厦门市一中八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）
A ．40064-
B ．2240064-
C ．2240064-
D ．40064+ 2．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ） A ．AC BD ⊥ B ．AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．ADB ABD ∠=∠ 3．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）
A ．OA
B OBA ∠=∠；
B ．OAB OB
C ∠=∠； C ．OAB OC
D ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．
4．如图，在菱形ABCD 中，对角线BD ＝4，AC ＝3BD ，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．6
5．下列命题中，错误的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是梯形；
B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
C ．对角线相等的平行四边形是矩形；
D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．
6．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；
②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．①③④⑤
D ．②③④⑤ 7．如图，在正方形 ABCD 内有一个四边形AECF ，A
E E
F ⊥， CF EF ⊥且8AE CF ==，12EF =，则图中阴影分的面积为（ ）
A ．100
B ．104
C ．152
D ．304
8．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）
A ．BAD BDA ∠=∠
B ．AB DE =
C ．DF EF =
D ．D
E 平分ADB ∠ 9．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边
形ABCD 的周长是（ ）
A ．16
B ．14
C ．20
D ．24
10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
11．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①BDF 是等腰三角形 ②12
DE BC =
③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）
A ．5
B ．8
C ．11或5
D ．11或14
二、填空题
13．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．
14．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）
15．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．
16．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．
18．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．
19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．
20．如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，作AE l ⊥于E ，连结CE ，若4BE =，3AE =，则BCE 的面积________．
三、解答题
21．如图所示，小明在测量旗杆AB 的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C 处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D 处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB 的高度是多少米？
22．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；
②作边AC 的中点E ，连接DE ；
（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．
23．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．
（1）求证：AM ∥CN ；
（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．
24．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．
（1）证明：四边形BEFG 是正方形；
（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．
25．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，延长AE 到点N ，使AE EN =，连接CN 、CE ．
（1）求证：CAN △为直角三角形．
（2）若45AN =，正方形的边长为6，求BE 的长．
26．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．
（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．
（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．
【详解】
设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，
则2400c =，264b =，
如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：
22240064a c b =-=-，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．
2．B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可．
【详解】
⊥，
解：四边形ABCD是矩形，AC BD
∴矩形ABCD是正方形；
四边形ABCD是矩形，
∴，
//
AD BC
∴∠=∠，
DAC BCA
AC平分BAD
∠，
BAC DAC
∴∠=∠，
∴∠=∠，
BAC ACB
=，
∴AB BC
∴矩形ABCD是正方形；
∠=∠，
ADB ABD
=，
∴AB AD
∴四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD是正方形；
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法．3．D
解析：D
【分析】
根据菱形的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAB=∠ACD，
∵∠OAB=∠OAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
4．C
解析：C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】
解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积为1
2AC×BD＝
1
124
2
⨯⨯＝24．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．
5．A
解析：A
【分析】
根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．
6．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出
∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出
∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，
∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，
在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，
BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩
，
∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），
∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；
∴四边形EFGH 是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；
∴EH ⊥GH ，④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
7．B
解析：B
【分析】
由题意可证四边形AECF 是平行四边形，可得AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12
EF ＝6，由勾股定理可求AO ＝10，可得AC ＝20，由阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF 可求解．
【详解】
解：连接AC ，
∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，
∴AE ∥CF ，且AE ＝CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AO ＝CO ，EO ＝FO ＝
12EF ＝6， ∴AO 22AE EO +10，
∴AC ＝20， ∴阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF ＝
20202⨯-8×12＝104， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
8．D
解析：D
【分析】
先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠DAB=∠EBA ，
∵点F 是AB 的中点，
∴AF=BF ，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∠=∠时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合A、当BAD BDA
