决战2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(二)

三轮冲刺：《三角形综合》（二）
1．如图，在正方形ABCD中，点F是直线BC上一动点，连结AF，将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH，连结AH交直线DC于点E，连结EF和CH，设正方形ABCD的边长为x．
（1）如图1，当点F在线段BC上移动时，求△CEF的周长（用含x的代数式表示）；
（2）如图1，当点F在线段BC上移动时，猜想∠EFC和∠EHC的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，当点F在边BC的延长线上移动时，请直接写出∠EFC和∠EHC的关系（不需要证明）．
2．如图①，在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的中线，CE∥AB，线段DE交BC于点G．
（1）若CE＝CG＝1，AB＝4，求DE的长；
（2）如图②，取△ABC外一点F，连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H，若∠ACB＝90°，AC＝AF，BF⊥CF，DE⊥DF．
①求的值；
②求证：CH＝FH．
3．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子并证明．
4．锐角△ABC中BC＝2，以AB为边向外作等边△ABD，以AC为边向外作△ACE，其中AE＝CE，∠AEC＝120°，F为BC的中点，分别连接DF，EF．
（1）如图1，△ABC为等边三角形，
①DF与EF的数量关系是；DF与EF的位置关系是；
②求DF的长度；
（2）如图2，AB＝AC时，DF与EF的关系是否改变？如果不变请证明；如果改变请写出新的关系并证明；
（3）如图3，△ABC为任意的锐角三角形，当EC＝1时直接写出DF长度的取值范围．
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D在直线AB上，DE∥BC交直线AC于点E，点F在直线BC上，且BF＝DE，请解答下列问题：
（1）如图①，求证：EF+EA＝AB；
（2）如图②，如图③，线段EF，EA，AB又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
＝48，DE＝3，tan∠ABC＞1，则EF （3）在（1）（2）的条件下，若AB＝AC＝10，S
△ABC
＝．
6．在平面直角坐标系中，点O为原点，点C在y轴正半轴上，B（﹣2，0），∠OCB＝30°，AC⊥BC交x轴于点A．
（1）求A点的坐标；
（2）一动点E从点A出发沿着AC向终点C运动，速度为每秒1个单位长度，过点E作y 轴的平行线，交直线BC于点M，设点E运动时间为t，线段EM的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，另一动点F从点B出发沿着BC向终点C运动，速度为每秒1个单位长度，点E、点F同时出发，并且一个到达终点另一个也停止运动，连接EF，以EF 为斜边作等腰直角△EFN，连接BN，CN，当t为何值时，△CNB为直角三角形．
7．已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD 交
于点O．
（1）如图1，求证：∠BOC＝90°+∠BAC；
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC；
（3）如图3，若∠BAC＝60°，BD＝4，CE＝2，求的值．
8．在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（2，2）．将△OAB绕点B顺时针旋转，得△O'A'B，点A，O旋转后的对应点为A'，O'．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝45°时，求点A'的坐标；
（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求点A的坐标；
（Ⅲ）连接OA′，设线段OA′的中点为M，连接O'M，求线段O'M的长的最小值（直接写出结果即可）．
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （x 1，y 1 ），B （ x 2，y 2 ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝，那么称点T 是点A ，B 的k 联点．
例如：A （0，8），B （3，1），当点 T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝3时，则点T （1，3）是点A ，B 的3联点．
（1）已知点C （x ，y ）是点A （﹣1，5），B （10，4）的2联点，求点C 坐标；
（2）已知点P （，） 是点M （1，5）和点N （3，n ）的k 联点，求k 和n 的值；
（3）如图，点D （3，0），若点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的3联点，直线ET 交x 轴于点H ．
①直接写出点H 的坐标 ；
