四川省威远中学高考数学总复习 第30讲《数列的概念与通项公式》同步测控

数列的概念与通项公式] 1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则其通项公式a n ＝( ) A ．3·2n －1 B ．2·3n －1 C ．2n D ．3n
2.(教材改编)数列2，5，22，…，则25是该数列的( )
A ．第6项
B ．第7项
C ．第10项
D ．第11项
3.(2013·东莞模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )
A ．－55
B ．－5
C ．5
D ．55
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
5.已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋λn ，且{a n }是递减数列，求实数λ的取值范围是__________．
6.(2010·江苏卷)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14
(a n 2＋3)，n ∈N *，若对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n ，则a 1的取值范围是________________．
7.已知整数对排列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第60个整数对是__________．
8.f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如：142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f (14)＝17；记f 1(n )＝f (n )，
f 2(n )＝f [f 1(n )]，…，f k ＋1(n )＝f [f k (n )]，k ∈N *，则f 2012(8)＝______．
9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1（3n －1）2
(n ∈N *)，且a 4＝54，求： (1)a 1的值；
(2)通项a n .
10.设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ＝1，2，…)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)判断数列{a n }的单调性．
第30讲
1．B 2.B 3.C 4.B 5.(－∞，3) 6.(0，1)∪(3，＋∞)
7．(5，7) 解析：观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5
的4个，和为n ＋1的n 个，于是，借助1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2
估算，取n ＝10，则第55个整数对为(10，1)，第56个整数对为(1，11)，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为(5，7)．
8．5 解析：因为f 1(8)＝6＋5＝11，f 2(8)＝1＋2＋2＝5，f 3(8)＝2＋6＝8，f 4(8)＝11，f 5(8)＝5，f 6(8)＝8，…，f 2011(8)＝f 1(8)＝11，f 2012(8)＝f 2(8)＝5.
9．解析：(1)因为S 4＝a 1（34－1）2，S 3＝a 1（33－1）2
， 所以a 4＝S 4－S 3＝27a 1＝54，即a 1＝2.
(2)因为S n ＝2（3n －1）2，所以S n －1＝2（3n －1－1）2
(n ≥2)， 所以a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．
显然a 1＝2满足a n ＝2·3n －1，
所以数列{a n }的通项a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．
10．解析：(1)由f (2a n )＝2n ，得log 22a n －log2a n 2＝2n ，
所以a n －1a n
＝2n ，即a n 2－2na n －1＝0， 解得a n ＝n ±n 2＋1.
但0<x <1，即0<2a n <1，所以a n <0.
所以a n ＝n －n 2＋1(n ＝1，2，…)．
(2)因为a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋1n －n 2＋1
＝n ＋n 2＋1（n ＋1）＋（n ＋1）2＋1
<1， 由a n <0(n ＝1，2，…)，知a n ＋1>a n .
故数列{a n }是递增的数列．。