题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
D、当DE平分ADB
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在平行四边形ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴平行四边形ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于24
5
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不
是同一条，可得正确的为D选项．
【详解】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，
∴2222
8610
AB AC BC
+=+=，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解】
解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF是等腰三角形，
∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
BC，故②正确；
2
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
12．C
解析：C
【分析】
△与AOB的周长相差3，可分情况得根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD
出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=AO，
△与AOB的周长相差3，
∵AOD
∴AB-AD=3，或AD-AB=3，
∵AB=8，
∴AD的长为5或11，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
二、填空题
13．75【分析】由将正方形纸片对折折痕为MN 可得MA=MD=由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB 可推出AH=AD=2AM 可求∠AHM=30°利用平行线性质可求∠BAH=30°在△AHB
解析：75．
【分析】
由将正方形纸片对折，折痕为MN ，可得MA=MD=1AD 2
，由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB ，可推出AH=AD=2AM ，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB 由内角和可求∠ABH=75︒即可．
【详解】
解:∵正方形纸片对折，折痕为MN ，
∴MN 是AD 的垂直平分线 ，
∴MA=MD=1AD 2
， ∵把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，
∴AB=AH ，
∵四边形ABCD 是正方形 ，
∴AD=AB ，
∴AH=AD=2AM ，
∵∠AMH=90°，AM=
1AH 2
， ∴∠AHM=30°，
∵MN ∥AB ，
∴∠BAH=30°，
在△AHB 中，AH=AB ， ∴∠ABH=
()()11180BAH 180307522
︒-∠=︒-︒=︒． 故答案为：75．
【点睛】 本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．
14．①③④【分析】连接EH 得出平行四边形EHBG 推出BG=EH 求出∠CEF=∠AFC 得出CE=CF 证△CAE ≌△HAE 推出CE=EH 即可得出答案【详解】解：如图连接EH ∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9
解析：①③④
【分析】
连接EH ，得出平行四边形EHBG ，推出BG=EH ，求出∠CEF=∠AFC ，得出CE=CF ，证△CAE ≌△HAE ，推出CE=EH ，即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接EH ，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC=90°，
∴∠B+∠4=90°，
∴∠3=∠B ，故①正确；
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，
∵AE 平分∠CAB ，
∴∠1=∠2，
∵∠AED=∠CEF ，
∴∠CEF=∠AFC ，
∴CE=CF ，
∴△CEF 是等腰三角形，故②错误；
∵AF 平分∠CAB ，FH ⊥AB ，FC ⊥AC ，
∴FH=FC ，
在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，
AF AF CF FH
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），
∴AC=AH ，
在△CAE 和△HAE 中，
12AC AH AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CAE ≌△HAE （SAS ），
∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，
∵∠3=∠B ，
∴∠AHE=∠B ，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF是平行四边形，
∴CE=FH，
∴CD=CE+DE=FH+DE，故③正确；
∵EG∥AB，EH∥BC，
∴四边形EHBG是平行四边形，
∴EH=BG，
∵CE=EH，
∴BG=CE．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
15．【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可
解析：112
【分析】
根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是
ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到
∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．
【详解】
解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP=12
EC ， NP 是ΔDBC 的中位线
∴NP=
12
BD ， 又∵BD=CE
∴MP=NP ∴∠PMN=∠PNM=34∘
∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘
故答案位：112°
【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．
16．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的 解析：
202021
2
【分析】 由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：
111121,22
A B C ABC C C ==
2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．
【详解】
解：探究规律：
AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=， 111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，
111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=
== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222
A B C A B C C C ==⨯= ······
总结规律：
21,2n n n A B C n
C =
运用规律：
当2020n =时，202020202020202021.2A B C C = 故答案为：
2020
21.2 【点睛】
本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 17．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出
OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析：18-a ．
【分析】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．
【详解】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，
∵点()9,9A ，
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，
四边形AEOD 为正方形，
∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD ，
∵AB AC =，AE=AD ，
∴△AEB ≌△ADC （SAS ），
∴BE=CD ，
∵EB=EO-BO=9-a ，
∴CD=9-a ，
OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，
故答案为：18-a ．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
18．【分析】由▱ABCD中BE⊥ADBF⊥CD可得∠D=120°继而求得∠A与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC的长继而求得答案【详解】解：
∵BE⊥ADBF⊥CD∴∠BFD=∠BED=∠BFC
91
【分析】
由▱ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，可得∠D=120°，继而求得∠A与∠BCD的度数，然后由勾股定理求得AB，BE，BC的长，继而求得答案．
【详解】
解：∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，
∵∠EBF=60°，
∴∠D=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCD=∠A=60°，
∵在△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴CD=AB=6，2233
-=
AB AE
∴CF=CD-DF=6-2=4，
∵在△BFC中，∠CBF=30°，
∴BC=2CF=2×4=8，
∴2291
+
BE BC
91
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适
合，注意掌握数形结合思想的应用．
