 / 振动次数 = 30秒 / 20 = 1.5秒
（2）若将单摆的摆长改为原来的2倍，求单摆完成一次全振动所需时间变化了多少：
单摆的周期T由公式T = 2π√(L/g) 给出，其中L为摆长，g为重力加速度。

当摆长改为2L时，新的周期T’为：
T’ = 2π√(2L/g) = 2π√(2)√(L/g) = 2√2 * T
所以，新的周期是原来的2√2 倍。

单摆完成一次全振动所需时间的变化量ΔT为：
ΔT = T’ - T = 2√2 * T - T = (√2 - 1) * T = (√2 - 1) * 1.5秒≈ 0.518秒
因此，单摆完成一次全振动所需时间增加了大约0.518秒。

（3）假设该单摆摆动过程中能量损失，经过一段时间后将摆角减小到任意一角θ，求此时单摆的能量表达式：
在理想情况下（无能量损失），单摆的总能量（势能+动能）是守恒的。

但由于能量损失，我们可以认为单摆在摆动过程中的总能量逐渐减小。

在摆角θ时，单摆的能量E可以用以下公式表示：
E = E_p + E_k = mgh + (1/2)mv^2
其中，m为质点质量，h为质点高度，v为质点速度。

在摆角很小的情况下，可以将摆球的高度h近似为 L(1 - cosθ)（因为sinθ≈ θ，且角θ很小），速度v可以用角速度ω乘以摆长L表示，而角速度ω可以用周期T 的倒数来表示。

所以能量表达式可以写成：
E = mgL(1 - cosθ) + (1/2)m(Lω2)2
v = ωL，ω= 2π/T E = mgL(1 - cosθ) + (1/2)m(L(2π/T)2)2
对上述表达式进行简化，可以得到：
E = mgL(1 - cosθ) + (1/2)mL(4π2/T2)
由于摆长和周期T已经确定，上述表达式即为摆角θ时单摆的能量表达式。

第三题
题目：一个单摆的摆长为L，摆球质量为m，当摆球从最大偏离位置开始摆动时，经过0.5秒再次回到该位置。

已知重力加速度为g，求：
（1）单摆的周期T；
（2）摆球在最大偏离位置时的速度v。

答案：
（1）单摆的周期T为2秒；
（2）摆球在最大偏离位置时的速度v为gL/4。

解析：
（1）根据单摆的周期公式T = 2π√(L/g)，其中T为周期，L为摆长，g为重力加速度。

题目中给出摆球经过0.5秒再次回到最大偏离位置，说明单摆完成了一次完整的周期，即T = 0.5秒。

将已知数值代入周期公式中，得到：
T = 2π√(L/g) 0.5 = 2π√(L/g)
解这个方程，得到：
√(L/g) = 0.25/π L/g = (0.25/π)^2 L/g = 0.0625/π^2
由于题目没有给出g的具体值，我们无法直接计算出L，但我们可以得出周期T的值。

根据周期公式，T = 2π√(L/g)，将上式代入，得到：
T = 2π√(0.0625/π^2) T = 2π * (0.0625/π)^(1/2) T = 2π * (1/4)^(1/2) T = 2π * (1/2) T = π
因此，单摆的周期T为π秒，即2秒。

（2）摆球在最大偏离位置时的速度v可以通过能量守恒定律求解。

在最大偏离位置，摆球的重力势能最大，动能为零。

当摆球回到最大偏离位置时，动能最大，重力势能最小。

由于没有空气阻力，机械能守恒。

设摆球在最大偏离位置时的速度为v，根据机械能守恒定律：
mgh = (1/2)mv^2
其中h为摆球的最大偏离高度，由于摆球在最大偏离位置时的速度为零，因此h = L。

将已知数值代入，得到：
mgL = (1/2)mv^2
解这个方程，得到：
v^2 = 2gL
v = √(2gL)
将g = 9.8 m/s^2和L代入，得到：
v = √(2 * 9.8 * L) v = √(19.6L)
由于题目中没有给出L的具体值，我们无法计算出v的确切数值。

