2020学年高二数学上学期期末联考试题 文 人教版新版
福建省福州市四校联盟2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题(含答案解析)
福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、连江文笔中学、长乐高级中学、元洪中学）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．22．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a=，AD b = ，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+ D ．1122a b c-+ 4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）A ．2B ．7C ．14D ．285．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．4B ．9C ．10D ．186．已知点(1,3)A ，(2,1)B --.若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(,2]-∞-C ．1(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知椭圆C ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B．2C．3D．38．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋅⋅⋅，即()()121F F ==，()()*1(2)(3,)F n F n F n n n =-+-≥∈N ，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（）A ．1346B ．673C ．1347D ．1348二、多选题9．以下能判定空间四点P 、M 、A 、B 共面的条件是（）A ．23MP MA MB=+ B ．111236OP OA OB OM=++ C ．0PM AB ⋅=uuu r uu u r D ．PM AB10．已知曲线22:1C mx ny +=，（）A ．若0m n >>，则CB ．若0m n >>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线D ．若0mn >，则C 是椭圆11．已知圆22:20C x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．212．设等比数列{an }的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a --<0.则下列结论正确的是（）A ．0<q <1B ．a 7a 9<1C ．Tn 的最大值为T 7D ．Sn 的最大值为S 7三、填空题13．已知空间向量(1,2,3)a =- ，(2,2,1)b = ，则向量a 在向量b上的投影向量是_____________.14．数列{}n a 中，11a =，132(2)n n a a n -=+≥，则此数列的通项公式n a =_________.15．已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F ，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________.16．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与11A C 之间的距离是__________.四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，*12,n n a a n +=∈N ，数列{}n b 等差数列，且12b a =，3234b a a a =++.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .18．已知空间三点()()()202112304,,，,,，,,A B C ---，设a AB = ，b AC = ．(1)若3c = ，BC c ∥，求c.(2)求a 与b的夹角的余弦值;(3)若ka b + 与2ka b -互相垂直，求k ．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0,120A OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =.(1)求直线BC 的方程；(2)求OAB 的外接圆M 的方程.20．如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．21．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2221n n n S a a =+-，*n ∈N .(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若数列{}n b 满足12nn n a b -=，记12n n T b b b =+++ ，证明：3n T <.22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，，离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB取得最大值时，求MAB △的面积．参考答案：1．C【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为e ca==，故选C ．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c =+=+=+-=-++uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r r r r，根据空间向量基本定理可知：只有1122-++ a b c 与BM相等.故选：A.4．C【分析】由等差数列的性质与前n 项和公式求解，【详解】由题意得4536a a a a +=+，则42a =，而17747()7142a a S a +===，故选：C 5．C【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p =，即可得结果.【详解】由题意可得：22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点为()04,A y ，则492pAF =+=，解得10p =，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p =.故选：C.6．D【分析】由题意，求直线所过的定点，作图，根据斜率的变化规律，可得答案.【详解】由直线方程()21y k x =-+，令=2x ，解得=1y ，故直线过定点()2,1，如下图：则直线PA 的斜率13221PA k -==--，直线PB 的斜率111222PB k +==+，由图可知：12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D.7．D【分析】由题意画出图形，可得222b b c +=，再由222a b c =+结合离心率公式求解．【详解】如图，由题意可得，222b b c +=，即()2222a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．8．C【分析】由已知条件写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.【详解】由题意可得：若0n a =，等价于()F n 为偶数，若1n a =，等价于()F n 为奇数，则1234561,1,0,1,1,0,a a a a a a ======⋅⋅⋅，猜想：*1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩N ，当1k =时，1231,1,0a a a ===成立；假设当()*1k m m =≥∈N 时，323131,1,0m m m a a a --===成立，则()()32,31F m F m --为奇数，()3F m 为偶数；当1k m =+时，则()()()31313F m F m F m +=-+为奇数，()()()32331F m F m F m +=++为奇数，()()()333132F m F m F m +=+++为偶数，故3132331,1,0m m m a a a +++===符合猜想；得证*1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩N ，则连续三项之和为2，故数列{}n a 的前2020项的和为()1232020167321347a a a a +++⋅⋅⋅+=+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.9．ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.【详解】对A ：若23MP MA MB =+，结合向量基本定理知：,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r 为共面向量，故四点P 、M 、A 、B 共面，A 正确；对B ：若111236OP OA OB OM =++ ，且1111236++=，结合向量共面的性质知：四点P 、M 、A 、B 共面，B 正确；对C ：若0PM AB ⋅=uuu r uu u r，则PM AB ⊥，可知直线,PM AB 的位置关系：异面或相交，故四点P 、M 、A 、B 不一定共面，C 错误；对D ：若PM AB，可知直线,PM AB 的位置关系：平行或重合，故四点P 、M 、A 、B 共面，D 正确；故选：ABD.10．AC【分析】根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质逐项分析判断.【详解】对A 、B ：若0m n >>，则110m n<<，由于221mx ny +=，即22111x y m n+=，表示焦点在y 轴的椭圆，则2211,a b n m ==，可得c e a =故A 正确，B 错误；对C ：若0mn <，即,m n 异号，则11,m n异号，当110,0m n><故221mx ny +=，即22111x y m n-=-表示焦点在x 轴上的双曲线；当110,0m n<>故221mx ny +=，即22111y x n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，综上所述：若0mn <，则C 是双曲线，C 正确；对D ：若0mn >，曲线C 不一定是椭圆，例如0m n =>，曲线C 是圆，D 错误；故选：AC.11．AB【分析】由题意可得圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于2，利用点到直线的距离公式求得k 的范围，可得结论.【详解】圆22:20C x y x +-=即()2211x y -+=，则圆心为()1,0C ，半径1r =，依题意圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于22>，解得3333k ---+<<，又Z k ∈，所以2k =-或1-或0.故选：AB 12．ABC【分析】依题意可得a 1>1，0<q <1，进而可得结果.【详解】∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴a 7>1，0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；27981a a a =<，故B 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，所以T 7是Tn 中的最大项，故C 正确；因为a 1>1，0<q <1，所以Sn 无最大值，故D 错误.故选：ABC.13．221,,999⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的计算公式，代值计算即可.【详解】由题意可得：()1222311,3a b b ⋅=⨯+-⨯+⨯===r r r ，则向量a 在向量b上的投影向量是()21221cos ,,,9999b a b b a b a a ba b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎪ =⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭r r rr r r r r r r rr r r r r r .故答案为：221,,999⎛⎫⎪⎝⎭.14．1231n -⨯-【分析】依题意可得()1131n n a a -+=+，即可得到{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】因为132(2)n n a a n -=+≥，所以()1131n n a a -+=+，又11a =，所以112a +=，所以{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯，则1231n n a -=⨯-.故答案为：1231n -⨯-15．6【分析】利用双曲线的性质，得到122PF PF =+，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知1222PF PF a -==，得到122PF PF =+，所以12222PF PQ PF PQ QF +=++≥+，而(()20,,2,0Q F ，所以24QF =，所以最小值为6.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．16【分析】建系，求利用空间向量设点,M N ，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A D A C ，可得()()1111,0,1,1,1,0=AD AC -=-uuu r uuu u r ，设()()1111000111,,,,,,,AM AD A N A C M x y z N x y z λμ==uuu r uuu r uuu r uuu u r ，则()001,0,=AM x z -uuu r ，可得00010x y z λλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即00010x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()1,0,M λλ-，同理可得：()1,,1N μμ-，则MN =，当且仅当2λμ=时，等号成立，3，当且仅当23λ=时，等号成立，故MN ≥，当且仅当223λμ==，即111121,33AM AD A N A C ==uuu r uuu r uuu r uuu u r 时等号成立，即直线1AD 与11A C【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：（1）建立适合的坐标系并标点；（2）将图形关系转化为数量关系；（3）代入相应的公式分析运算.17．(1)12n n a -=，64n b n =-(2)2231=-+-n n S n n 【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出n a ，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得1,b d ，即可求得n b ；（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n 项和公式，直接求解即可.【详解】（1）由题意可知：数列{}n a 是以首项为11a =，公比2q =的等比数列，故11122n n n a --=⨯=，等差数列{}n b 的公差为d ，则12312342214b a b b d a a a ==⎧⎨=+=++=⎩，解得126b d =⎧⎨=⎩，故()26164n n b n =+-=-.（2）由题意可得：()()()121122n n n n c c c a b a b a S b =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()()()()112121222864n n n a a a b b b n -=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()226412231122n n n n n n +--=-=-+--，故2231=-+-n n S n n 18．(1)()2,1,2c =-- 或()2,1,2c =-(2)10(3)2k =或52k =-．【分析】对于（1），设出向量c的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示可得答案.对于（2），利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得答案.对于（3），运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方可得答案.【详解】（1）因()2,1,2BC =-- ，且BC c ∥，则可设()22,,c λλλ=-- .又3c =33λ==，得1λ=±.故()2,1,2c =-- 或()2,1,2c =-.（2）由题可得()1,1,0a AB == ，()1,0,2b AC ==- .则10cos ,a ba b a b⋅===⋅.（3）由（2）得a = ，b = 1a b ⋅=- .又ka b + 与2ka b -互相垂直，则()()02ka ka b b -+⋅= 22220k a ka b b ⇔-⋅-= 22220k aka b b⇔-⋅-= 22100k k ⇔+-=.解得：2k =或52k =-19．0y +-=(2)()(2214x y -+-=【分析】（1）根据题意求点,B N 的坐标，根据直线的点斜式方程运算求解；（2）设OAB 的外接圆的一般式方程，代入点,,O A B ，解出,,D E F ，即可得结果.【详解】（1）过点B 作BM x ⊥轴，垂足为M ，由题意可得：60BAM ∠=︒，则cos 1,sin AM AB BAM BM AB BAM=∠==∠故点(B ，延长CB 交x 轴于点N ，由题意可得：60ABN ∠=︒，则ABN 为等边三角形，可得2AN AB ==，即点()4,0N ，则直线BC的斜率034k==-所以直线BC 的方程为)4y x =-0y +-=.（2）由（1）可得：()()(0,0,2,0,O A B ，设OAB 的外接圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则04201230F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得20D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故OAB 的外接圆M的方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+-=.20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,,1,0,2,0,,A B A B C -因此111112),(1,2),(0,23)AB A B AC ==-= ,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB AC ⋅=得111AB A C ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD.由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ==得111111cos C A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(1,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(n =，所以111sin cos ,||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线ABd =1sin d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C A C ===2221111111111111cos 2A B B C AC A B C A B B C +-∠==⋅111sin A B C ∠=于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故1sin d AC θ===［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得111sin sin sin213C AA BAC θ=∠⋅∠=．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得11sin cos ,cos cos AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉 ．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB 所成的角．易得CE =，CG =sin13CG CEG CE ∠=．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AAC C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．21．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用n a 与n S 的关系，即可证明{}n a 是等差数列（2）利用错位相减法求得n T ，可以证明3n T <【详解】（1））当1n =时，2111221S a a =+-，得11a =，当2n ≥时，2111221n n n S a a ---=+-，又2221n n n S a a =+-，两式相减得，2211222n n n n n a a a a a --=-+-，整理得221122n n n n a a a a --+=-，∵10n n a a -+≠，∴112n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列.（2）由（Ⅰ）可知，数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故1122n n n na nb -+==，∴2231222n n n T +=+++ ①，23112312222n n n T ++=+++ ②，①－②得，231111111111111122222222n n n n n n n T +-+++⎛⎫=++++-=+-- ⎪⎝⎭ ，故111333222n n n nn n T -++=--=-，∴3n T <.【点睛】.22．（1）22:142x y C +=；（2）2【分析】(1)由左顶点M 坐标可得a=2，再由ce a=可得c ，进而求得椭圆方程．(2)设l 的直线方程为1x ty =+，和椭圆方程联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(2)230t y ty ++-=，由于0∆>，可用t 表示出两个交点的纵坐标12y y +和12y y ⋅，进而得到MA MB的关于t 的一元二次方程，得到MA MB取最大值时t 的值，求出直线方程，而后计算出MAB △的面积．【详解】(1)由题意可得：2a =，2c a =，得c =2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程:22:142x y C +=(2)当直线l 与x 轴重合，不妨取(2,0),(2,0)A B -，此时0MA MB =当直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为：1x ty =+,设1122(,),(,)A x y B x y ，联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，显然0∆>，12222t y y t -+=+，21232y y t -⋅=+.所以1212(2)(2)MA MB x x y y =+++1212(3)(3)ty ty y y =+++21212(1)3()9t y y t y y =++++22232(1)3922tt t t t --=+++++22233692t t t ---=++229392t t --=++2152t =+当0=t 时，MA MB 取最大值152.此时直线l 方程为1x =，不妨取(1,A B，所以AB =又3MN =,所以MAB ∆的面积132S =【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题．。