②当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．
10．如图1，在△ABC 中，∠B ＝60°，点M 从点B 出发沿射线BC 方向，在射线BC 上运动．在点M 运动的过程中，连结AM ，并以AM 为边在射线BC 上方，作等边△AMN ，连结CN ．
（1）当∠BAM ＝ °时，AB ＝2BM ；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC 为等边三角形；
①如图1，当△ABC 为等边三角形时，求证：CN +CM ＝AC ；
②如图2，当点M 运动到线段BC 之外（即点M 在线段BC 的延长线上时），其它条件不变（△ABC 仍为等边三角形），请写出此时线段CN 、CM 、AC 满足的数量关系，并证明．
参考答案
1．解：（1）如图1中，延长CB到G，使得BG＝DE，连接AG．∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，
∵DE＝BG，
∴△ADE≌△ABG（SAS），
∴∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，
∵将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH，
∴FA＝FH，∠AFH＝90°，
∴∠FAH＝∠AHF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAF+∠BAG＝45°，
∴∠FAG＝∠FAE，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝BG+BF＝DE+BF，
∴EF＝BF+DE，
∴△ECF的周长＝EF+CF+CE＝BF+CF+DE+CE＝BC+CD＝2x．
（2）如图1中，过点H作HM∥BC交BC的延长线于H．
∵∠ABF＝∠AEH＝∠M＝90°，
∴∠AFB+∠HFM＝90°，∠FHM+∠FHM＝90°，
∴∠AFB＝∠FHM，
∵AF＝FH，
∴△ABF≌△FMH（AAS），
∴HM＝BF，AB＝FM＝BC，
∴BF＝CM＝HM，
∴∠HCM＝∠HCE＝45°，
∴∠HCF＝135°，
由（1）可知，∠AFB＝∠AFE，
∵∠AFB+∠MFH＝90°，∠AFE+∠EFH＝90°，
∴∠MFH＝∠EFH，设∠MFH＝∠EFH＝α，则∠CHF＝45°﹣α，∵∠AHF＝45°，
∴∠EHC＝45°+45°﹣α＝90°﹣α，
∵∠EFC＝2α，
∴∠EHC＝90°﹣∠EFC．
（3）结论：∠EHC＝∠EFC．
理由：如图2中，延长BC到M，设∠HFM＝α．
∵∠HFM＝∠HCM+∠CHF，∠HCM＝∠AHF＝45°，
∴∠CHF＝α﹣45°，
∴∠EHC＝45°﹣（α﹣45°）＝90°﹣α，
∵∠EFC＝2∠AFB＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠EHC＝∠EFC．
2．解：（1）∵CE∥AB，
∴△CEG∽△BDG，
∴＝，
∵在等腰三角形ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的中线，
∴BD＝AB＝2，CD⊥AB，
∴＝，
∴BG＝2，
∴BC＝BG+CG＝2+1＝3，
∴CD2＝BC2﹣BD2＝32﹣22＝5，
∵CE∥AB，CD⊥AB，
∴CD⊥CE，
∴∠DCE＝90°，
∴在Rt△CED中，DE＝＝＝；（2）①∵DE⊥DF，CD⊥AB，
∴∠FDE＝∠CDB＝90°，
∴∠FDB＝∠HDC，
∵BF⊥CF，
∴∠CFB＝∠EDF＝90°，
∴∠CFB+∠DFH＝∠EDF+∠DFH，
∴∠DFB＝∠DHC，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，∴BD＝CD，
在△DFB和△DHC中，，
∴△DFB≌△DHC（AAS），
∴DF＝DH，
∵∠EDF＝90°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF＝DH，即的值为；
②设AC＝BC＝a，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，
∴AB＝AC＝a，AD＝AB＝a，
∴＝＝，
∵AC＝AF，
∴＝＝，
∵∠DAF＝∠FAB，
∴△DAF∽△FAB，
∴＝＝，即BF＝DF，
∵△DFB≌△DHC，
∴CH＝BF，DF＝DH，
∴CH＝DF＝DH，
∵HF＝DH，
∴CH＝FH．
3．（1）证明：∵∠BAC＝DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）解：（1）的结论不成立，成立的结论是BC＝BD﹣BE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
4．解：（1）①结论：DF⊥EF，DF＝EF．
理由：如图1中，取AB，AC的中点M，N，连接DN，FN，FM，ME．
∵BF＝CF，BN＝AN，AM＝CM，
∴FN∥AC，FM∥AB，FN＝AM＝FM＝AN，
∵△ABD是等边三角形，BN＝AN，
∴DN⊥AB，DN＝AN＝FN，
∵EA＝EC，EM⊥AC，∠AEC＝120°，
∴EM⊥AC，∠AEM＝∠CEM＝60°，
∴AM＝EM＝FM，
∴＝，
∴＝，
∵∠DNF＝∠EMF＝120°，
∴△DNF∽△FME，
∴＝＝，∠DFN＝∠MEF，