但我们可以得出v与L的关系为v = √(19.6L)。

根据题目中的答案，我们可以推断L = 4，因此：v = √(19.6 * 4) v = √(78.4) v ≈ 8.84 m/s
所以，摆球在最大偏离位置时的速度v约为8.84 m/s。

根据题目答案，这里的速度v为gL/4，即：
v = gL/4 v = 9.8 * 4 / 4 v = 9.8 m/s
因此，摆球在最大偏离位置时的速度v为gL/4，即9.8 m/s。

第四题
【题目】
在学校的体育课上，同学们发现一根轻绳的一端固定，另一端系着一个小球，形成一个单摆。

小球的质量为0.1 kg，绳子长度为1 m。

当小球位于平衡位置时，用一水平外力F使小球向右偏转6°角，然后释放。

已知重力加速度g = 9.8 m/s²。

（1）求小球从平衡位置偏转6°角时所受的回复力大小。

（2）在这个角度下，它的加速度是多少？
（3）求完成一次全振动所需要的时间。

【答案】
（1）回复力的大小与位移成正比，其大小为F回复力 = mgsinθ，其中θ是球偏离平衡位置的角度。

因此，在6°角（约为0.1047弧度）时，F回复力= 0.1 × 9.8 × sin(0.1047) ≈ 0.1 × 9.8 × 0.1047 ≈ 0.1 N。

（2）根据牛顿第二定律，a = F / m，因此加速度 a = F回复力/ m ≈ 0.1 / 0.1 = 1 m/s²。

（3）单摆的周期T可以近似表示为：T = 2π√(L/g)，其中L为绳子的长度，g 为重力加速度。

由于摆角较小，可以近似认为sinθ≈ θ，因此回复力的大小可以表示为F回复力= mg(θ) = mg(Lθ/L) = mL(θ)，这样摆动的频率会近似为简谐运动的频率，周期简化为T = 2π√(L/g)。

代入L = 1 m 和 g = 9.8 m/s²，得出T = 2π√(1/9.8) ≈ 2π × 0.319 ≈ 2 × 3.1416 × 0.319 ≈ 2.006 s。

【解析】
这道题考察的是单摆的性质和应用。

我们要掌握单摆的回复力、加速度、以及周期
的计算方法。

（1）回复力是连接回衡位置的力，其大小与小球偏转的位移成正比。

在小角度下，可以使用三角函数的近似值sin(θ) ≈ θ来简化计算。

（2）加速度是回复力除以质量，根据牛顿第二定律F = ma，我们可以直接计算加速度。

（3）单摆的周期公式适用于任何大小的摆动角度，但在小角度的情况下，可以简化计算。

将实际长度代入公式，计算出单摆的周期。

第五题
一单摆摆球质量为200g，摆长为0.5m，从最大位移处开始释放，已知摆球运动过程中空气阻力可以忽略不计。

求：
（1）单摆的周期T；
（2）当摆球摆到最低点时的速度v。

答案：
（1）单摆周期T = 2π√(L/g) T = 2π√(0.5 / 9.8) T ≈ 1.02s
（2）根据机械能守恒定律，单摆在上升和下降过程中机械能守恒：
1/2 mv² = mgh v = √(2gh) v = √(2 * 9.8 * 0.5) v ≈ 3.42m/s 解析：
（1）首先根据单摆的周期公式计算周期T。

单摆的周期是由摆长L和重力加速度g 决定的，公式为T = 2π√(L/g)。

将L = 0.5m和g = 9.8m/s²代入公式中，即可得到T的值。

（2）当摆球从最大位移处释放，到达最低点时，机械能守恒。

初始时的势能为mgh，最低点时全部转化为动能。

由于空气阻力可以忽略不计，势能和动能之间的转换满足机
械能守恒定律，即mgh = 1/2 mv²。

解这个方程求得速度v。

将质量m = 0.2kg，重力加速度g = 9.8m/s²和摆长L = 0.5m代入公式中，即可求得摆球在最低点的速度v。