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】求得倾斜角的正切值即得．【详解】k =tan120°=故选：B ．2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为1100000，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是（ ） A ．② ③ B ．③④ C ．①②③④ D ．②【答案】D【解析】根据随机事件、必然事件的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾，所以①不是必然事件； 因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件； 因为某彩票中奖的概率为1100000，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件. 故选：D .3．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．250x y --= B ．270x y -+= C ．210x y +-= D ．250x y +-=【答案】B【分析】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，将点(1,3)-代入即可求解. 【详解】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．4．已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线250x y -+=截得的弦长为4，则O 的方程为（ ） A ．224x y += B ．228x y += C ．228x y += D ．229x y +=【答案】D【分析】设圆O 的方程为222x y r +=，结合圆的弦长公式，列出方程，求得2r 的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆O 的标准方程为222x y r +=， 则圆心(0,0)O 到直线250x y -+=的距离为22552(1)d ==+-，又由圆O 被直线250x y -+=截得的弦长为4， 可得2224r d -=，化简得22(5)4r -=，解得29r =， 即圆的方程为229x y +=. 故选：D.5．如图，长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（ ）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【分析】先求出点B 和点D 的坐标，再利用中点坐标公式即可求解.【详解】长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12， 所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD'的中点P点坐标为010010012,,222P+++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.6．某农村中学高中部有高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为（）A．100 B．120 C．140 D．160【答案】C【分析】根据分层抽样的性质即可求解.【详解】由表格中，可得样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：20614-=人，所以，该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：1420014020⨯=人.故选:C.7．若实数x、y满足约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则12yzx+=-的最小值为（）A．-2 B．3 2 -C．-1 D．1 2 -【答案】A【解析】画出约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，再由12yzx+=-为点()x y，与点P()21-，确定的直线的斜率求解.【详解】画出约束条件2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图所示阴影部分：因为12y z x +=-可以看作经过点()x y ，与点P ()21-，的直线的斜率， 结合图像易知，当直线经过点()11A ，时，斜率最小， 所以12y z x +=-的最小值为11212+=--， 故选：A8．某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是（ ） A ．16B ．25C ．35D ．23【答案】C【分析】根据条件列举出所有的情况，找出其中恰好为1名医生1名护士的种类数，相除即可. 【详解】设5名医护人员，2名医生a ，b ，3名护士c ，d ，e ，则抽调2人的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种不同结果， 其中恰好为1名医生和1名护士的不同结果有6种， 故所求概率为63105= 故选：C.9．下列推理错误的是（ ）A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈⇒l ⊂α B ．A α∈，A β∈，B α∈，B β∈⇒AB αβ=C ．l α⊄，∈A l ⇒A αD ．∈A l ，l α⊂⇒A α∈ 【答案】C【分析】根据公理1，判断A ，C ，D ，根据公理2，判断B ，【详解】由 ∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈根据公理1可得l ⊂α，A 对， 由∈A l ，l α⊂根据公理1可得A α∈，D 对， 由l α⊄，∈A l 可得A α或A α∈，C 错， 由A α∈，A β∈，B α∈，B β∈根据公理2可得AB αβ=，B 对，故选：C10．已知直线l 经过两直线l 1：3x ﹣y +12＝0，l 2：3x +2y ﹣6＝0的交点，且与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，则坐标原点O 到直线l 的距离为（ ） A ．255B ．2C ．55D ．3【答案】A【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程，进而利用点线距离公式即可得解.【详解】联立方程组可得31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，故交点A 的坐标为()2,6-，因为直线x ﹣2y ﹣3＝0的斜率为12，又直线l 与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，所以直线l 的斜率为﹣2， 故直线l 的方程为()622y x -=-+，即2x +y ﹣2＝0；所以原点O 到直线l 的距离为222010225521d ⨯+⨯-==+. 故选：A.11．圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形OACB 中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为（ ）A ．13π- B ．12π- C ．4π D ．5π【答案】B【分析】利用几何概型的概率公式即可求解.【详解】圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=分别以1,0A 和()0,1B 为圆心， 半径都是1.连接OC ，可知阴影部分由分别以,A B 为圆心， 1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为2111π21111422S π⎛⎫=⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭，正方形的面积为111S =⨯=， 所以质点落在阴影部分区域的概率为1π12S S =-， 故选：B.12．已知点(1,0)P 及圆22:2C x y +=，点 M ，N 在圆C 上，若PM PN ⊥，则||MN 的取值范围为（ ） A ．[31,31]-+ B ．[22,22]-+C ．[23,23]-+D ．[22,23]-+【答案】A【解析】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值，求出M 的坐标即可得出答案． 【详解】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值． 由图可知PM 所在直线斜率1k =，则PM 方程为1y x =-，则PM 与圆222x y +=的两个交点分别为M 、M '，2221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，解得M xM x '所以M，M '， 则||MN的最小值为：2||1M y =，最大值为：2||1M y '=， 所以||MN的取值范围为11]． 故选：A ．【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM 的方程，进而可求得M 点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．二、填空题13．在区间[0,4]上随机地取一个数x ，则事件“111x -≤-≤”发生的概率为___________ 【答案】12##0.5【分析】利用几何概型求解即可. 【详解】在区间[0,4]的长度为4，111x -≤-≤，解得[]0,2x ∈，长度为2， 故在区间[0,4]上随机地取一个数x ， 则事件“111x -≤-≤”发生的概率为2142P ==. 故答案为：1214．设x ，y 满足约束条件2120y x y x x ≥-⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为________．【答案】8【分析】作出可行域，平移目标函数找到取最大值的点，代入可求最大值. 【详解】作出不等式组表示的可行域,如图，设z x y =+，由图可知，当直线z x y =+经过点A 时，取到最大值，联立212y x y x =-⎧⎨=+⎩可得(3,5)A ，代入可得z 取得最大值8．【点睛】本题主要考查线性规划求解最值，作出可行域先确定最值点是求解关键，侧重考查直观想象，逻辑推理的核心素养.15．已知直线:1l y kx =-与圆22:430C x y x +-+=相切，则正实数k 的值为___________.【答案】43【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】:110l y kx kx y =-⇒--=， ()2222:43021C x y x x y +-+=⇒-+=，圆心为()2,0，1r =，22111k k -=+，解得43k =或0k =，所以正实数k 的值为43故答案为：4316．设,,αβγ为两两不重合的平面， ,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,//,//m n m n ααββ，则//αβ； ②若,m n αβ⊥⊥且,m n ⊥则αβ⊥ ③若l //,ααβ⊥，则l β⊥； ④若,,,l m n l αββγγα===//γ ，则m //n则上述命题中正确的是_________【答案】②④【分析】根据平行垂直的判定与性质逐项分析即可.【详解】对于① 由于不确定m,n 是否相交，所以推不出//αβ ②因为,m n ⊥m α⊥，所以n ⊂α或//n α， 可知α必过β的一条垂线，所以αβ⊥正确.③若l //,ααβ⊥,可能l //β，推不出l β⊥④,,,l m n l αββγγα===//γ，可推出//,//l m l n ，所以m //n 正确.故填②④.【点睛】本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面垂直，面面平行的判定和性质，属于中档题.三、解答题17．如图所示的多面体中, AC ⊥BC ,四边形ABED 是正方形,平面ABED ⊥平面ABC ,点F ,G ,H 分别为BD ,EC ,BE 的中点,求证:(1) BC ⊥平面ACD (2)平面HGF ∥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用面面垂直的性质证得AD ⊥平面ABC ，得出AD BC ⊥即可； （2）利用中位线关系证明,HG HF 平行于平面ABC 即可. 【详解】（1）由题：平面ABED ⊥平面ABC ,交线为AB ， 四边形ABED 是正方形,所以AD AB ⊥，AD ⊆平面ABED ， 所以AD ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，AD BC ⊥， 由题AC ⊥BC , ,AD AC 是平面ACD 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACD（2）在EBC ∆中,H G 分别是,EB EC 的中点，所以//HG BC ，HG ⊄平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，所以//HG 平面ABC ，在EBD ∆中,H F 分别是,EB DB 的中点，所以//,//HF ED ED AB ， 所以//HF AB ，HF ⊄平面ABC ，⊆AB 平面ABC ，所以//HF 平面ABC ，,HF HG 是平面HGF 内两条相交直线，所以平面HGF ∥平面ABC.【点睛】此题考查通过面面垂直的性质证明线面垂直，通过线面平行关系证明面面平行. 18．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=．(1)求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85；(2)过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程． 【答案】(1)()1,2，3430x y +=-或34190x y +-= (2)240x y +-=【分析】（1）消掉直线中的参数即可得定点，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）直线1l ：20mx y m +--=， 即()120m x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得直线1l 的定点()1,2P ．定点()1,2P 到直线2l ：340x y n +-=的距离为85=∴3n =或19n =，故直线2l ：3430x y +=-或34190x y +-=．（2）设过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 设(),0A a 、()0,B b ，则P 、A 、B 三点共线，202110ba --=--， ∴2ab a b =+≥令0t ab =>，则有：280t t -≥， 解得：0t <（舍）或8t ≥， ∴t 的最小值为：8.∴AOB 面积为12ab 最小值为：4，此时，2a =，4b =，直线l 的斜率为2-， 直线l 的方程为：()221y x -=--， 即240x y +-=．19．已知直线l 经过两点()2,1A --，()6,3B (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心C 在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程； (3)若过B 点向（2）中圆C 引切线BS ，BT ，S ，T 分别是切点，求ST 直线的方程． 【答案】(1)20x y -= (2)22(2)(1)1x y -+-= (3)42110x y +-=【分析】(1)根据直线方程的两点式求解 （2）设出圆心(2,)C b b ，根据圆与x 轴相切求解. (3) 四点,,,B S C T 四点共圆，两个圆公共弦所在直线方程.【详解】（1）由题可知：直线l 经过点A ()2,1--，B （6，3），由两点式可得直线l 的方程为：()()()()123162y x ----=----，整理得：20x y -=．（2）依题意，可设圆C 的圆心为(2,)C b b ，圆的方程为：222(2)()x b y b r -+-=， ∵圆C 与x 轴相切于点(2,0)，∴22b =，解得1b =，∴半径1r =， ∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=．（3）由于,CS BS CT BT ⊥⊥，则四点,,,B S C T 四点共圆，这个圆以BC 为直径其方程为()()22425x y -+-=，ST 为两圆的公共弦， 把两圆方程化为一般方程224240x y x y +--+=和2284150x y x y +--+=， 两式相减得公共弦方程：42110x y +-=．20．芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x （亿元）与收益y （亿元）的数据统计如下：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）根据折线图的数据，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到整数部分）；（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.附：样本(),(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅的相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，当||[0.75,1]r ∈时，两个变量间高度相关.参考数据：()()71400i i i x xy y =--≈∑，()72198i i x x=-≈∑，()7211800i i y y=-≈∑.【答案】（1）答案见解析；（2）412y x =+；（3）80亿元. 【分析】（1）计算出0.950.75r ≈>即可得结果；（2）计算出系数b ，a ，即可得y 关于x 的线性回归方程； （3）将16x =代入线性回归方程即可.【详解】（1）()()()()71772211981800iii i i i i x x y y r x xy y===--=⨯-⋅-∑∑∑400200.950.7542021==≈>， 所以y 与x 两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合.（2）因为()()()7172140020049849iii ii x x y y b x x ==--===≈-∑∑， 所以27220046127497a y bx =-=-⨯≈， 故y 关于x 的线性回归方程为412y x =+. （3）当16x =时，4161276y =⨯+=亿元，故当16x =亿元时，公司的实际收益的预测值为76480+=亿元.21．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A 、B 两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.考核成绩 [60,85] [86,100] 考核等级 合格 优秀（1）计算A 、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）由茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.【答案】（1）80，80；（2）A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定；（3）25.【分析】（1）直接利用平均数公式计算得解；（2）直接观察茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性； （3）直接利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）64757878797285869192800801010A x +++++++++===67627079788784859593800801010B x +++++++++===（2）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定. （3）记事件M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”.本中，A 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a ，b ，c ，B 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A ，B ，C ，从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab ，ac ，aA ，aB ，aC ，bc ，bA ，bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC 共15种，而事件M 包含的基本事件是ab ，ac ，bc ，AB ，AC ，BC 共6种， 因此()62155P M ==. 【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的解题步骤：（1）求出总的基本事件的总数；（2）求出事件A 的基本事件的总数；（3）代入古典概型的概率公式求解.22．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)若1t =，求PA ，PB 所在直线方程； (2)若两条切线P A ，PB 与y 轴分别交于S ､T 两点. ①求PST 面积的最小值.②在①的条件下，过点P 的直线1l 与圆22():21M x y -+=相交，且圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，求此时直线1l 的方程. 【答案】(1)1y =，3410x y +-= (2)2②351)y x =+【分析】(1)根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解；(2) ①分别表示出S ､T 的坐标，从而表示ST 的长度，从而可讨论三角形面积的最值；②由于圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，所以圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，即可求解.【详解】（1）由圆()22:21M x y -+=的方程可知：圆心()2,0M ，半径为1，过点(1,1)P -引圆M 的切线方程斜率显然存在可设为：()11y k x =++，所以圆心(2,0)M 到直线()11y k x =++的距离1d =，229611k k k ++=+，2860k k +=，∴0k =，或34k =-，由图可有0PA k =，所以直线PA 的方程为1y =；又34PB k =-，所以直线PB 的方程为3(1)14y x =-++，即3410x y +-=.（2）(2)①设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故圆心(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，1212|()||∣∴=+-+=-==ST k t k t k k∴当0=t 时，ST .又点P 到直线ST （y 轴）的距离为1，所以PST 面积的最小值112=， ②由①知(1,0)P -，直线斜率显然存在，所以设直线1l ：(1)y k x =+， 要使圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，则需圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，12=，解得k =1l 的方程为1)y x =+.。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
四川省雅安市始阳中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析
