福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题理

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试
题 理
总分：150分 考试时间：120分钟
一选择题（每题只有一个选项，每题5分，共12题）
1.已知集合{}
ln 0A x x =>，集合{}
(1)(5)0B x N x x =∈--≤，则A ∩B= ( ) A. {}0,1,2,3,4,5 B. {}1,2,3,4,5 C. {}1,2,3,4
D. {}2,3,4,5
2.在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）
A. x
y ⎪⎭⎫
⎝⎛=32 B. x y 31log = C. 2)1(+-=x y D. )(log 3
2x y -=
3.已知函数，且满足
，则的取值范围为（ ） A.
或
B.
C.
D.
4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[01]x ∈，
时，2()log (1)f x x =+，则(31)f =（ ）
A. 0
B. 1
C. 1-
D. 2
5. 命题“[]1,2x ∀∈，2
20x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a ≤
B. 2a ≤
C. 3a ≤
D. 4a ≤
6.命题“n n f N n f N n ≤∈∈∀*
*
)()(,且”的否定形式是( )
A.n n f N n f N n >∉∈∀**)()(,且
B.n n f N n f N n >∉∈∀*
*)()(,或
C .0000)()(,n n f N n f N n >∉∈∃**且 D.0000)()(,n n f N n f N n >∉∈∃*
*或
7.设函数()y f x =对任意的x ∈R 满足(4)()f x f x +=-，当(2]x ∈-∞，
时，有()25x f x -=-.若函数()f x 在区间(1)k k +，
（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（ ） A. 3-或7 B. 4-或7 C. 3-或6 D. 4-或6
8.函数f(x)=sinx ∙ln|x|的图象大致是
A. B.
C. D. 9.若
cos 2cos sin sin θθ
θθ
+=-，则2sin θ的值是（ ）
A ．35
-
B ．35
C ．4
5
-
D ．
45
10下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡3,6ππ上是减函数”的是( ) A ．y ＝sin )1252
(π+
x B ．y ＝sin )32(π
-x C ．y ＝cos )322(π+x D ．y ＝sin )6
2(π
+x
11.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，
51BC AC -. 根
据这些信息，可得sin 234︒=（ ）
B. D.
12.己知关于x 的不等式2
2ln 2(1)2x m x mx +-+≤在(0，＋∞)上恒成立，则整数m 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二.填空题（每题5分，共4题） 13. 已知312sin(),sin ,513αββ-=
=-且(,),(,0)22ππ
απβ∈∈-
则sin α= 14.已知曲线y ＝x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y ＝ax 2
+（a+2）x+1相切，则a= 15.设函数()sin()5
f x x π
ω=+
(0ω>)，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，
对于下述4个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个最大值点； ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个最小值点； ③()f x 在(0,
)2
π
单调递增； ④的取值范围是1229[,)510:
其中所有正确结论的编号为___ _ 16.若函数,0
()ln ,0
ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范
围是 三、解答题
17.已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤；q :函数2
21y x mx =-+有两个零点．
(1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；
(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．
18.已知函数f (x )＝4tan x sin )2(
x -π
cos )3
(π
-x － 3. （1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-4,4ππ上的单调性．
19.已知函数f （x ）=x 2﹣4x+a+3，a ∈R ；
（1）若函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，求a 的取值范围；
（2）设函数g （x ）=bx+5﹣2b ，b ∈R ，当a=3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2），求b 的取值范围．
20.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．且2b c a += 3sin 4sin c B a C =， （1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值．
21. 已知函数()2
2f x x x alnx =--(),g x ax =.
()1求函数()()()F x f x g x =+的极值; ()2若不等式
()sin 2cos g x
x
x +≤，对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.
22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第一题记分，作答时请写题号．
(22)已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θ
θ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q
两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求22
11
||||OA OB +的
值.
(23)已知函数()f x =
（1）求()(4)f x f ≥的解集；
（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.
参考答案
一选择题DDBCA DCABD CB
二.填空题（每题5分，共4题） 13.
56
65
14.8 15.
16.(0,1)(1,)+∞
三、解答题
17.已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤；q :函数2
21y x mx =-+有两个零点．
(1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；
(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．
17.若
p 为真，令()22ln f x x e x =-，问题转化为求函数()f x 的最小值，
()22222e x e
f x x x x
-'=-=，令()0f x '=，解得x e =
函数()22ln f x x e x =-在)e 上单调递减，在,)e +∞上单调递增， 故()min (0f x f e ==，故0m ≥．
若q 为真，则2
440m =->，1m >或 1m <-． (1)若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为[)1,0-． (2)若
p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假．
若p 真q 假，则实数m 满足0
11m m ≥⎧⎨-≤≤⎩
，即01m ≤≤；
若
p 假q 真，则实数m 满足0
11
m m m <⎧⎨
><-⎩或，即1m <-．
综上所述，实数m 的取值范围为
()[],10,1-∞-⋃．
18.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.