19．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形
解析：65
【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】
解：如图所示，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE ，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠D=∠B=65°．
故答案是：65．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 20．8【分析】过C 作于点F 根据正方形的性质找出对应相等的边和角求证出得到即可求三角形的面积【详解】如图所示过C 作于点F 四边形ABCD 是正方形又又在和中故答案为8【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等 解析：8
【分析】
过C 作CF l ⊥于点F ，根据正方形的性质找出对应相等的边和角，求证出ABE BCF ≅得到 4CF BE ==即可求三角形的面积．
【详解】
如图所示，过C 作CF l ⊥于点F ，
四边形ABCD 是正方形，
AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，
又AE BE ⊥，CF BF ⊥，
90AEB BFC ∴∠=∠=︒，
又
18090ABE CBF ABC ∠+∠=︒-∠=︒，
18090ABE BAE AEB ∠+∠=︒-∠=︒，
CBF BAE ∴∠=∠，
∴在ABE △和BCF △中， AEB BFC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AAS ABE BCF ∴≅，
4CF BE ∴==，
12BCE S BE CF ∴=⨯⨯1442
=⨯⨯8=， 故答案为8．
【点睛】
此题考查了正方形的性质和三角形全等的判定，以及三角形面积的公式，难度一般．
三、解答题
21．旗杆AB 的高度为10.6米
【分析】
过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222
( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．
【详解】
解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，
∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC
∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，
∴四边形BCDE 为长方形，
∴ 1.5BE CD ==米，
设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米， 在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，
∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，
整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，
即3.638.16x =，
解得10.6x =．
答：旗杆AB 的高度为10.6米．
【点睛】
本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．
22．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】
（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到BAC
∠的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得
1
5
2
BD BC
==，AD BC
⊥，用勾股定理求出AB
的长，再根据中位线的性质得到DE的长．【详解】
解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152
BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =
+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点， ∴1 6.52
DE AB =
=， 故答案是：6.5．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．
（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD 且AB CD =．
∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点， ∴12CM CD =，1AN AB 2
=
． ∴CM AN =．
又∵AB ∥CD ，
∴四边形ANCM 是平行四边形
∴AM ∥CN ．
（2）设BH 与CN 交于点E ，
∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，
∴BH ⊥CN ，
∵N 是AB 的中点，
∴EN 是△BAH 的中位线，
∴BE=EH ，
∴CN 是BH 的垂直平分线，
∴CH=CB ，
∴△BCH 是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522【分析】
（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；
（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；
（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，
90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形BEFG 是正方形；
（2）CE CF =，理由如下：
过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，
四边形ABCD 是正方形，
90BAD ∴∠=︒，AB AD =，
90BGA ∠=︒，
90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，
DAH ABG ∴∠=∠，
在Rt ADH 和Rt BAG 中，
90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，
DH AG ∴=，
∵∠DGH =180°-∠AGD =45°
∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°
∴DH =GH =AG ∴1122AG GH AH BG ==
= 又AG CE =，EF BG =，
2EF CE ∴=，
CE CF ∴=；
（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．
设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，
在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，
222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，
解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，
即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，
∵四边形BEFG 是正方形，
∴∠BAD =90°．
∵DK ⊥AG ，
∴∠K =90°．
∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°
∠ADK +∠KAD =90°
∴∠BAG =∠ADK
在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，
90G K AB AD
BAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以Rt △ADK ≌Rt BAG ，
则AK =BG =12，DK =AG =5，
∵AF +FK =AK =BG=GF=AG +AF
∴FK =AG =5
在R t △DFK 中，根据勾股定理可得，
DF 2252DK FK +=
②点F 在AB 左侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．
方法同①，可得FK =AG =12，
在R t △DFK 中，根据勾股定理可得，
DF 22122DK FK +=综上所述，DF 的长为522
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．
25．（1）见解析；（2）42BE =
【分析】
（1）由四边形ABCD 是正方形，易证得△ABE ≌△CBE ，继而证得AE=CE ，再由AE=CE ，AE=EN ，即可证得∠ACN=90°，则可判定△CAN 为直角三角形；
（2）由56，易求得CN 的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE 的长，继而求得答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB ，
在△ABE 和△CBE 中，
AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE=CE ；
∵AE=CE ，AE=EN ，
∴∠EAC=∠ECA ，CE=EN ，
∴∠ECN=∠N ，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴∠ACE+∠ECN=90°，
即∠ACN=90°，
∴△CAN 为直角三角形；
（2）∵正方形的边长为6， ∴
AC BD == ∵
90,ACN AN ∠=︒= ∴
CN ==
∵,OA OC AE EN ==，
∴12OE CN =
=
∵12
OB BD == ∴
BE OB OE =+=
【点睛】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，
∵DC CE =，
∴AB CE =，
∴四边形ABEC 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，
∵四边形ABEC 是平行四边形，
又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，
∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，
∴FC FE =，AE BC =，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。