四川省雅安市始阳中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当S n取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．2. 已知函数f（x）=（e x+1）（ax+2a﹣2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）﹣2＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）参考答案：D 【考点】特称命题．【分析】由题意分离出a可得存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜+成立，由函数的单调性求出右边式子的最大值可得．【解答】解：由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e x+1）（ax+2a﹣2）﹣2＜0成立，故可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e x+1）（ax+2a﹣2）＜2成立，即存在x∈（0，+∞），使得不等式a（x+2）＜2+成立，即存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜+成立，又可得函数g（x）=+在x∈（0，+∞）单调递减，∴g（x）＜g（0）=，∴实数a的取值范围为（﹣∞，）故选：D．3. 已知在△ABC中，角A，B，C分别为△ABC的三个内角，若命题p：sinA＞sinB，命题q：A＞B，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】△ABC中，由正弦定理，a＞b?sinA＞sinB．而a＞b?A＞B．即可判断出结论．【解答】解：△ABC中，由正弦定理=k＞0，a＞b?ksinA＞ksinB?sinA＞sinB．而a＞b?A＞B．∴△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，即p?q．∴p是q的充要条件．故选：C．4. 车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，数据如下：设回归方程为，则点在直线x＋45y－10＝0的( )A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方参考答案：B5. 在△ABC中，a=15，b=10，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理代入已知即可求值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．故选：D．6. 如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面⊥平面，已知，且当规定主(正)视图方向垂直平面时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若分别是线段上的动点，则的最小值为( )A.1B.2C.3D.4参考答案：C略7. 如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°参考答案：B【考点】解三角形．【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E，在Rt△ABD和Rt△ACE中使用勾股定理求出AD，AC的长，再在△ACD中使用余弦定理求出∠CAD．【解答】解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=50﹣20=30，AE=60，∴AD==20，AC==30，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD==，∴∠CAD=45°．故选：B ．8. 若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（）A． B． C． D ．参考答案：D9. 设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2017，则不等式e x f（x）＞e x+2016（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．D．（﹣∞，0）∪参考答案：B【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，则可判断g′（x）＞0，故g（x）为增函数，结合g（0）=2016即可得出答案．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，e x＞0，∴g′（x）=e x[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，∴g（x）是R上的增函数，又g（0）=f（0）﹣1=2016，∴g（x）＞2016的解集为（0，+∞），即不等式e x f（x）＞e x+2016的解集为（0，+∞）．故选B．10.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于下列语句：①?x∈Z，x2=3；②?x∈R，x2=2；③?x∈R，x2+2x+3＞0；④?x∈R，x2+x﹣5＞0，其中正确的命题序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】常规题型．【分析】对各个选项依次加以判断：利用开平方运算的性质，得到命题①错误而命题②正确，通过配方，利用平方非负的性质，得到③正确，通过举反例得到④错误．【解答】解：对于①，若x2=3，x的取值只有±，说明“?x∈Z，x2=3”不成立，故①错；对于②，存在x=∈R，使x2=2成立，说明“?x∈R，x2=2”成立，故②正确；对于③，因为x2+2x+3=（x+1）2+2≥2＞0，所以“?x∈R，x2+2x+3＞0”成立，故③正确；对于④，当x=0时，式子x2+x﹣5=﹣5为负数，故“?x∈R，x2+x﹣5＞0”不成立，故④错综上所述，正确的是②③两个命题故答案为：②③【点评】本题以开平方运算和二次函数恒成立为载体，考查了含有量词的命题真假的判断，属于基础题．12. 已知集合A={x||x﹣1|+|x+2|=3}，B={x||x﹣a|＜1}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是_________ ．参考答案：13. 直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，然后由直线和圆的位置关系求得弦长．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB 的长为．故答案为：．14. 若函数f （x ）=2x ﹣5，且f （m ）=3，则m= ．参考答案：3【考点】有理数指数幂的化简求值；函数的值． 【分析】由题意化为方程f （m ）=2m ﹣5=3，从而解得． 【解答】解：由题意知， f （m ）=2m﹣5=3， 解得，m=3； 故答案为：3．15. 若直线y=x+b 与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是。
什宁县第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文
A． 1 2
B． 8 15
C． 16 29
D． 16 31
9．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最
省,则水桶底面圆的半径为（ ）
A．
3 2
B． 3
C． 2 3
D． 6
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为
， F1
F2
，过
点 F1 且斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 2
值为（ )
A．6
B．7
C．10 D．13
12．若函数
f
(x)
kex
1 2
x2
在区间
(0, )
上单调递增，则实数
k
的取值
范围是
A．
(1 e
,
)
B． (0, )
C．
[1 e
,
)
D．[0, )
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分)
13．双曲线 x2 y2 1的焦点到渐近线的距离为__________． 3
甘肃什宁县第一中学 2020_2021 学年高二数学上学期期末考试试题文
甘肃省静宁县第一中学 2020—2021 学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分)
1．已知命题 p： xR, x2 x 1 0，下列 P 形式正确的是（
）
.A． ，使得 p:x0R
x02 x0 1 0
OA
a,
OB
b,所以
a
b
3，且
1 2
ab
1,
四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)
成都树德中学高2021级高二上期期末检测数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用系统抽样法，②用分层抽样法C.①用分层抽样法，②用随机抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.下面命题正确的是A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1≥x ，则21x ≥”；C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.3.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为A.3π B.3π-或3πC.3π或23π D.6π或56π4.执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A.1B.32C.53D.525.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.3y x =±C.12y x =±D.2y x=±6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球7.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为A ．24B ．25C ．25.5D ．26取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.7511.已知O 为坐标原点，双曲线)0(14:222>=-b b y x C 的右焦点为F ,以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点,,B A 若||332||||AB OB OA =+，则ABF ∆的周长为A.6B.36C.324+D.344+12.已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为________.14.已知“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.在区间[0,1]上随机取两个数x、y ，则满足13x y -≥的概率为___________.16.已知直线y kx =与椭圆C ：222212x yb b+=交于,A B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有__________.①椭圆C 的离心率为2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B .x2223242526y2324▲2628三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆C 上有两个点()()2,3,4,9A B ，且AB 为直径.(1)求圆C的方程；(2)已知()0,5P ，求过点P 且与圆C 相切的直线方程.18.（本小题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．20.(本题满分12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．（1）求y 关于x 的回归直线方程；附：=J1 (−p(−p(−p2，=−．（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？22.(本小题满分12分)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．公众号高中僧试题下载高2021级期末考试数学（文）试题参考答案一、1-5CDCCA6-10BCABD11-12BD二、13、11614、2m≤15、9216、②③④18、(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a+⨯+++⨯=，解得a=0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得()()0.004 0.006 0.023210700.0280.5m++⨯+-⨯=，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a，()11,a b，()12,a b，()13,a b，()21,a b，()22,a b，()23,a b，()12,b b，()13,b b，()23,b b，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b，()13,b b，()23,b b，有3种情况，所以概率为P=310.…………………………………12分19、（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x y a ba b-=>>，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C的一条渐近线为y x=，所以3ba=，②又222+=a b c，③联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213x y-=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x+-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x+=-，1224x x=-，即AB===20、（1）由表格数据得=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+455=52．则J15 （i−）（y i−）＝﹣40，J15 （i−）2＝10，则=−4010=−4，=−=52﹣（﹣4）×20＝132，则y关于的回归直线方程为=−4x+132；（2）获得的利润z＝（x﹣10）（﹣4x+132）＝﹣4x2+172x﹣1320，对应抛物线开口向下，则当x=−1722×(−4)=21.5时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．22、（1）由题意得12p=，即2p=，所以抛物线的准线方程为1x=-．（2）设(,),(,),(),A AB B c cA x yB x yC x y，重心(,)G GG x y．令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=．由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得222(1)40ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212(,Bt t-．又由于11(),(3)3G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得422211222((),2()),(3t tC t t Gt t t-+--．所以直线AC方程为222()y t t x t-=-，得2(1,0)Q t-．由于Q在焦点F的右侧，故22t>．从而424222124422242221|1||2|||223221222211||||1||||2||23Act t tFG yS t t ttt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-．令22m t=-，则0m>，1221223434S mS m m mm=-=-++++3212≥-=+．当m=12SS取得最小值12+，此时(2,0)G．。
山西省运城市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理+文)+语文试题 含答案
高二数学（理）参考答案 第1页（共5页）
19.解：(1)取 AB 中点 H ,连接 EH, HD ,在直三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中,
EC1∥
1 2
AC
.
…………2
∵ D 为 BC 中点, H 为 AB 中点,
∴ HD∥ 1 AC, 2
HD∥EC1 ,
…………4
∴四边形 DHEC1 为平行四边形,∴ DC1 ∥ HE .…………5
6(1 + 2k 2 ) = 6 2 ………9 分
3 + 4k 2
7
解得 k 2 = 1 或 k 2 = − 11 （舍去） ∴ k = ±1 24
∴直线 l 的方程为 y = x +1或y = −x +1
…………………………12 分
20. (1)证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.
且 BC = 2 AD = 2CD = 2 2 ∴ AB = AC = 2,∴ AB ⊥ AC …………2 又 AB ⊥ PC , AC ∩ PC = C, AC ⊂ 平面 PAC , PC ⊂ 平面 PAC ∴ AB ⊥ 平面 PAC …………3 ∴PA = AC = 2, PC = 2 2,∴ PA ⊥ AC …………4 又Q PA ⊥ AB, AB ∩ AC = A, AB ⊂ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD ,…………5 ∴ PA ⊥ 平面 ABCD …………6 (2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN ,使 MN / / PA ，取 BC 的中点 E，则 AE, AD, AP
高二数学（理）参考答案 第4页（共5页）
则
x1
+
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期期末联考文科数学试题及答案
高二文科数学试题考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“,3sin xx N x ∀∈>”的否定是A.∀x ∈N ，3x ≤sinxB.∀x ∈N ，3x <sinxC.000,3sin xx N x ∃∈> D.000,3sin xx N x ∃∈≤2.直线0x y -+=的倾斜角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．34π3.抛物线236y x =的准线方程是A.9y = B.9y =- C.9x = D.9x =-4.在空间直角坐标系O z xy -中，点A （—2，1，4）与A'（2，1，4）关于（）对称。
A ．xOy 平面B ．yOz 平面C ．xOz 平面D ．原点5.某程序框图如图所示，则输出的S=A ．8B ．27C ．85D ．2606.若x ，y 满足约束条件5802310032110x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．27.已知命题p ：直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，命题:3q a =-，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下列命题是真命题的是A ．“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”的逆否命题B ．“偶函数的图象关于y 轴对称”是特称命题C ．“1x >且1y >”是”2x y +>”的充要条件D ．若0xy ≠，则x ，y 至少有一个不为09.若直线20x y m -+=与椭圆22152x y +=交于A ，B 两点，且AM MB = ，则点M 的坐标可能是A ．（12，110-）B ．（5，—1）C ．（12，110）D ．（5，1）10.已知直线10(0,0)x my n m n ++-=>>与圆()2219x y +-=相交于A ，B 两点，且|AB|的长度始终为6，则mn 的最大值为A ．1B ．12C ．14D ．1811.已知点P 在抛物线2:8C y x =上移动，A （x ，y ）是抛物线内部一定点，若点P 到抛物线焦点F 的距离与到点A 的距离之和的最小值为5，则点A 的横坐标为A ．1B ．2C ．3D ．412.已知动点P 在双曲线22215x y a -=的右支上，过点P 作圆22:1C x y +=的切线，切点为M ，切线长|PM|A ．32B ．52C ．72D ．142二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim 2x f x f x∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】由题意，()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-，所以()32f '=-.故选：D.2．已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（ ） A ．15 B ．16 C ．20 D ．30【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出4a ，再利用前n 项和公式计算作答. 【详解】等差数列{}n a 中，354424(1)a a a a =+=-，解得42a =，而24a =， 所以数列{}n a 的前5项和152455()5()1522a a a a S ++===. 故选：A3．已知双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．32y x =±C ．23y x =±D ．y x = 【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>中24,26a b ==，所以2,3a b ==，双曲线焦点在y 轴上， 所以双曲线的渐近线方程为23y x a b x =±=±， 故选：C.4．已知数列{}n a 满足()12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（ ）A ．2-B ．1C ．4043D ．4044【答案】A【分析】由递推式得到21n n a a +-=-，从而得到6n n a a +=，由此再结合11n n n a a a -+=+即可求得2022a 的值. 【详解】由11n n n a a a -+=+得12n n n a a a ++=+， 两式相加得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=， 所以20226321()2a a a a a ==-=--=-. 故选：A ．5．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 为等比数列，由此求出塔形表面积n S 的表达式，令78n S >即可得出n 的范围．【详解】解：设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ， 13a =，22212222a =+2231(2)(2)12a =+，则{n a }为以32所以2{}n a 是以9为首项，以12为公比的等比数列．所以塔形的表面积222221231191722444449811212nn nnS a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯++=⨯+=--，令7281782n->，解得4n >， 所以该塔形中正方体的个数至少为5个． 故选：B ．6．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（ ） A ．10x y --= B ．220x y --=C ．