（1）求f (x )的定义域与最小正周期；
（2）讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．
18(1)f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12cos x ＋32sin x － 3
＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3
＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∴定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
，最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)－π4≤x ≤π4，－5π6≤2x －π3≤π6，设t ＝2x －π
3
，
因为y ＝sin t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2时单调递减，在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6时单调递增．
由－5π6≤2x －π3≤－π2，解得－π4≤x ≤－π12，由－π2≤2x －π3≤π6，解得－π12≤x ≤π
4，
所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π
4，－π12上单调递减．
19.已知函数f （x ）=x 2﹣4x+a+3，a ∈R ；
（1）若函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，求a 的取值范围；
（2）设函数g （x ）=bx+5﹣2b ，b ∈R ，当a=3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在 x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2），求b 的取值范围．
19解：（1）∵f （x ）=x 2
﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2， ∴f （x ）在[﹣1，1]上是减函数， ∵函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，
∴f （﹣1）f （1）≤0，即a （8+a ）≤0，解得：﹣8≤a ≤0． （2）a=3时，f （x ）=x 2﹣4x+6，
∴f （x ）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴f （x ）在[2，4]上的最小值为f （2）=2，最大值为f （4）=6． 即f （x ）在[2，4]上的值域为[2，6]． 设g （x ）在[1，4]上的值域为M ，
∵对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2）， ∴M ⊆[2，6]．
当b=0时，g （x ）=5，即M={5}，符合题意， 当b ＞0时，g （x ）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是增函数， ∴M=[5﹣b ，5+2b]，
∴，解得0＜b ≤．
当b ＜0时，g （x ）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是减函数， ∴M=[5+2b ，5﹣b]，
∴，解得﹣1≤b ＜0．
综上，b
的取值范围是．
20.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．且2b c a += 3sin 4sin c B a C =，
（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值． 【答案】（1）14-
；（2）357+. 20【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c
B C
=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到4
3
b a =，
23c a =．由余弦定理可得222222
416199cos 22423
a a a a c
b B a
c a a +-+-=
==-⋅⋅． （2）由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=
，从而15sin 22sin cos 8
B B B ==-，227
cos 2cos sin 8
B B B =-=-，故
717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛
⎫+=+=-⨯=-
⎪⎝
⎭．
21. 已知函数()2
2f x x x alnx =--(),g x ax =.
()1求函数()()()F x f x g x =+的极值; ()2若不等式
()sin 2cos g x
x
x +≤，对0x ≥恒成立，求a 的取值范围. 21. ()1()2
2ln F x x x a x ax =--+，
()()()()22221x a x a x a x F x x x
+--+-'==
()F x 的定义域为()0,+∞，
① 当02
a
-
≤,即0a ≥时,()F x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增, ()=1F x a -极小，()F x 无极大值.
② 当012a <-
<，即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上递
减
()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫
-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
极大，()()11F x a F ==-极小
③ 12
a
-
=，即2a =-时, ()F x 在(0,)+∞上递增, ()F x 没有极值. ④ 当12a -
>即2a <-时, ()F x 在()0,1和(),2a -+∞上递增，在1,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上递减
()()=11F F a x ∴=-极大， ()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫
-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
极小
综上可知：0a ≥时,()1F x a =-极小，()F x 无极大值;
20a -<<时，()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫
-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
极大，()()11F x a F ==-极小，()
F x 没有极值；
2a <-时，()()11F x a F ==-极大
，()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫
-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
极小.
()2设()()sin 02cos x h x ax x x =-
≥+，()()
2
1cos 2cos x
h x a x +'=-+， 设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()
2
122t
t t φ+=
+，()()()
()
()
()
4
3
22121022t t t t t t φ-+---'=
=
≥++，
()t φ∴在[]1,1-上递增，()t φ∴的值域为113⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，，
① 当1
3
a ≥
时,()()'0,h x h x ≥为[0, )+∞上的增函数， ② ()()00h x h ∴≥=,符合条件. ③ 当0a ≤时，
10222h a ππ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，∴不符合条件.
④ 103a <<
，对于()sin 0,23
x
x h x ax π<<<-， 令()sin 3x T x ax =-
，()cos 3x T x a '=-，存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00,x x ∈时，()0T x '<，
()T x ∴在()00,x 上单调递减，()()00T x T x ∴<<
即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不符合条件. 综上，a 的取值范围为1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第一题记分，作答时请写题号．
(22).已知曲线1C 的参数方程是2cos {
sin x y θ
θ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q
两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求22
11
||||OA OB +的
值.
【答案】（1）线1C 的普通方程为2
214
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；
（2）22115
||||4
OA OB +=. 22【解析】试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为22
14
x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=
曲线2C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=
（2）在直角坐标系下，()101M ，
，()220M ，，12:220M M x y +-= 恰好过()2
211x y +-=的圆心，
∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2
214
x y +=上的两点，
极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入2
22211cos sin 14
ρθρθ+=中， 有
2
2
221
1cos sin 14
ρθ
ρθ+=和
2222
22cos 2sin 1
4
2πρθπρθ⎛
⎫
+
⎪⎛⎫⎝⎭
++= ⎪⎝
⎭ ∴22
211
cos sin 4θθρ=
+，22221sin cos 4
θθρ=+ 则2
2
12
1
1
54ρρ+
=
，即22115
||||4
OA OB +=
(23).已知函数22()69816f x x x x x =
-+++（1）求()(4)f x f ≥的解集；
（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）{|54}x x x -或≤≥；（2）12k -<≤. 23【解析】（1）
(
)
34f x x x ===-++
∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，
∴4349x x x ，≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩，②或3349x x x ≥⎧
⎨-++≥⎩
，③
解得不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥
所以()()4f x f ≥的解集为{|54}x x x ≤-≥或
（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-图象的上方，
可以作出()21434743213x x f x x x x x x ，，，
，，--≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
的图象，
而()()3g x k x =-图象为恒过定点()30P ，
，且斜率k 的变化的一条直线，作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，
其中2PB k =，()47A -，
，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围应该为12k -<≤.。