四川省成都经济技术开发区实验高级中学校高三数学上学

四川省成都经济技术开发区实验高级中学校2017届高三数学上学期期中试
题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =
A ．{}3
B ．{}3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}4 2.已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =
A. i
B. 1i -+
C. 1i +
D. 1i -
3.
将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
A ．
π
12
B ．
π
6
C ．
π
3
D ．
5π6
4. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-，则公比q ＝ A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
5．设D 为不等式组00230x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
表示的平面区域，圆C:22
(5)1x y -+= 上的点与区域D 上的
点之间的距离的取值范围是
A.[ 52
2－1, 34+1) B.[17－1, 34+1] C.[17, 34] D. [17－1, 34－1]
6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不
同取值有
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 7.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随
机选取一个数为b ，则a b >的概率是 A.
45 B.35 C.2
5
D.15
8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_______
（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
9.对任意的实数x 都有f （x+2）﹣f （x ）=2f （1），若y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，且f （0）=2，则f （2015）+f （2016）= A ．0 B ．2
C ．3
D ．4
10.
的左右焦点分别是
，过
作倾斜角
的直线交双曲线右支于
点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
A ．
B ．
C ．
D ．
11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是
12.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++= A 31log 5+ B 32log 5+ C 12 D 10 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知函数)(x f 的对应关系如下表所示，数列{}n a 满足31=a ，)(1n n a f a =+， 则=2016a ．
14．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，
且a c ⊥，
//b c ，则()a b c +⋅= ．
15.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .
16．若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ，在其定义域内均存在唯一的2x ，满足
()()121f x f x =，则称该函数为“依赖函数” ．给出以下命题：①2
1
y x =
为依赖函数；②sin y x =（,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
）为依赖函数；③2x y =为依赖函数；④()(),y f x y g x ==均为
依赖函数，且定义域相同，则()()y f x g x =为依赖函数． 其中，所有真命题的序号为__________．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本题满分12分）
第11题图
已知函数
（1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，b=1，，且a ＞b ，试求
角B 和角C ．
18.（本小题满分12分）
求直线2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）被双曲线22
1x y -=截得的弦长.
19.（本题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *
)，a 1＝1
2.
(1)求证：}1
{
n
S 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若),,2()1(2*
N n n a n b n n ∈≥-=求证：12
2322<+++n b b b .
20. （本题满分12分）
某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n
21
)万元（n 为正整数）.
（1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
21.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 分别是椭圆C1：22
221(0)x y a b a b +=>>和C2：
22
221(0)m x y m n n
+=>>上的动点，已知C 1的焦距为2，且
＝0,又当动点A 在x 轴上的射影为C 1的焦点时，点A 恰在双曲线
的渐近线上．
（I ） 求椭圆C 1的标准方程；
（II ）若C 1与C 2共焦点，且C 1的长轴与C 2的短轴长度相等，
求|AB|2的取值范围；
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中xOy 中，曲线C 1
的参数方程为6,1,2
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）；在以O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为10cos .ρθ=曲线C 1与C 2交于A 、B 两点， 求|AB|。

23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．
（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．
成都经开区实验高级中学2014级高三上期期中考试试卷
数学（文史类）参考答案
1—5 DDBBB 6—10 BDCBB 11—12 CD 13.1 14. 15 15. 78 16. ②③ 17.解：（1）f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x=
sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣），
令2k π﹣
≤2x ﹣
≤2k π+
，x ∈Z ，解得：k π﹣
≤x ≤k π+
，x ∈Z ，
则函数f （x ）的递增区间为[k π﹣，k π+
]，x ∈Z ；
（2）∵f （B ）=sin （B ﹣）=﹣，∴sin （B ﹣
）=﹣，
∵0＜B ＜π，∴﹣＜B ﹣
＜
，
∴B ﹣
=﹣
，即B=，
又b=1，c=，
∴由正弦定理
=
得：sinC==，
∵C 为三角形的内角， ∴C=或
，
当C=时，A=；当C=时，A=
（不合题意，舍去），
则B=
，C=
．
18．
解：把直线参数方程化为标准参数方程1222
x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ …………4分
代入2
2
1x y -=得
221(2))122
t +-=，整理得2460t t --= …………8分
其二根为121212,,4,6t t t t t t +==-则 ………10分
从而弦长12AB t t =-==
=……12分
19.解：(1)证明：由a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，得S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0，
所以1S n －1
S n －1＝2(n ≥2，n ∈N *
)，故⎩⎨⎧⎭⎬
⎫1S n 是等差数列．
(2)由(1)知，1
S n ＝2n ，故S n ＝12n ，a n ＝S n －S n －1＝12n －
)
1(21-n ＝(n ≥2，n ∈N *
)，
所以⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥--==2,)1(211,21
n n n n a n
(3)b n ＝2(1－n )·))1(21(--n n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)，所以b 2n ＝1n 2<)1(1-n n ＝1n －1－1n (n ≥2，n ∈N *)，
所以b 22
＋b 23
＋…＋b 2
n <1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1
n <1.
20.解: (1)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
2(1)
480(20)490102
n n n A n n n -=+
⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222
n n B =++++++-＝211
1
500500()600222n
n +++
+
- ＝11[1()]
22500500600112
n n -+⨯--＝5005001002n n -- (2)依题意得，n n B A >，即2
500500100490102
n n n n -->-， 可化简得
250102n n n <+-，∴可设n
n f 2
50)(=，2
()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数， 又5050(3)(3)2,(4)(4)8816
f g f g =
>==<= 则4n =时不等式成立，即4年
22.解：在ρ＝10cos θ的两边同乘以ρ，得ρ2
＝10ρcos θ，
则曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝10x ，……………………………………3分 将曲线C 1的参数方程代入上式，得(6＋23t )2＋4 1 t 2＝10(6＋23
t )， 整理，得t 2＋t －24＝0，
设这个方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－，t 1t 2＝－24， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝＝3．……………………10分
23． 解：（Ⅰ）0a =时，()|1|||f x x x =+-=1,
121,101,0x x x x -<-⎧⎪
+-≤<⎨⎪≥⎩
，……（2分）
∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意；……（3分） 当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得1
02
x -≤<；……
（4分）
当0x ≥时，()10f x =>符合题意．……（5分） 综上，()0f x ≥的解集为1
[,)2
-+∞．……（6分）
（Ⅱ）设()|1|||u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图：……（8分）
易知()y u x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个 交点，从而10a -<<．……（10分）。