210x y --=D ．10x -=【答案】D【分析】根据题意可得：抛物线方程为24y x =，则(1,0)A -，设直线MN 的方程为：1x ty =+，联立方程组，利用韦达定理和0MA NA =即可求解. 【详解】由题意可知：12p=，则抛物线方程为24y x =，所以(1,0)A -. 设过F 的直线MN 的方程为：1x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，则124y y t +=，124y y =-，又因为MA NA ⊥所以0MA NA =，11(1,)MA x y =---，22(1,)NA x y =--- 所以1212(1)(1)0x x y y ----+=，也即1212(1)(1)0x x y y +++=，因为212121212(1)(1)(2)(2)42()x x ty ty t y y t y y ++=++=+++，所以212121212(1)(1)(1)2()4x x y y t y y t y y +++=++++2(1)(4)244t t t =+⨯-+⨯+ 2244840t t =--++=即20t =，解得：0=t ，所以直线MN 的方程为：10x -=， 故选：D .7．已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P 作直线l ，使得直线l 与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（ ）条 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线,最后过点P 作符合条件的平行直线即可.【详解】作二面角的平面角AOB ,则70AOB ∠=︒，设1OP 为AOB ∠的平分线，则1135POA POB ∠=∠=︒,当1OP 以O 为中心，在二面角的平分面上转时，1OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线.设2OP 为AOB ∠的补角角平分线，则2255P OA P OB ∠=∠=︒，当2OP 以O 为中心，在二面角的邻补二面角平分面上转时，2OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线. 综上所述: 过点P 作与1OP ,2OP 平行的直线符号要求，共4条. 故选：D8．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++的整数部分是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据已知条件，利用累加法求得m ，结合数列的单调性即可判断m 的取值范围，进而求得其整数部分【详解】由211n n n a a a +=-+可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n na a a a a +--=--=，所以111111n n na a a +-=--， 则12111111a a a -=--，23211111a a a -=--， 34311111a a a -=--，，20222023202211111a a a -=--，上述式子累加得：120231220221111111m a a a a a -=++⋯+=--， 故2023121m a =--，又因为()2212101n n nn n a a a a a +-+=-=≥-，即1n n a a +≥， 所以111n n a a a -≥≥≥>，根据递推公式得：132a =，1221714a a a =-+=，2322371216a a a =-+=>， 所以202332a a ≥>， 那么20231(0,1)1a ∈-，则202312(1,2)1m a =-∈-，则m 的整数部分是1，故选：A【点睛】关键点睛：本题考察累加法，以及数列的单调性，能够正确的裂项从而累加是解决问题的关键二、多选题9．方程22143x y m m+=--表示的曲线中，可以是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线【答案】AB【分析】根据双曲线和椭圆标准方程的特点，即可得到结果. 【详解】因为43m m -≠-，若()()430m m --<，即34m <<时，方程22143x y m m+=--表示的曲线双曲线； 若4030m m ->⎧⎨->⎩，即3m <时，方程22143x y m m +=--表示的曲线椭圆.故选：AB.10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*N n ∀∈，都有11n n S S n n +<+．若17161a a <-，则（ ） A ．160a <B ．170a <C ．n S 的最小值是16SD ．n S 的最大值是17S【答案】AC【分析】设数列{}n a 公差为d ，由11n n S S n n +<+可知0d >，又由17161a a <-可知17160a a >>，据此可判断各选项正误.【详解】设数列{}n a 公差为d ，11n n S S n n +<+11n n n n n nS nS S na S ++⇒->⇒> ()()21111022n n dn n na n d na d -+⇒+>+⇒>，因()102n n +>，则0d >，得数列{}n a 为递增数列·.又1717161610，a a a a <-<>，则17160a a >>. 故A 正确，B 错误.又数列{}n a 为递增数列，17160a a >>，则数列{}n a 前16项均为负数，第17项及以后各项均为正数，故n S 的最小值是16S ，n S 的最大值不存在. 故C 正确，D 错误. 故选：AC11．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点()1,1M ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，准线与x 轴的交于点D ，下列结论正确的是（ ） A ．PM PF +的最小值是2 B ．PM PF -的最大值是2C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称D ．若直线l 经过点D ，且B 点在线段AD 上，不存在直线l ，使得2AF BF DF += 【答案】ACD【分析】对于A ，利用抛物线的定义，数形结合判断；对于B ，利用三角形两边的差小于第三边判断；；对于C ，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于D ，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义判断作答.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线=1x -，过点P 作PQ 垂直于准线，垂足为Q ， 过点M 作MN 垂直于准线，垂足为N ，交抛物线于点0P ，连接0,MQ P F ，如图，0000||||||||||||PM PF PM PQ MQ MN P M P N P M P F +=+≥≥=+=+，当且仅当P 与0P 重合时取等号，因此()min ||2PM PF MN +==，A 正确；因为||||||||1PM PF MF -≤=，即PM PF -的最大值是1，B 不正确；假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，则设直线:0AB x y m -+=，由204x y m y x-+=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y y m -+=，则Δ16160m =->，解得1m <， 设()()1122,,A x y B x y ，即有124y y +=，则有弦AB 的中点()2,2m -在直线50x y +-=上，即2250m -+-=，解得11m =-<，符合题意，即存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，C 正确；点(1,0)D -，显然直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，2244(2)40k k '∆=-->，解得11k -<<且0k ≠，设,A B 的横坐标分别为,A B x x ，则242A B x x k +=-，241142A B AF BF x x DF k +=+++=>=， 所以不存在直线l ，使得2AF BF DF +=，D 正确. 故选：ACD12．如图所示：给定正整数n （5n ≥），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为,i j a ，下列说法正确的是（ ）A ．当n ＝100时，5,496a =．B ．当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．C ．当n ＝2022时，,42022i a >，则i 的最小值为8．D ．当n ＝2022时，2,5(9)2i i a i -=+【答案】ABD【分析】根据已知可得()12212i i ij a j i --=+-，再由42022i a >即可解得.【详解】由题可得三角形数表的每一行都是等差数列，且公差分别为11,2,4,8,,2,i -，所以()()()()2111122i ij i j i j i j a a a a ---+-=+=+()()()()()2322222122222222222i i i i i j i j i j i j a a a a ------+--⎡⎤⎡⎤=++=++=+⨯⎣⎦⎣⎦…()()12121212212i i i i j a i j i ----=+-=+-，所以()()12242412722022i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅>，解得8i >，所以i 的最小值为9.故C 选项错;因为()()1224241272i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅()35,457296a =+=.故A 正确；因为()12212i i ij a j i --=+-,令5j =所以2,5(9)2i i a i -=+，故D 正确；因为()12212i i ij a j i --=+-,令1,100j i ==，当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．故B 正确；故答案为：ABD .三、填空题13．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪瞬时速度为______()m /s ． 【答案】272【分析】利用导数的定义可求得该运动员在3s t =时滑雪瞬时速度.【详解】()()()()()222392733233232222l t l t t t t +∆-=+∆++∆-⨯-=∆+∆， 所以，该运动员的滑雪瞬时速度为()()()()003327273lim lim 2m /s 22t t l t l l t t ∆→∆→+∆-⎛⎫'==∆+= ⎪∆⎝⎭. 故答案为：272. 14．等比数列{}n a 中，1473a a a ++=，36912a a a ++=．则{}n a 的前9项之和为______． 【答案】9或21【分析】利用()2369147a a a a a a q ++=++解出公比，即可求解. 【详解】()2369147a a a a a a q ++=++,即2123q =，2q =±，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()()147258369a a a a a a a a a =++++++++ ()()()2147147147a a a a a a q a a a q =++++++++2333q q =++若2q，则9361221S =++=，若2q =-，则936129S =-+=， 故答案为：9或21.15．三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为______． 【答案】213【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面PCB 的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.【详解】作出三棱锥P －ABC ，如图所示：H 为AB 的中点，12,O O 分别为ABC 和PAB 的外心，过点12,O O 分别作平面ACB 和平面PAB 的垂线，交点为O ，连接,,OH OA OC .根据题意可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面ACB 的垂线上，所以O 三棱锥外接球的球心，设外接球半径R ，由题意知：PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以PH AB ⊥，CH AB ⊥，所以PHC ∠即为二面角P －AB －C 的平面角，因为二面角P －AB －C 为120°，也即12120O HO ∠=︒，因为PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以21333HO PH ==，11333HO CH ==，则12HO HO =，所以21Rt Rt OO H OO H ≅，则12211602OHO OHO O HO ∠=∠=∠=︒，在1Rt OHO 中，因为133HO =，160OHO ∠=︒，所以11OO =， 又因为122333O C CH ==，所以在1Rt OCO 中，22211OC O O O C =+，即247133R =+=，所以213R =，2116．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且45PQR ，则该椭圆的离心率为______．【答案】306【分析】QA x 轴交PB 于A ，则1tan 2QPk PQA，tan QR k RQA ，设出直线，联立方程，结合韦达定理与两点斜率公式可求出参数的齐次方程，进而可求离心率. 【详解】QAx 轴交PB 于A ，如图所示，设直线为2x y m =+，112211,,,,,P x y Q x y R x y ，则1210,0,0x x y ，联立得222221x y m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222222440a b y mb ym a b .则2122244mb y y a b ，21212222224ma x x y y ma b .1tan 2QP k PQA ，12121212tan QRy y y y kRQA x x x x ，由1tan tan 12tan 111tan tan 312QRQRQR k PQA RQA PQRk PQA RQA k，∴2122124123QR y y mb k x x ma ，∴226a b =. ∴该椭圆的离心率22222306c a b ea a . 故答案为：306四、解答题17．（1）求长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且与椭圆221105x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程．【答案】（1）2213620x y +=；（2）2214x y -=.【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可. 【详解】（1）设椭圆方程为：22221x y a b +=且a > b > 0，212,6a a ==，23ca=，4c ∴=，222361620b a c ∴=-=-=，故椭圆方程为：2213620x y +=；（2）221105x y +=的焦点为：(，根据题意得到：12b a =，则2222514b a a a -==，解得：24a =， 故222541bc a =-=-=， 故双曲线的方程为：2214x y -=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，()*N n n b a n =∈．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 前n 项的和n T ． 【答案】(1)49,N*n a n n =-+∈(2)222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩【分析】(1)根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可；(2)由于1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以分2n ≤和3n ≥两种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，所以当1n =时，11275a S ==-+=，当2n ≥时，22127[2(1)7(1)]49n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，显然，当1n =时，15a =满足49n a n =-+，所以49,N*n a n n =-+∈.（2）由（1）知49,N*n n b a n n ==-+∈， 因为1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以当2n ≤时，227n n T S n n ==-+，当3n ≥时，123n n S a a a a =++++①，123n n T a a a a =+---②，所以①+②得2212n n T S S +==，因为2(549)272n n n S n n -+==-+，所以2122712n n T S n n =-=-+，所以222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩ 19．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AC ＝BC ，四边形11ABB A 是菱形，1120A AB ∠=︒，点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=．(1)若1AD B C ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面ABD ．(2)若12AB BC AC ==，是否存在实数λ，使得平面1AB C 与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是17若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，17．【分析】(1) 取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB ⊥平面1OB C ．然后再证明1B C ⊥平面ABD ，最后利用面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面1AB C 和平面ABD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．因为四边形11ABB A 是菱形，且1120A AB ∠=︒，所以160ABB ∠=︒，则11AB BB =． 因为O 为AB 的中点，所以1AB OB ⊥．因为AC BC =，且O 为AB 的中点，所以AB ⊥OC ．因为1OB ，OC ⊂平面1OB C ，且1OB OC O =，所以AB ⊥平面1OB C ． 因为1B C ⊂平面1OB C ，所以1AB B C ⊥．因为1AD B C ⊥，AB ，AD ⊂平面ABD ．且AB AD A ⋂=，所以1B C ⊥平面ABD ． 因为1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面ABD ．（2）因为22AB AC BC =，所以222AB AC BC =+，所以AC ⊥BC ． 因为O 是AB 的中点，所以12OC AB =． 因为四边形11ABB A 是菱形，且∠160ABB =︒，所以1ABB 是等边三角形． 因为O 是AB 的中点，所以13OB AB =． 因为222222111OB OA AB OB OC B C +=+==，所以1AB B C =，则OB ，OC ，1OB 两两垂直，故以O 为原点，OB ，OC ，1OB 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设2AB =，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(13A -，(13B ，故()1,1,0AC =，()2,0,0AB =，(13AB =，()1,1,0BC =-，1(13)AA =-.因为()113CD CC AA λλλλ===-，所以()3D λλ-，所以()13AD λλ=-． 设平面1AB C 的法向量为()111,,x n y z =，则11111·0·30n AC x y n AB x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,1n =--．设平面ABD 的法向量为()222,,m x y z =，则2222·20·(1)30m AB x m AD x y z λλ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩，令21z =-，得()0,3,1m λ=-．设平面1AB C 与平面ABD 所成的角为θ，则2131cos cos ,7731n m n m n mλθλ⋅-====⨯+， 解得12λ=或15λ=，故存在12λ=或15λ=，使得平面1AB C 与平面ABD 所成角的余弦值是17．20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为P ，点()0,Q b ，21PF =，160F PQ ∠=︒．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点2F ，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB 的面积为2l 的方程． 【答案】(1)2213y x -= (2)20x y +-=或20x y --=.【分析】（1）由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 603bF PQ a=∠=︒=222c a b =+，解得c ，a ，b ，即可得出双曲线C 的方程．（2）2(2,0)F ，设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 的方程与双曲线的方程化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得2121212||()4y y y y y y -+-利用1F AB 的面积12122c y y =⋅-=m ，即可得出直线l 的方程． 【详解】（1）解：由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 60bF PQ a=∠=︒=222c a b =+， 解得1a =，b =2c =， 所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）解：由题意可知，直线l 的斜率不为0， 设AB ：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩，消x ，得()22311290m y my -++=， 由()222310Δ1443610m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得213m ≠，则1221221231931m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩. 所以()()()()2222121212222236112364313131m m y y y y y y m m m +⎛⎫-=+-=--= ⎪--⎝⎭-， 所以1F AB的面积121211422S F F y y =⋅-=⨯==429810m m --=， 解得21m =，1m =±，所以直线l 的方程为20x y +-=或20x y --=.21．已知抛物线C ：22y px =，焦点为F ，点()2,0M -，()2,2N ，过点M 作抛物线的切线MP ，切点为P ，3PF =，又过M 作直线交抛物线于不同的两点A ，B ，直线AN 交抛物线于另一点D ． (1)求抛物线方程； (2)求证BD 过定点． 