∴DF＝EF，
∵∠MFE+∠MEF＝30°，
∴∠DFN+∠MFE＝30°，
∵∠MFN＝∠BAC＝60°，
∴∠DFE＝90°，即DF⊥EF．
故答案为DF＝EF，DF⊥EF．
②如图2中，作DM⊥CB延长线于点M．
∴∠DMB＝90°，
∵△ABC为等边三角形，等边△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°，BD＝AB＝BC＝2，
∴BF＝1，
∴Rt△BDM中，MB＝1，DM＝，
∴Rt△BDF中，DF＝．
（2）分别取AB、AC中点G、H，分别连接DG，FG，EH，FH．
∴FH∥AB，FH＝AG＝，FG∥AC，FG＝AH＝，
∴∠FHC＝∠BAC＝∠FGB，
∵AB＝AC，
∴四边形AGFH为菱形，
∵等边△ABD，△ACE中AE＝CE，
∴DG⊥AB，HE⊥AC，
∴∠FGD＝∠FGB+∠DGB＝∠FHC+∠CHE＝∠FHE，
∵等边△ABD中，AB中点G，
∴DG＝GF，
∵△ACE中AE＝CE，∠AEC＝120°，
∴HF＝HE，
∴△DFG∽△FEH（SAS），
∴DF＝FE，∠EFH＝∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF+∠BGF+∠BGD＝180°，其中∠BGD＝90°，∠BGF＝∠GFH，∴∠DFE＝90°，即DF⊥EF．
（3）由（1）（2）可以得出结论：DF＝EF，
∵△ABC是锐角三角形，
∴当∠ACB＝90°时，EF＝2•CF•cos60°＝，此时DF＝3，
当△ECF是等边三角形时，可以证明∠BAC＝90°，
此时EF＝CF＝1，DF＝，
观察图象可知：＜DF＜3．
5．证明：（1）如图1，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥BC，BF＝DE，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠EFC＝∠B，
∴∠C＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴EF+EA＝EC+AE＝AC＝AB；
（2）如图2，EF＝AB+AE，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵DE∥BC，BF＝DE，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴EF＝DB，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠DEA，∠EDB＝∠ABC，
∴∠DEC＝∠EDB，
∴AE＝AD，
∴EF＝BD＝AB+AE；
如图3，AE＝AB+EF，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，BF＝DE，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠EFC＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠ECF＝∠EFC＝∠ABC，
∴CE＝EF，
∴AE＝AC+CE＝AB+EF；
（3）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
＝48＝AB×CH，
∵S
△ABC
∴CH＝＝，
∴AH＝＝＝，∴BH＝AB﹣AH＝，
∴BC＝＝＝12，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝＝，
∵EF+EA＝AB，
∴EF＝，
如图2，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝＝，
∵EF＝AB+AE，
∴EF＝，
如图3，∵BC＞DE，与图不符合，
∴不存在，
综上所述：EF为或，
故答案为：或．
6．解：（1）在Rt△OCB中，∠OCB＝30°，∴BC＝2OB＝4，
由勾股定理得，OC＝＝2，∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴AC＝2OC＝4，
由勾股定理得，OA＝＝6，
∴A点的坐标为（6，0）；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x+2，
如图1，由题意得，AE＝t，
∵∠OAC＝30°，
∴EG＝t，
由勾股定理得，AG＝＝t，
∴OG＝6﹣t，
∴点M的坐标为（6﹣t，8﹣t）
∴d＝EM＝8﹣t﹣t＝﹣2t+8（0＜t≤4）；（3）如图2，∠CBN＝90°，
作EH⊥BN交BN的延长线于点H，
∵∠CBN＝90°，EH⊥BN，∠BOE＝90°，
∴四边形CBHE为矩形，
∴BH＝CE＝4﹣t，
∵∠ENF＝90°，∠FBN＝90°，
∴∠NFB＝∠ENH，
在△NFB和△ENH中，
，
∴△NFB≌△ENH（AAS）
∴BN＝EH＝4，BF＝EN＝t，
∴4+t＝4﹣t，
解得，t＝2﹣2，
如图3，∠CNB＝90°，
同理可知，△BNF≌△CNE（AAS）
∴BF＝CE，
∴t＝4﹣t，
解得，t＝2，
综上所述，t＝2﹣2或2时，△CNB为直角三角形．
7．（1）证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC；