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析【分析】（1）设出()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立抛物线方程，利用根的判别式等于0列出方程，求出24m p =，再利用焦半径得到032p x =-，从而表达出5232,p p P m ⎛⎫- ⎪- ⎪⎪⎝⎭，代入2002y px =，求出答案；（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，结合抛物线方程求出124AB k y y =+，134AD k y y =+，324BD k y y =+，写出直线()1212:40AB x y y y y y -++=，()1313:40AD x y y y y y -++=，根据AB 过()20M -，，AD 过()22N ，，代入后联立得到()2323840y y y y -++=，由直线()2323:40BD x y y y y y -++=联立得到()()()234240x y y y --+-=，求出所过定点.【详解】（1）设()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立222x my y px =-⎧⎨=⎩得：2240y pmy p -+=，则224160p m p ∆=-=，所以24m p=， 又因为032pPF x =+=， 所以003252p x p y m ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故5232,p p P m ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，代入2002y px =得：2440p p -+=， 所以2p =，所以抛物线方程为：24y x =； （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，则121212122212444AB y y y y k y x y x y y --===-+-，同理134AD k y y =+，324BD k y y =+， 故直线()11124:AB y y x x y y -=-+ 即()121240x y y y y y -++=， 同理直线()1313:40AD x y y y y y -++=，直线()2323:40BD x y y y y y -++=，因为AB 过()20M -，，所以1280y y -+=①， AD 过()22N ，，所以()1313820y y y y -++=②， 由①得：128y y =，代入②得：()2323840y y y y -++=③，又因为直线()2323:40BD x y y y y y -++=④，则由③得：()232348y y y y =+-，代入④得：()()23234480x y y y y y -+++-=， 所以()()()234240x y y y --+-=，所以直线BD 过点()24，. 【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(2)n n S a n -=-≥，数列{}n b 的通项公式为n b n =． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1211n n n n T a b a b a b -=+++；(3)设221251916n n n n n n n c a b b b +++++=，求数列{}n c 的前n 项的和n H ．【答案】(1)*2N n n a n =∈，(2)2224n n T n +=-- (3)()()29598212n n n n ++-++【分析】(1) n a 与n S 关系,作差计算即可. (2)应用错位相减法求解即可; (3)分组裂项相消求和应用求解.【详解】（1）由题，当2n ≥时，12n n S a +=-，所以11n n n n S S a a -+-=-，所以12n n a a +=，又因为2124a S =+=， 所以2n n a =，显然，当1n =时，12a =满足2n n a =，所以*2,N n n a n =∈（2）()22212n n T n n =+-++ ①所以2122222n n n T n +=++⋅+ ②①-②得：()()231212222n n n T n +-=+-+++-11422212n n n ++-=---2242n n +=+-所以2224n n T n +=--（3）因为()()()112111122212122n n n n n c n n n n +++⎡⎤=-+-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦所以12n n H c c c =+++ ()21111122122221n n n n +⎡⎤=-++-⎢⎥⋅⋅+⎢⎥⎣⎦+()()2312111122232122n n n n ++⎡⎤-++-⎢⎥⋅⋅++⎢⎥⎣⎦()()122111122212222n n n n ++⎡⎤=-+-⎢⎥+⋅+⎢⎥⎣⎦()()1292182122n n n n ++=--++ ()()29598212n n n n ++=-++。
2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知复数12i z =+，212i z =-+，则112z z z -=（ ） A ．1 B．C ．2D【答案】B【分析】结合复数的运算法则和模长公式即可求解.【详解】∵()()()()122i 12i 2i 5i i 12i 12i 12i 5z z +--+-====--+-+--，∴1122i i zz z -=++= 故选：B2．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ） A．B．C ．4 D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得=2y -，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+=. 故选：D.3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10-C ．10D ．12【答案】B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.4．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+C ．111263a b c --D ．111263a b c ++【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】解：MN BN BM =-1223BA BC =-， ()()1223OA OB OC OB =---， 112263OA OB OC =+-， 112263a b c =+-， 故选：A5．已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C 3D 5【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD ，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△，而21PA PD =-PD 最小时，四边形PADB 的面积最小，再抛物线的定义转化为点P 到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接PD ，圆D ：()2221x y -+=，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1， 则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△． 又21PA PD =-，所以当四边形PADB 的面积最小时，PD 最小．过点P 向抛物线的准线2x =-作垂线，垂足为E ，则PD PE =， 当点P 与坐标原点重合时，PE 最小，此时2PE =． 故()()2min min13PADB S PD =-=四边形．故选：C6．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22420x y x +++=，则PAB 面积的取值范围是（ ） A ．[2,32] B ．[22,32] C ．[2,6] D ．[4,12]【答案】C【分析】由题意首先求得AB 的长度，然后确定圆上的点到直线AB 的距离'd ，最后确定三角形面积的取值范围.【详解】解：因为()()2,0,0,2A B ，所以22AB =. 圆的标准方程22(2)2x y ++=，圆心()2,0C -， 圆心C 到直线AB 的距离为2d =所以，点P 到直线AB 的距离d '的取值范围为：[2,32]，所以[]12,62PABSAB d '=∈. 故选:C.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点(),0F c -作倾斜角为π6的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，其中P 为线段AB 的中点，线段PF，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】D【分析】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y，利用点差法，化简可得020x a =，结合已知条件可得12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，将其代入上式化简可求得结果. 【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，由题意得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，因为P 为线段AB 的中点，且直线AB 的倾斜角为π6，所以020x a +=．因为(),0F c -，直线AB 的倾斜角为π6，PF =，易知点P在第二象限，则0π1cos )(62c x c =-=-，0πsin 6y ==，所以12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22316203c c a b -+=，得223a b ，所以2223()a a c =-，即2223a c =，所以c e a =． 故选：D.8．已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点. 过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，利用双曲线定义及内心性质可得2M J x x ==，同理可得2N x =，设直线AB 的倾斜角为θ，由,A B 均在双曲线右支结合渐近线斜率可得π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则通过()()πtan tan 22M c a N c E E a θθ-=----化简讨论范围即可.【详解】由题意，2,4a b c ===，()2,0E ，设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，则1122,,AH AI F H F J F I F J ===， 由124AF AF -=得()()1212124J J AH F H AI F I F H F I F J F J c x c x +-+=-=-=+--=， ∴2J x =，即J 与E 重合，又MJ ⊥x 轴，故2M x =，同理可得2N x =. 设直线AB 的倾斜角为θ，∵,A B 均在双曲线右支，则tan baθ<-或[)tan ,0,πb a θθ>∈，即tan θ<或tan θ>π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22π,22EF M EF N θθ-∠=∠=，则()()()()cos sin π2cos 22tan tan 22sin sin cos 22M c E NE c a c a c a a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-=---=--=-⎪ ⎪⎭- ⎝， 当π2θ=时，0ME NE -=；当π2θ≠，()24430,tan tan 3ME NE c a θθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上， ME NE -的取值范围是⎛ ⎝⎭.故选：B二、多选题9．某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误．．的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】ABD【分析】特例法否定选项A；比较两指数极差判断选项B；读图判断选项CD.【详解】选项A：第8天比第7天的复工指数和复产指数均低.判断错误；选项B：这11天期间，两指数的最大值相近，但复工指数比复产指数的最小值低得多，所以复工指数的极差大于复产指数的极差. 判断错误；选项C：第3天至第11天复工复产指数均超过80％. 判断正确；选项D ：第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量.判断错误. 故选：ABD10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31n n s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD.11．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误.【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==， 因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切， 故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --， 则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=， 而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=， 整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.12．如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．2min ||21AB b =+B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 【答案】BCD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出,A B 的坐标，即可得2202(1)1AB b x =+-0x 的取值范围即可得min ||2AB b =，从而可判断A ，由中点坐标公式可判断P 是,A B 的中点，由此可判断BC ，由余弦定理结合122F D DF =可判断D.【详解】先求双曲线2221y x b-=上一点00(,)P x y 的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由2221y x b -=，得222y b x b -2222y b x b'=-则在00(,)P x y 的切线斜率22022200b x y y b x b '==-，所以在点00(,)P x y 处的切线方程为：20000()b x y y x x y -=- 又有220021y x b-=，化简即可得切线方程为： 0021y y x x b -=.不失一般性，设00(,)P x y 是双曲线在第一象限的一点， 11(,)A x y 是切线与渐近线在第一象限的交点， 22(,)B x y 是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是y bx ±=，联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得：20000(,)b b A bx y bx y --， 联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：20000(,)b b B bx y bx y -++，则AB =又因为01x ≥，所以AB≥2b =，即min ||2AB b =，A 错误； 由220000000000,22b b b b bx y bx y bx y bx y x y -++-+-+==， 可知00(,)P x y 是,A B 的中点，所以OAP OBP S S =△△，B 正确； 易知点D 的坐标为01(,0)x ， 则221200000111()22AOBADOBDOb b SSSOD y y b x bx y bx y =+=⨯⨯-=⨯⨯+=-+， 当点00(,)P x y 在顶点(1,0)时，仍然满足AOB S b =△，C 正确； 因为1201(,0),(,0),(,0)F c F c D x -，所以101(,0)F D c x =+，201(,0)DF c x =-， 因为122F D DF =，则00112()c c x x +=-，解得03c x =，即03x c=， 代入220021y x b -=，得222029b y b c=-，所以222222212223999()6b b PF c b c b c c c c=++-=+++- 2222299(1)6(1)16c c c c c -=+++--=， 222222222223999()6b b PF c b c b c c c c=-+-=+-+- 2222299(1)6(1)4c c c c c-=+-+--=， 所以2222212121212164451cos 224244PF PF F F c c F PF PF PF +-+--∠====⨯⨯⨯⨯，所以24c =，2c =，所以离心率2ce a==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点00(,)P x y 的切线方程，并联立渐近线方程，求得,A B 的坐标，判断出P 是AB 中点.三、填空题13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 14．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ， 则数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第______项. 【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式，再推导出数列{}n c 的通项即可计算作答.【详解】依题意，数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为31,53n n a n b n =-=-，令,,N k m a b k m *=∈，即有3153k m -=-，则522233m m k m -+==-，因此23,N m p p *+=∈，即32,N m p p *=-∈，有32p p c b -=，于是得数列{}n c 的通项为325(32)31513n n c b n n -==--=-，10137c =，由53137n -=得：28n =， 所以数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第28项. 故答案为：2815．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值fd称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角2π3θ=，则其焦径比为______．【答案】34【分析】理解题意，根据抛物线有关知识求解【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，则2p f =． 设()00,A x y ，因为2π3θ=，所以00222p p AF x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以06p x =，所以033y p =，所以02323d y p ==，故其焦径比324233pf d p==． 故答案为：3416．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由余弦定理求出BD AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：BD = 因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥， 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1AB =为平行四边形， 故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影， 设BC 与AD 相交于点M ，11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ， 则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒， 故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===， 即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点， 连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大， 如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =， 由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =； 如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ， 其中2211112A N A B B N =+=， 设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：()2221122AO A N ON h =+=+-，2221OC OE EC h =+=+， 故()22221h h +-=+，解得：54h =， 此时外接球半径为25411164OC =+=，故外接球表面积为41414ππ164⨯=，但因为点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,n n a a S +==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足24n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；(2)1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．【分析】（1）利用()12n n n S S a n --=≥求解即，注意验证1n =时是否符合； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为1n n a S +=，所以当2n ≥时，1nn a S -=，由此可得()11n n n n n a a S S a +--=-=，所以12n n a a +=，其中121a S ==，所以当2n ≥时，22222n n n a a --=⋅=，11a =不符合上式，所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. （2）由（1）得2224424n n n n b n a n n -=⋅=⋅=⋅， 1231142434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，221141424(2)4(1)44n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+⋅，可得()21114144134444441433nn n n n n T n n n +++⨯-⎛⎫-=+++-⋅=-⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭． 18．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？ 【答案】(1)82.5 (2)910；初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再古典概型的公式即可求解；由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6，列方程组求出,m n ，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x 分能进入面试，由此可得(95)0.040.0250.18x -⨯+⨯=，即可求解.【详解】（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为1(8085)82.52+=；（2）“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+⨯=，“优秀”学生频率为10.40.6-=； 由分层抽样可得“良好”的学生有50.42⨯=人，“优秀”的学生有3人， 将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共10种， 其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb 共9种， 所以至少有一人是“优秀”的概率是910P =由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)54025400.022n m n m +⨯⨯=⨯⨯⇒+=，①又三，四，五组的频率和为(0.02)50.6n m ++⨯=，② 由①②可得0.04,0.06m n ==第五组人数频率为0.0250.110%⨯==，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%+⨯==，故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得x 分能进入面试，则(95)0.040.0250.1893x x -⨯+⨯=⇒=，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试． 19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=， 解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=， 代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去）， 所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（Ⅰ）求证：//AD BC ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）49.【分析】（Ⅰ）由//CF AE ，可得//CF 平面ADE ，从而有平面//BCF 平面ADE ，结合，面面平行的性质可得//AD BC ；（Ⅱ）依题意，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ，利用法向量即可求出答案． 【详解】（Ⅰ）证：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∴平面//BCF 平面ADE ， ∴平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE 平面ABCD BC =， ∴//AD BC ；（Ⅱ）解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ， (1,1,0)BD =-，(1,0,2)BE =-，(1,2,2)CE =--，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1z =，可得(2,2,1)n =，因此有4cos ,9||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-‖，∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．【点睛】本题主要考查线线平行的证明，考查向量法求线面角，属于中档题．21．过双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2.(1)若2ABF △是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，求Γ的离心率的取值范围. 【答案】(1)2212y x -=； (2)(5,12⎤+⎦.【分析】（1）结合图像，分别求得122,4AF AF ==，1223F F =，从而求得,,a b c ，由此双曲线Γ的标准方程可求；（2）联立方程，由韦达定理得12y y +与12y y ，再由22AF BF ⊥推得221212()2(140)y y m m y y c ++-=+，由此得到关于,,a b c 的一个齐次方程，可求得离心率e 的范围，再由y 1y 2<0，得到关于,,a b c 的另一个齐次方程，缩小离心率e 的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得122,4AF AF ==，1223F F =， 所以2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，a ＝1，12223==c F F ，3c =，b 2＝c 2－a 2＝2， 此时Γ的标准方程为2212y x -=.（2）依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ＝my －c ，联立22221x my c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得22222420()b m a y b cmy b --+=，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122222b cm y y b m a +=-，412222b y y b m a =-，由AF 2⊥BF 2得220AF BF =⋅，故(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(my 1－2c )(my 2－2c )＋y 1y 2＝0，整理得()()2212121240m y y cm y y c +-++=，即(m 2＋1)b 4－4m 2c 2b 2＋4c 2(b 2m 2－a 2)＝0，则(m 2＋1)b 4＝4a 2c 2，所以2224411a c m b+=≥，故4a 2c 2≥(c 2－a 2)2，所以c 4＋a 4－6a 2c 2≤0，两边除以4a ，得e 4－6e 2＋1≤0，解得233e -≤≤＋又因为e >1，所以(2211e ≤≤+，故11e ≤≤又A ，B 在左支且l 过F 1，所以y 1y 2<0，即42220b b m a <-，故222a m b <，所以222242411a c a m b b+=<+，所以()22224222224a c a b b b a b b c <+=+=，即4a 2<b 2＝c 2－a 2，则225a c <，故e 2>5，即e >1e ≤e ∈.22．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的方程为：y x t =+，椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点N （与M 不重合）在椭圆Γ上，求t 的值；(3)设()2,0P -，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，若点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，求k 的值；【答案】(1)2213x y +=(2)12(3)2【分析】（1）利用题给条件求得a b 、的值，即可求得椭圆Γ的方程；（2）先求得点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，并代入椭圆Γ的方程，即可求得t 的值； （3）先利用设而不求的方法求得点C ，D 的坐标，再利用向量表示点C ，D 和点Q 三点共线，进而求得k 的值【详解】（1）椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为则a =cac =1b =则椭圆Γ的方程为2213x y +=； （2）设椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点(,)N s n 则132********n s t n s ⎧+-⎪=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪+⎩，解之得1232s t n t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，则13(,)22N t t --+ 由N 在椭圆Γ上，可得22112233t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎭+=⎝， 整理得22520t t -+=，解之得12t =或2t = 当2t =时31,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点M 重合，舍去.则12t = （3）设11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，，，，则222211223333x y x y +=+=， 又()2,0P -，则1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+ 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222111(13)121230k x k x k +++-= 则2113211213k x x k +=-+，则2131211213k x x k =--+ 又1112y k x =+，则211131211112271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则13147y y x =+，则11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭, 令则2222PB y k k x ==+，直线PB 的方程为2(2)y k x =+ 由222(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222(13)121230k x k x k +++-= 则2224221213k x x k +=-+，则2242221213k x x k =--+又2222y k x =+，则222242222212271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则24247y y x =+，则22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 则()11111117127111,,474472447472x y y QC x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()22222227127111,,474472447472x y y QD x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，可得//QC QD 则()()21122111110447472447472y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭整理得21212()y y x x -=-，则21212y y k x x -==- 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】C【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在x 轴上且122p =，∴其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.2．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（）A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样【答案】B【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.3．点(0,0)与点(2,2)-关于直线l 对称，则l 的方程是（）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】B【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点(0,0)与点(2,2)-直线的斜率为20120-=---，则直线l 的斜率为111-=-，点(0,0)与点(2,2)-的中点为(1,1)-，所以直线l 的方程为11y x -=+，即20x y -+=.故选：B4．下列叙述中，错误的是（）A ．数据的标准差比较小时，数据比较分散B ．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响C ．数据的极差反映了数据的集中程度D ．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变【答案】A【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A 错误；样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B 正确；数据的极差反映了数据的集中程度，故C 正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D 正确.故选：A.二、多选题5．已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A ．ab ac>B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．三、单选题6．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）记忆能力x46810识图能力y 3568A ．9.2B ．9.7C ．9.5D ．9.9【答案】C 【分析】求出,x y ，线性回归方程 45y x a =+恒过(),x y ，代入即可求出a ，再令x ＝12，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14681074x =⨯+++=，()13568 5.54y =⨯+++=，线性回归方程为45y x a =+，则45.575a =⨯+，解得0.1a =-，故41510y x =-，当x ＝12时， 41129.5510y =⨯-=.故选：C.7．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，给出下列三个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若α⊥β，β⊥y ，则α∥y ；③若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，则l ∥m ∥n .其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由线面、面面的平行、垂直的判定与性质逐一判断即可.【详解】l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，对于①，若m ∥l ，且m ⊥α，则由线面垂直的判定定理得l ⊥α，故①正确；对于②，若α⊥β，β⊥y ，则α与y 相交或平行，故②错误；对于③，如图，若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，结合图形得l ，m ，n 交于同一点，故③错误.故选：B.8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a ＝12，b ＝8，i ＝0，则输出的结果为（）A ．a ＝6，i ＝2B ．a ＝5，i ＝3C ．a ＝4，i ＝2D ．a ＝4，i ＝3【答案】D 【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.【详解】初始值a ＝12，b ＝8，i ＝0，第一次执行循环体后，i ＝1，a ＝4，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i ＝2，b ＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i ＝3，a ＝b ＝4，满足退出循环的条件；故输出i ＝3，a ＝4，故选：D.9．直线l 经过点()1,2A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线l 的方程，得到其在x 轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，则方程为()21y k x -=-，令0y =，解得21x k=-，故直线l 在x 轴上的截距为21k-，∵在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，∴2313k-<-<，解得1k <-或12k >.故选：C.10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度|AB |＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A ．3.1mB ．3.3mC ．3.5mD ．3.7m【答案】B 【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则()4,4C -，设抛物线方程()220x py p =->，将点C 代入抛物线方程得2p =，∴抛物线方程为24x y =-，行车道总宽度6m AB =，∴将3x =代入抛物线方程，则 2.25m y =-，∴限度为6 2.250.5 3.25m --=.故选：B.11．已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的33倍，若其外接球的表面积为60π，则该棱柱的底面边长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先设底面边长为a ，从而用a 表示出棱柱的高（它的一半即为球心到底面的距离d ）和底面外接圆的半径r ，再由球的表面积求出球的半径，然后利用222R r d =+即可列式求解.【详解】设该棱柱的底面边长为a ，则该棱柱的高为33a ，设正三角形的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得2πsin 3ar =，即3a r =，设其外接球的半径为R ，则24π60π=R ，即215R =，又22236a R r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以236a =，即6a =，则该棱柱的底面边长为6，故选：C.12．已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【分析】因为1//OQ PF ，O 是12F F 的中点，所以Q 为PF 2的中点．又2QF OP ⊥，2F 到渐近线b y x a =的距离为b ，得出21QF F ∠的余弦值，在△QF 2F 1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】根据对称性不妨设P 为第一象限的点，∵O 为F 1F 2的中点，又1//OQ PF ，∴Q 为PF 2的中点，又F 2（c ，0）到b y x a=的距离22bc d b a b ==+，∴|PF 2|＝b ，∴|QF 2|＝2b ，连接1QF ，所以12222b QF QF a a =+=+，又|F 1F 2|＝2c ，∵PO 的斜率为b a，又QF 2⊥PO ，∴QF 2的斜率为a b -，∴21tan a QF F b ∠=，∴21cos b QF F c∠=，在△QF 2F 1中，由余弦定理可得：224242222b b c a b b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⋅⋅，化简可得a ＝b ，∴双曲线C 的离心率为221b a+＝2.故选：A.四、填空题13．写出使“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值___.【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）【分析】由双曲线焦点在x 轴上的特征求解即可.【详解】∵方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则030m m >⎧⎨-<⎩，即3m >，∴“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.14．已知变量x ，y 满足约束条件320x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____.【答案】5【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+得1122y x z =-+，平移直线1122y x z =-+，由图象可知当直线1122y x z =-+经过点A 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由23y x x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，此时1225z =+⨯=，故答案为：5.15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台O ′O 的母线长为________cm.【答案】9【分析】设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，利用相似知识，求出圆台的母线长．【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得334x y x=+．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm ．故答案为9cm ．【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.16．关于曲线:1C x x y y +=有如下四个命题：①曲线C 经过第一、二、四象限；②曲线C 与坐标轴围成的面积为π2；③直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点；④直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分0,0x y ≥≥，0,0x y <>，0,0x y ><，0,0x y <<四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当0,0x y ≥≥，可得曲线方程为221x y +=，为圆的一部分；当0,0x y <>，可得曲线方程为221y x -=，为双曲线的一部分；当0,0x y ><，可得曲线方程为221x y -=，为双曲线的一部分；当0,0x y <<，曲线方程为221x y --=，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C 经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S ＝21ππ144S =⋅⋅=，故②不正确；③中，因为直线x y m +=的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O 到直线的距离||12m d ==，0m >，则2m =时，直线与曲线相切，只有一个交点，当()0,2m ∈时，直线与曲线有两个交点，当2m >或0m ≤时，直线与曲线无交点，所以直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.五、解答题17．已知函数2()1f x x x m =-+，R m ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()10f x x m --+<.【答案】(1)()2,2-(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出m 的范围；（2）化简不等式，然后讨论1m =，1m >，1m <三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为R ，则240m ∆=-<，解得22m -<<，所以实数m 的范围为()2,2-；（2）不等式()10f x x m --+<化简为2(1)0x m x m -++<，即(1)()0x x m --<，因为方程2(1)0x m x m -++=的两根分别为11x =，2x m =，当1m =时，不等式化为2(10)x -<，此时不等式无解，当1m >时，解不等式可得1x m <<，当1m <时，解不等式可得1m x <<，综上可得：当1m =时，不等式的解集为∅，当1m >时，不等式的解集为(1,)m ，当1m <时，不等式的解集为(,1)m ．18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为SD 、BC 的中点.(1)证明：//EF 平面SAB ；(2)若平面SAD ⊥平面ABCD ，且△SAD 是边长为2的等边三角形，120BAD ∠=︒.求四棱锥S ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据题意，取SA 中点M ，连接BM ，EM ，即可证明MEFB 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，取AD 的中点N ，连接SN ，由线面垂直的判定定理即可得到SN ⊥平面ABCD ，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.【详解】（1）证明：取SA 中点M ，连接BM ，EM .又E 分别为SD 的中点，所以//ME AD ，且ME ＝12AD ，因为底面ABCD 为菱形，F 分别为BC 的中点，所以BF ＝12AD ，//BF AD ，所以//ME BF ，且ME ＝BF .所以MEFB 为平行四边形.所以//EF BM .又因为EF ⊄平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，所以//EF 平面SAB .（2）取AD 的中点N ，连接SN ，因为SAD 是边长为2的等边三角形，所以SN ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SN ⊂平面SAD ，所以SN ⊥平面ABCD ，因为菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AD ＝2，所以3sin 22232ABCD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=，因为SA ＝AD ＝SD ＝2，N 是AD 的中点，易得SN ＝3.所以三棱锥S ﹣ABC 的体积V ＝11233233ABCD S SN ⋅=⨯⨯=.19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析【分析】（1）根据概率和为1算出a 的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a +0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a ＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：x ＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x ，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x ）×0.1+0.08＝0.2，解得x ＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.20．已知圆心为C 的圆过点()3,0A ，()2,3B ，在①圆心在直线10x y --=上；②经过点()1,2M -这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C 的方程；(2)经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，已知切线长为4，求点P 的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，()2214x y -+=(2)()3,4或()5,2【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线AB 垂直平分线所在直线方程，然后与直线10x y --=联立，即可得到圆心，从而得到圆C 的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.【详解】（1）若选①，∵圆过点()3,0A ，()2,3B ，则直线AB 的斜率为3323k ==--，所以与直线AB 垂直的直线斜率32k '=，且AB 的中点为323,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，即53,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则AB 的垂直平分线所在直线方程为335232y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即310x y --=，又知圆心在直线10x y --=上，∴31010x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得1,0x y ==，所以圆心()1,0C .半径为2r AC ==.所以圆的标准方程为()2214x y -+=.若选②，设圆的方程为220x y Dx Ey F +++==，（其中2240D E F +->），则930432301420D F D E F D E F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得2,0,3D E F =-==-，所以，圆方程为22230x y x +--=，化为标准方程为()2214x y -+=.（2）设(),7P x x -，∵经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，切线长为4，∴()()()22221744x x -+-=+，化简得22165020x x -+=，∴28150x x -+=，解得3x =或5x =，∴点P 的坐标为()3,4或()5,2.21．已知曲线C 上任意点到点F （1，0）距离比到直线x +2＝0的距离少1.(1)求C 的方程，并说明C 为何种曲线；(2)已知A （1，2）及曲线C 上的两点B 和D ，直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝1，求证：直线BD 经过定点.【答案】(1)y 2＝4x ，抛物线；(2)证明见解析.【分析】（1）设曲线C 上的点P （x ，y ），化简方程22(1)1|2|x y x -++=--，即得解；（2）由直线AB ，AD 的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线BD 的方程，将求出C 的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标．【详解】（1）设曲线C 上的点(,)P x y ，由题意22(1)1|2|x y x -++=--，且2x >-，整理可得：24y x =；可得曲线C 的方程为24y x =,曲线为抛物线；（2）证明：显然直线AB ，BD 的斜率存在，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，11121y k x -=-，22221y k x -=-，利用齐次式方程，所以设直线BD 的方程为(1)(2)1m x n y -+-=，设抛物线的方程为2[(2)2]4[(1)1]y x -+=-+，整理可得：2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，将(1)(2)1m x n y -+-=代入2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，整理可得：2(2)4(2)[(1)(2)]4(1)[(1)(2)]0y y m x n y x m x n y -+--+----+-=，即22(14)(2)(44)(1)(2)4(1)0n y m n x y m x +-+-----=，两边同时除以2(1)x -可得：222(14)()(44)4011y y n m n m x x --+⋅+-⋅-=--，△0>，设方程的根为1k ，2k ，则124414m n k k n-+=-+，由题意可得44114m n n --=+，整理可得41m -=，与(1)(2)1m x n y -+-=对应项相等，可得14x -=-且20y -=，解得3x =-，2y =，即直线(1)(2)1m x n y -+-=恒过定点(3,2)-，即可证得直线BD 恒过定点(3,2)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为105，短轴长为23.(1)求C 的方程；(2)过C 的右焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB += ，过点M 作AB 的垂线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点.记MFD △，△OED （O 为坐标原点）的面积分别为1S ､2S ，求1221S S S S +的取值范围.【答案】(1)22153x y +=(2)97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由短轴长可求出b ，由离心率的值可求出a ，即可求出椭圆方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点M 的坐标，由直线MD 的方程可求出点D ,E 的坐标，求出MFD △，△OED 的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.【详解】（1）由题意可得223b =，解得3b =，221015c b e a a ==-=，解得，25a =，所以椭圆的方程为：22153x y +=；（2）由（1）得右焦点(2F ，0)，由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为点M 满足0MA MB += ，所以M 为AB 的中点，联立222153x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(53)6290m y my ++-=，因为F 在椭圆内部，显然0∆>，1226253m y y m +=-+，122953y y m -=+，所以AB 的中点M 的纵坐标为23253m m -+，代入直线l 的方程为22325225353m x m m m -=⋅+=++，即252(53M m +，232)53m m -+，即直线ME 的方程为225232()5353m y m x m m =---++，令0x =，解得22253E m y m=+，即222(0,)53m E m +，令0y =，解得22253D x m =+，即222(53D m +，0)，12DOE S OD OE =⋅ ，12MFD S MF MD = ，由题意可得△DOE ∽△DMF ，所以DOOEDM MF =，设DO OEk DM MF ==，则212S k S =，而2222222222228||84(53)||18(1)9(1)522232()()535353OD m k DM m m m m m m +====++--++++，所以21222149(1)9(1)4S S m S S m ++=++，设211t m =+>，令12211649981()944S S t f t t S S t t ⎛⎫ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，1t >，函数在()1,+∞单调递增，所以4997()9436f t >+=，所以1221S S S S +的取值范围为97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
九师联盟 河南省周口市2020~2021学年高二10月联考 数学文 含答案
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浙江省温州市2020学年十校联合体高二上期末数学试卷((有答案))
2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D, y 2=8x（4分）已知直线1I : x-y+1=0和l2： x-y+3=0,则1I 与l 2之间距离是（2V2B .乎 C. 6 D. 2（4分）正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中，二面角 A-BD 1-B I 的大小是（y 22=1,则AOAB （O 为坐标原点）的面积为（A. JT9. （4分）已知在△ ABC 中，/ACB F ，AB=2BC 现将△ ABC 绕BC 所在直线旋转到△ PBC, 设二面角P- BC- A 大小为9, PB 与平面ABC 所成角为a, PC 与平面PAB 所成角为就若0V 9＜九，则（ ）2. A.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（A. — 口B. —yC. — vD.12 16 4. （4分）若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则 A. 0 或 2 B. 2 C.匹 D. &或 2m 的值是（5. （4分）在四面体 ABCD 中（ ）命题①：AD± BC 且 AC ，BDWJAB ，CD命题②：AC=AD 且 BC=BDIU AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确, 命题②正确 6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线,命题是（ ）a 、 B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 A. m± a,n? B, m± n? a± p B. // & m± a, n// ? m±n C. a± p, m± a, n // ? m ± n D. a± p, A B=m n±m? n，B7. A. JU y B. 7T 工C. D. 8. （4分）过点（0, -2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1, y 1），B （x 2, y 2）两点，且y 12- C.A.立且看in0 B・立《一■且win F〈“零~J J 心3C s《m且B " D.且& 36 310.（4分）如图，Fi, F2是椭圆Ci与双曲线C2的公共焦点，点A是Ci, C2的公共点.设Ci, Q的离心率分别是ei, e2, Z FiAF2=2 9,则（）12.（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积V=cm3,俯视图13.（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M, N为抛物线上的一点，则满足|即|二号慌川，则/町F=.14.（6分）已知直线li： y=mx+1和l2： x=-my+1相交于点P, O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示）,I而I的最大值是.15.（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1则该四面体体积的最大值是表面积的最大值是.2216.(4分)过双曲线G:弓三二1 (a>0, b>0)的右顶点A作斜率为1的直线m,分别与两渐近线交于B, C两点，若|AB|二2|AC,则双曲线G的离心率为.17.(4分)在棱长为1的正方体ABCA A i B i C i D i中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)，对确定的常数m,若满足|PB|十| PD尸m的点P的个数为n,则n的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)已知抛物线C: y2=4x,直线l: y=-x+b与抛物线交于A, B两点.(I )若| AB| =8,求b的值；(H)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.19.(15分)在四棱锥E— ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC1底面ABCD F为BE的中点.(I )求证：DE//平面ACF(II )求证：BD，AE;(田)若AB=岳CE在线段EO上是否存在点G,使CG，平面BDR若存在，求出毁的值，若不存在，请说明理由.20.(15 分)如图，四棱锥P- ABCD PA1底面ABCD AB//CD, AB± AD, AB=AD=PA=2 CD=4E, F分别是PC PD的中点.(I ) 证明：EF//平面PAB(II )求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值.21.(15分)已知点C (XO, y0)是椭圆装―+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F (1, 0).(I )若圆C与y轴相切，求实数X0的值；(H)若圆C与y轴交于A, B两点，求|FA?| FB的取值范围.2 222.(15分)已知椭圆C的方程是［一*9二］,直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点, 4 3若F i M^l, F2N，l, M, N分别为不足.(I )证明：丽1n| + |F 刈>2小(II )求四边形F1MNF2面积S的最大值.2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷AFG =^ S AABC , AE^AAp 参考答案与试题解析、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D. y 2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴, 设抛物线标准方程为：x 2=2py （p>0）, ••・抛物线的准线方程为y=- 2, ・..L=2,2 ，故选C.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA i, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（【解答】解：.「三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, ・..V=Sx AB C ?AA 1 ,. E, F, G 分别是AA 1, AB, AC 的中点,•.p=4,••.抛物线的标准方x 2=8y.故选A.2. （4分）已知直线11： x - y+1=0和12： x- y+3=0,贝^ 11与12之间距离是（A. D. 2【解答】解：:已知平行直线1I ： x-y+1=0与l2： x- y+3=0,；1I 与l2间的距离d 1^U72 W2,A T yB 五怆正皿 12「•三棱锥E— AFG体积:V EAFG=y X s6. X * S^BC)X*N)=^S ABCPAA》］故选：D.a G4.（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A. 0 或2B. 2C. &D. &或2【解答】解：二,圆x2+y2=m的圆心为原点，半径「二6若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d=-^-=/r ,解之得m=2 （舍去0）故选B.5.（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD± BC且AC, BDWJABL CD命题②：AC=AD且BC=BD0fj AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AEL面BCD于E,连接DE,可得A已BC,同理可得AEE± BD,证得E 是垂心，则可得出AE± CD,进而可证得CDX面AEB,即可证出AB± CD,故①正确；对于②，取CD的中点O,连接AO, BO,则CD±AO, CD± BO,. AOnBO=Q.-.CD±面ABO,,. AB?面ABO,.-.CD± AB,故②正确.故选A.6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 命题是（ ）A. m± a, n? B, m±n? a± 0B. all & m± a, n// ? m±nC. a± p, m± a, n // ? m± nD. a± p, aA p =m n±m? n± p【解答】解：设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面，则：m ± a, n? B, m ，n 时，a 、B 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确all 3 m ± a, n // B 时，m 与n 一定垂直，故B 正确a± p, m± a, n// B 时，m 与n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 错误a± 3 aA B =m 寸，若n ，m, n? a,则n,机但题目中无条件n? a,故D 也不一定成立, 故选B.7. （4分）正方体 ABCD- AiBiCiDi 中，二面角A-BDi-Bi 的大小是（【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 为z 轴，建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD- AiBiCiDi 中棱长为i,则 A (i, 0, 0), B (i, i, 0), Bi (i, i, i), Di (0,0, i), 尾(0, - i, 0),西=(-i, — i, i),西二(0, 0, i),设平面ABDi 的法向量n= (x, y, z),n-BA=-y=O 一 ，一则卜-- ，取y ，行n=S, 1， n ・ BDi = -K-y4-7=0L 从 设平面BBiDi 的法向量ir = (a, b, c),nrBB ［二 c 二。
2020-2021学年浙江省温州市乐清市知临中学高二上学期期末考试数学试卷含详解
C
【分析】根据焦点到渐近线的距离求得 关于 的表达式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 的一条渐近线为 ，
焦点为 ，
焦点到渐近线的距离为 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故选：C
7.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则
A. B. C. D.
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最大1份为（）
A.35B. C. D.40
5.若实数x，y满足 的最大值是 ，则a的值是（）
A. B.4C.2D.3
6.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 （ 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）
故选：A
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最大1份为（）
A.35B. C. D.40
C
【分析】根据题意每人所得面 ，成等差数列且依次增大，有 ，化简可得 ，再列方程 ，求得 和公差 ，利用等差数列通项公式即可得解.
【详解】根据题意设每人所得面为 ，成等差数列且依次增大，
则有 ，
所以 ，
可得 ，
化简得： ，
设公差为 ，所以 ，
所以 ，
.
故选：C
5.若实数x，y满足 的最大值是 ，则a的值是（）
A. B.4C.2D.3
D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先确定 的最大值是 时，对应的最优解，进行求解即可．
2021-2022学年陕西省汉中市高二年级上册学期期末校际联考数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期末校际联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}21A x x =-<≤{}2,1,0,1,2B =--A B = A ．B ．C ．D ．{}1,1-{}1,0,1-[]1,1-{}2,1,0,1,2--【答案】B【分析】由交集运算定义即可求.【详解】由交集运算定义可得.A B = {}1,0,1-故选：B 2．设函数在处的导数为2，则（ ）()f x 1x =0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．2B ．1C ．D ．623【答案】A【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，()f x 1x =所以.()()011limx f x f x∆→+∆-∆()21f '==故选：A.3．命题“，”的否定是（ ）()0,0x ∃∈-∞002sin 0x x +<A ．，B ．，()0,0x ∃∈-∞002sin 0x x +≥(),0x ∀∈-∞2sin 0xx +≥C ．，D ．，(),0x ∀∈-∞2sin 0xx +<()0,0x ∃∈-∞002sin 0x x +>【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.【详解】命题“，”的否定是：对，.()0,0x ∃∈-∞002sin 0x x +<(,0)x ∀∈-∞2sin 0x x +≥故选：B4．如果，且，那么下列不等式一定成立的是（ ）,,a b c ∈R a b <A ．B ．c a c b-<-22a b->-C ．D ．ac bc >1b a>【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.【详解】对于A 项，因为，所以，所以，故A 项错误；a b <a b ->-c a c b ->-对于B 项，因为，所以，所以，故B 项正确；a b <a b ->-22a b ->-对于C 项，因为，若，则，故C 项错误；a b <0c =0ac bc ==对于D 项，取，，则满足，但，故D 项错误.1a =-1b =a b <11ba =-<故选：B.5．已知是双曲线右支上的一点，的左､右焦点分别为，且P 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 12,F F ，的实轴长为，则（ ）118PF =C 122PF =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】根据双曲线的定义可求.【详解】因为在双曲线的右支上，所以P 2222:1x y C a b -=12212.PF PF a -==又因为所以.118,PF =218126PF =-=故选：B.6．以下求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．(cos )sin x x '=21(log )x x='211(xx '=-1(1ln )1x x'+=+【答案】C【解析】直接利用导数的运算公式求解.【详解】A. ，故错误；(cos )sin x x '=-B.，故错误；21(log )ln 2x x '=C. ，故正确；211()xx '=-D. ，故错误；1(1ln )x x '+=故选：C 7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．为的极小值点B ．2为的极大值点2-()f x ()f x C ．在区间上，是增函数D ．在区间上，是减函数()1,1-()f x ()3,2--()f x 【答案】B【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系，结合极值点定义判断即可.【详解】对AD ，在，，单调递增；在，，单调递减，()3,2--()0f x ¢>()f x ()2,0-()0f x '<()f x 故为的极大值点，AD 错；2-()f x 对B ，在，，单调递增；在，，单调递减，故2为()0,2()0f x ¢>()f x ()2,3()0f x '<()f x 的极大值点，B 对；()f x 对C ，在，，单调递减；在，，单调递增，C 错.()1,0-()0f x '<()f x ()0,1()0f x ¢>()f x 故选：B8．设，则“”是“直线与平行”的（ ）m R ∈3m =-1:32l mx y m +=-2:(2)1l x m y ++=A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】C【分析】由直线与平行，可得且，解出即1:32l mx y m +=-2:(2)1l x m y ++=312m m =+211m m -≠可判断出．【详解】解：直线与平行，1:32l mx y m +=-2:(2)1l x m y ++=则且，解得，312m m =+211m m -≠3m =-因此“”是“直线与”平行的充要条件.3m =-1:32l mx y m +=-2:(2)1l x m y ++=故选：C.9．若满足约束条件则的最小值为（ ）,x y 4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩3z x y =+A ．18B ．10C ．6D ．4【答案】C【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.3y x z =-+【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,43x y y +=⎧⎨=⎩()1,3A 转换目标函数为，3z x y =+3y x z =-+上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，3y x z =-+A z 此时.min 3136z =⨯+=故选：C.10．已知命题p ：∃x0∈R ，，命题q ：∀x ∈R ，x2＋x ＋1>0.则下列命题为真命题的是( )0012x x +<A ．p ∧q B ．()∧q p ⌝C ．p ∧()D ．()∧()q ⌝p ⌝q ⌝【答案】A【分析】本题的关键是判定命题p ：，使得，命题q ：∀x ∈R ， 的真0x ∃∈R 0012x x +<2 10x x ++＞假，再利用复合命题的真假判定．【详解】对于命题p ：，使得，0x ∃∈R 0012x x +<当x ＜0时，命题p 成立，命题p 为真命题q ：∀x ∈R ，，显然，命题q 为真210x x ++＞22131(024x x x ++++＝＞∴根据复合命题的真假判定，p ∧q 为真，（￢p ）∧q 为假，p ∧（￢q ）为假，（￢p ）∧（￢q ）为假故选A.【点睛】本题考查复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．11．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是A ．米B ．米C ．米D ．【答案】A【分析】建立直角坐标系，求抛物线方程，再求结果.【详解】一抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线为x 轴建立直角坐标系，如图，可设抛物线方程为，因为过点，所以，2x my =()6,2-2262,18,18m m x y =-=-=-令，则A.1y =-2x x =∴=【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析判断能力，属基础题.12．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离C 2216480x y y +-+=E ()222210,0y x a b a b -=>>E 心率为（ ）A ．2BCD 【答案】C【分析】根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率.12b c=【详解】由得，2216480x y y +-+=()22284x y +-=所以圆心，半径，()0,8C 4r =双曲线：的一条渐近线为，E ()222210,0y x a b a b -=>>0ax by -=由题意得圆心到渐近线的距离，所以，84b d c ===12b c=所以，所以a ==c e a ==二、填空题13．函数的定义域为_________.22()log (1)f x x =-【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】，()()22log 1f x x =- ，210x ∴->解得11x -<<所以函数的定义域为，()()2log 1a f x x =-()1,1-故答案为：()1,1-14．已知抛物线上一点到其焦点的距离为8，则______．()2:20C y px p =>()03,P y p =【答案】10【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可【详解】准线方程为，则由抛物线上的点到其焦点的距离为8得，故2p x =-()03,P y 382p æöç÷--=ç÷èø.10p =故答案为：1015．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【分析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为： 12442ππ⨯⨯=42R ππ∴=即圆锥的底面半径为：2R =圆锥的高为：h ==圆锥的体积为：∴2123V π=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.16．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．ln xa x >)2,e x ⎡∈+∞⎣a 【答案】22,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】原命题等价为，由导数法求，最大值即可.max ln x a x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()ln x f x x =)2,e x ⎡∈+∞⎣【详解】令，，则，()ln x f x x =)2,e x ⎡∈+∞⎣()21ln xf x x -'=∵，故，故在上单调递减，(]1ln ,1x -Î-¥-()0f x '<()f x )2e ,⎡+∞⎣故，故.()()222e e f x f £=22e a >故答案为：22,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数（为自然对数的底）.()xf x xe =e （1）求函数的单调递增区间；()f x （2）求曲线在点处的切线方程.()y f x =()()1,1f 【答案】（1）；（2）.()1,-+∞20ex y e --=【分析】（1）对函数求导，使导函数大于零，从而可求出函数的增区间，（2）利用导数的几何意义求解即可【详解】解：（1）()()()'1x x f xe f x x x e =⇒=+令，即函数的单调递增区间是；()'01x f x >⇒>-()f x ()1,-+∞（2）因为，，()1f e=()'12f e=所以曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()1,1f ()21y e e x -=-即.20ex y e --=18．已知等比数列中，，．{}n a 11a =418a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．2log n n b a ={}n b n n S 【答案】(1)112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)(1)2n n n S -=【分析】（1）根据条件求出即可；q（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.1221log log 12n n n b a n-⎛⎫===- ⎪⎝⎭【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q有，解得34118a q a ==12q =故数列的通项公式为；{}n a 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2），1221log log 12n n n b a n-⎛⎫===- ⎪⎝⎭故数列的前项和{}n b n (1)2n n nS -=19．的内角的对边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a B +=(1)求角的大小；B (2)若，，求的面积．3b =2c a =ABC 【答案】(1)π3B =【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，进而得到；cos B B （2）利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可.a 【详解】（1）由正弦定理得：，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=即，()()sin sin πsin 2sin cos B C A A A B+=-==，，，又，.()0,πA ∈ sin 0A ∴≠1cos 2B ∴=()0,πB ∈π3B ∴=（2）由余弦定理得：，解得：2222222cos429b a c ac B a a a =+-=+-=a =2c a ∴==11sin 22ABC S ac B ∴===△20．面对当前严峻复杂的疫情防控形势，为更好教育引导群众理性对待疫情、科学防控疫情，陕西新华出版传媒集团迅速推出《版新型冠状病毒肺炎防护知识读本》、《新冠肺炎防控与心理干2022预问》种抗疫电子出版物．为了解某市市民对这两种抗疫电子出版物的理解情况，从该市1002岁岁的人群中随机抽取了人进行调查，并将这人按年龄分组，得到的频率分布直方1060~100100图如图所示．(1)求图中的值；a (2)将频率视为概率，现从该市年龄在，这两个年龄段的人群中利用分层抽样的方法[)20,30[)30,40抽取人，再从这人中随机抽取人参加座谈，求这人来自不同年龄段的概率．5522【答案】(1)0.005a =(2)35【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果；1（2）根据分层抽样原则可知年龄在和两组中分别抽取的人数，采用列举法可得所有[)20,30[)30,40基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得：．()0.020.030.0250.02101a ++++⨯=0.005a =（2）∵，的频率之比为，[)20,30[)30,400.220.33=∴应从年龄在中抽取人，记为，从年龄在中抽取人，记为，[)20,302,a b [)30,403,,C D E 从人中随机抽取人，所有可能的情况有：，，，，，，52(),a b (),a C (),a D (),a E (),b C (),b D ，，，，共种；(),b E (),C D (),C E (),D E 10其中人在不同年龄段的情况有：，，，，，，共种；2(),a C (),a D (),a E (),b C (),b D (),b E 6∴这人来自不同年龄段的概率．263105P ==21．已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为．()2222:10x y C a b a b +=>>12(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 右焦点且倾斜角为的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，求的值．135︒MN【答案】(1)22143x y +=(2)247【分析】（1）由题意列出方程组求出a ，b ，c ，即可得到椭圆C 的标准方程；（2）由题意可得直线l 的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可得到10x y +-=的值.MN 【详解】（1）由题得，解得，222122212a b c a a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为．22143x y +=（2）由（1）知椭圆C 的右焦点坐标为，()1,0则直线l 的方程为，10x y +-=设，()()1122,,,M x y N x y 联立，化简得，2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩27880x x --=，．1287x x ∴+=1287x x=-．2247MN x ∴=-==22．已知函数.()322133f x x ax a x =+-(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；1a =()f x []0,2(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.()f x ()1,2a 【答案】(1)最大值为，最小值为2353-(2)()21,1,233⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.3a -a 【详解】（1）当时，则函数，，1a =()32133f x x x x =+-()()()22331f x x x x x '=+-=+-令，解得或，()0f x '=3x =-1x =当时，，当时，，01x ≤<()0f x '<12x <≤()0f x ¢>则函数在上单调递减，函数在上单调递增，()f x [)01，()f x (]12，∴在时取得极小值为，且，()f x 1x =()513f =-()()20023f f =<=故在上的最大值为，最小值为.()f x []0,22353-（2）∵，则()322133f x x ax a x =+-()()()22233f x x ax a x a x a '=+-=+-①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；0a =()20f x x '=≥()f x ②当时，令，得或，0a >()0f x ¢>3x a <-x a >∴在，上单调递增，在上单调递减，()f x (),3a -∞-(),a +∞()3,a a -故函数在时取得极大值，在时取得极小值，()f x 3x a =-x a =∴；12a <<③当时，令，得或，a<0()0f x ¢>x a <3x a >-∴在和上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()3,a -+∞(),3a a -故函数在时取得极大值，在时取得极小值，()f x x a =3x a =-∴，解得.132a <-<2133a -<<-综上所述：实数的取值范围是.a ()21,1,233⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭。
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2019学年上期期末联考高二数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 在等比数列{a n }中，a 2=2，a 4=8，则a 6=（ ）A.14B.28C.32D.642、若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 （ ）.A “p q ∨”为假 .B q 假 .C q 真 .D 不能判断q 的真假3. 等差数列{n a }中,0a >n 且30...1021=+++a a a ，则=+65a a （ ）A. 3B. 6C. 9D. 364．已知32()26f x x x x =-++，则f （x ）在点P （－1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积等于（ ）A.4B.5C.254D.1325．下列叙述中正确的是（ ）A ．“m =2”是“1l ：()2140x m y +++=与2l ：320mx y +-=平行”的充分条件B ．“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”C ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“0x R ∃∈，200x ≥”D ．命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b 都是奇数”6．与双曲线13422=-x y 共同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线的标准方程是（ ） A ．16822=-x y B ．18622=-y x C ．191622=-y x D ．116922=-x y 7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知1,3a 3A ===b ，π，则=c （ ）A.1-3B.1C.3D.28．过抛物线y 2=8x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则∣AB∣等于 （ ）A ．12B ．8C ．6D ．49.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥-a x y x y x 00表示平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给的平面区域内，则y x z +=2 的最大值为（ ）A.2B.4C.6D.810．若关于x 的方程033=--m x x 在[02]，上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[22]-，B ．[02]，C ．[20]-，D ．(2)(2)-∞-+∞U ，，11、设过抛物线的焦点F 的弦为PQ ，则以PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上均有可能 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （2）=0，当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立，则不等式x 2()0f x >的解集是 ( )A ．),2()0,2(+∞-UB ．)2,0()0,2(U -C ．),2(+∞D ．),2()2,(+∞--∞U第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中,A:B:C=1:2: 3,则a:b:c=14．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是 .15．已知()2222 1 0 0x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆为正三角形，则双曲线的离心率为 ． 16. 已知函数c bx ax x x f +++=23)(在32-=x 与1=x 时都取得极值，若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，则c 的取值范围为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，若06,3,30a b A ===，解三角形.18、（本小题满分12分）已知命题22:46,:210(0),p x q x x a a -≤-+-≥>若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。
19.（本小题满分12分）).(,1,13)(11n n a f a a x xx f ==+=+且满足：已知 (1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列。
(2){}n b 的前n 项和12-=n n s , 若++=2211a b a b T n…+nn a b ，求n T20．（本小题满分12分）一边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（1）试把方盒的容积V 表示为x 的函数。
（2）x 多大时，方盒的容积V 最大？21.（本小题满分12分）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ (1)求()f x 的极大值和极小值；(2)若()f x 在1x =-处的切线与y 轴垂直，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，ax求m 的取值范围。
22、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为1227，求直线l 的方程．高二文科数学参考答案及评分标准一选择题:C B B C A BD A C A B A二 填空题: 13. 1：3 ：2 14. 15 15.3 16.),2()1,(+∞⋃--∞ 三解答题 17.解:在中,,,,由正弦定理可得,或………………5分当时,可得, 当时,可得,综上可得,,,,,.或,,,,,……………10分18、.解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或 …… 3分 22:2101,1,q x x a x a x a -+-≥≥+≤-，或{}|1,1B x x a x a =≥+≤-记或………6分而,p q A⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩……………… 12分 19. 解:(1), ,则,是首项为1,公差为3的等差数列;………………4分 （2）S n =12-n12-=∴n n b由(1)知的等差数列，公差为是首项是311⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a12)23(231231-⋅-=∴-=∴-=∴n nn n n n a b n a n a T n =)1(2)23(2724112-⋅-++⋅+⋅+n n K)2(2)23(2)53(242212nn n n n T ⋅-+⋅-+⋅+=-K（1）-（2）得：（ -nn nn n n T n T 2)53(52)23(232323112⋅-+=∴⋅--⋅++⋅+⋅+=--K ………………12分204分 （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+，21.（本小题满分12分）解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x > 所以当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，没有极值；当0a>时，由'()0f x >解得x <x>'()0f x <解得x<<所以当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为(。
()f x 极小=21,f =--()f x 极大=(21,f =-………………6分（2）因为()f x 在1x =-处的切线与y 轴垂直，所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'()0f x =解得121,1x x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
………………12分22．解(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴2a ＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52＋32＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝4－1＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ………………4分(2)当直线l ⊥x 轴时，计算得到：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，S △AF 2B ＝12·|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3，不符合题意． ………………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.又|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2 ＝1＋k 2·64k43＋4k22－44k 2－123＋4k2 ＝1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12k 2＋13＋4k2，点F 2到AB 的距离d ＝|k ×1－0＋k |1＋k 2＝2|k |1＋k 2， 所以S △AF 2B ＝12|AB |·d ＝12·12k 2＋13＋4k 2·2|k |1＋k2＝12|k |1＋k 23＋4k 2＝1227， 化简，得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k ＝±1. 所以y=±(x+1) ………………12分。