（2）证明：过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，如图2所示：
又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴OM＝ON，ON＝OK，
∴OM＝OK，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴OA平分∠BAC；
（3）过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图3所示：
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝90°+∠BAC＝90°+×60°＝120°，
∴∠BOD＝∠COE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠COF＝∠BOC＝×120°＝60°，
∴∠BOF＝∠BOD，∠COF＝∠COE，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴OM＝ON，∠OBF＝∠OBD，∠OCF＝∠OCE，
在△BOF和△BOD中，，
∴△BOF≌△BOD（ASA），
∴BF＝BD＝4，
在△COF和△COE中，，
∴△COF≌△COE（ASA），
∴CF＝CE＝2，
∴BC＝BF+CF＝4+2＝6，
∵＝＝，＝＝，∴＝＝＝．
8．解：（Ⅰ）如图①中，过点A′作A′C⊥OA于C．
∵A（2，0），B（2，2），
∴OA＝OB＝2，∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝∠ABO＝45°，OB＝AB＝2，
∵△A′A′B是由△OAB绕B旋转得到，α＝45°，
∴A′B＝AB＝2，点A′落在线段OB上，
∴OA′＝OB﹣A′B＝2﹣2，
∴OC＝CA′＝（2﹣2）＝2﹣，
∴A′（2﹣，2﹣）．
（Ⅱ）如图②中，连接AA′，过点A′作A′D⊥OA于D．
∵A′B＝AB＝2，∠ABA′＝α＝60°，
∴∠A′AB＝∠AA′B＝60°，AA′＝AB＝A′B＝2，
∴∠A′AO＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△A′AD中，A′D＝AA′＝1，AD＝AA′＝，
∴OD＝OA﹣AD＝2﹣，
∴A′（2﹣，1）．
（Ⅲ）如图③中，延长O′A′到D，使得A′D＝A′O′，在OA的延长线上取一点C，使得AC＝OA，取AB的中点H，ZD的中点P，连接PH，CH，PC，BC，BD，CD，OO′．
∵∠OBC＝∠O′BD，
∴∠O′BO＝∠DBC，
∵BO′＝BO＝BD＝BC，
∴△O′BO≌△DBC（SAS），
∴OO′＝CD，∠BO′O＝∠BCD，
∵∠BCA＝∠BO′A′＝45°，
∴∠OO′A′＝∠ACD，
∵A′O′＝CA，
∴△A′A′O≌△CAD（SAS），
∵OM＝MA′，DP＝PA，
∴O′M＝PC，
∵AP＝PD，AH＝HB，
∴PH＝BD＝，
∵CH＝＝＝，
∴PC≥CH﹣PH，
∴PC≥﹣，
∴PC的最小值为﹣，
∴O′M的最小值为﹣．
9．解：（1）∵点C（x，y）是点A（﹣1，5），B（10，4）的2联点，∴x＝＝，y＝＝，
∵点C坐标（，）；
（2）∵点P（，）是点M（1，5）和点N（3，n）的k联点，∴＝，＝，
∴k＝3，n＝0；
（3）①由题意得：x＝（t+3）＝t+1，y＝（2t+3）＝t+1，∴点T（t+1，t+1），
设直线ET解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：k＝﹣b，
∴直线ET解析式为：y＝﹣bx+b，
当y＝0时，x＝，
∴点H（，0），
故答案为：（，0），
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的3联点得：
t＝，2t﹣1＝，
解得：t＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的3联点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，如图3所示，
过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，
则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，
D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）
则MT＝3﹣＝，MD＝，
NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，
由tan∠MDT＝tan∠NTE得：＝，
解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．
10．解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；
（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB＝AC；
①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN；
②成立，
理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN。