重庆江南新区联盟2024届中考数学最后一模试卷含解析

重庆江南新区联盟2024届中考数学最后一模试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图所示的几何体，它的左视图是（）
A．B．C．D．
2．估计32﹣16÷2的运算结果在哪两个整数之间（）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
3．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）
A．中位数不相等，方差不相等
B．平均数相等，方差不相等
C．中位数不相等，平均数相等
D．平均数不相等，方差相等
4．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）
A．200米B．3米C．3D．10031)米
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）
A．B．C．D．
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（）
A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90
8．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（）
A．2
10πcm C．2
5πcm B．2
20πcm
15πcm D．2
9．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）
A．3-1）B．（2，﹣1）C．（1，3）D．（﹣13）
10．一、单选题
如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A ．75°
B ．80°
C ．85°
D ．90°
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．
12．如图，以锐角△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，分别交AC ，BC 于E 、D 两点，若AC ＝14，CD ＝4，7sin C ＝3tan B ，则BD ＝_____．
13．一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是_______________
14．点（-1，a ）、（-2，b ）是抛物线2
y x 2x 3=+-上的两个点，那么a 和b 的大小关系是a_______b （填“>”或“<”或“=”）． 15．不等式组34012412
x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩的所有整数解的积为__________． 16．已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．
17．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积．
19．（5分）如图,已知二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,A 在B 左侧,点C 是点A 下方,且AC ⊥x 轴.
(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA ．
①求抛物线解析式和直线OC 的解析式；
②点P 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿x 轴负半轴方向运动,Q 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿OC 方向运动,运动时间为t.直线PQ 与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM 时,求t 的值(直接写出结果,不需要写过程)
(2)过C 作直线EF 与抛物线交于E 、F 两点(E 、F 在x 轴下方),过E 作EG ⊥x 轴于G ,连CG ,BF,求证：CG ∥BF
20．（8分）在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B 、两种玩具，其中A 类玩具的金价比B 玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.求A B 、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B 、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？
21．（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3 1.732 1.41≈≈，)；已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．
22．（10分）（182sin45°
+（2﹣π）0﹣（13）﹣1； （2）先化简，再求值2a a ab
-•（a 2﹣b 2），其中a 2，b ＝﹣2． 23．（12分）计算532224m m m m -⎛
⎫+-÷ ⎪--⎝
⎭.
24．（14分）解不等式组：
21
5
1
2
x x
x
x
+>
⎧
⎪
⎨+
-≥
⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2、D
【解题分析】
3216÷2的大小，从而得到问题的答案．
【题目详解】
25＜32＜31，∴5321．
原式322÷322，∴33216÷2＜2．
故选D．
【题目点拨】
32
3、D
【解题分析】
分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．
【题目详解】
2、3、4的平均数为：1
3
（2+3+4）=3，中位数是3，方差为：
1
3
[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=
2
3
；
3、4、5的平均数为：1
3
（3+4+5）=4，中位数是4，方差为：
1
3
[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=
2
3
；
故中位数不相等，方差相等．
故选：D．
【题目点拨】
本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.
4、D
【解题分析】
在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB 的长．
【题目详解】
∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝
∴AB＝AD+BD＝100（）米，
故选D．
【题目点拨】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
5、C
【解题分析】
根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．
【题目详解】
由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，
则△PBQ的面积S＝1
2
PB•BQ＝
1
2
（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．
【题目点拨】
此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
6、B
【解题分析】
试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=1．
①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；
②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．
所以它的周长是2．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
7、A
【解题分析】
试题分析：设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．设某种书包原价每个x元，
可得：0.8x﹣10=90
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
8、B
【解题分析】
试题解析：∵AC=10，∴AO=BO=5，∵∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三
角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD的面积+扇形BOC的面积=2扇形BOC的面积=
2
725
2
360
π⨯
⨯=10π ．故选B．
9、A
【解题分析】
作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，则∠ADO=∠OEC=90°，得出∠1+∠1=90°，由正方形的性质得出OC=AO，
∠1+∠3=90°，证出∠3=∠1，由AAS证明△OCE≌△AOD，得到OE=AD=1，CE=OD
【题目详解】
解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：
则∠ADO =∠OEC =90°，∴∠1+∠1=90°．
∵AO =1，AD =1，∴OD 22213-=，∴点A 的坐标为（13，∴AD =1，OD 3 ∵四边形OABC 是正方形，∴∠AOC =90°，OC =AO ，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠1．
在△OCE 和△AOD 中，∵32OEC ADO OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△OCE ≌△AOD （AAS ），∴OE =AD =1，CE =OD 3，∴点C 的31）．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
10、A
【解题分析】
分析：依据AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选A ．
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、4 5 .
【解题分析】
试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、
圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为4 5 .
【题目点拨】
本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.
12、1
【解题分析】
如图，连接AD，根据圆周角定理可得AD⊥BC．在Rt△ADC中，sin C=；在Rt△ABD中，tan B=．已知7sin C=3tan B，所以7×=3×，又因AC＝14，即可求得BD=1．
点睛：此题主要考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，以公共边AD为桥梁，利用锐角三角函数的定义得到tan B 和sin C的式子是解决问题的关键．
13、1
【解题分析】
设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【题目详解】
设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+5x=180，
解得：x=30，
360°÷30°=1．
故答案为：1．
【题目点拨】
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
14、＜
【解题分析】
把点（-1，a ）、（-2，b ）分别代入抛物线2
23y x x =+-，则有：
a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3，
-4<-3，
所以a<b ，
故答案为＜.
15、1
【解题分析】 解：34012412
x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 解不等式①得：43
x ≥-， 解不等式②得：50x ≤，
∴不等式组的整数解为﹣1，1，1…51，
所以所有整数解的积为1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键，难度不大．
16、160︒．
【解题分析】
圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．
【题目详解】
根据弧长的公式l=
180n r π得到： 80π=•90180
n π， 解得n=160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为160°．
17、6
【解题分析】
本题可根据比例线段进行求解.
【题目详解】
解：因为在比例尺为1:50000的地图上甲，乙两地的距离12cm ，所以，甲、乙的实际距离x 满足12:x=1:50000，即x=1250000⨯=600000cm=6km.
故答案为6.
【题目点拨】
本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）y ＝－
12(x －3)2＋5（2）5 【解题分析】
（1）设顶点式y=a （x-3）2+5，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B （5，3），再确定出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【题目详解】
(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，
将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-，
∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2
y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3，
∴B(5，3)．
令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2
C ，， ∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=
⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【题目点拨】
考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.
19、 (1)①y =－x 2－4x －3；y =x ；②t=
1118 或6350
±；（2）证明见解析. 【解题分析】
(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC 的解析式；②由题意得OP =2t ,P (－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H ,
得OH =HQ =t ,可得Q (－t ,－t ),直线 PQ 为y ＝－x －2t ，过M 作MG ⊥x 轴于G ,由12
PG PM GH QM ==，则2PG ＝GH ，由2P G G H x x x x -=-，得2P M M Q x x x x -=-， 于是22M M t x x t --=+，解得533
M M x t x t =-=-或，从而求出M (－3t ,t )或M （51,33
t t --），再分情况计算即可； (2) 过F 作FH ⊥x 轴于H ，想办法证得tan ∠CAG =tan ∠FBH ，即∠CAG =∠FBH ，即得证.
【题目详解】
2y x bx c =-++
解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得09301b c b c =--+⎧⎨=--+⎩解得43b c =-⎧⎨=-⎩
∴y =－x 2－4x －3；
由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),∴直线OC 的解析式y =x ；
②OP =2t ,P (－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H ,
∵QO ,∴OH =HQ =t ,
∴Q (－t ,－t ),∴PQ ：y ＝－x －2t ，
过M 作MG ⊥x 轴于G , ∴12
PG PM GH QM ==， ∴2PG ＝GH ∴2P G G H x x x x -=-，即2P M M Q x x x x -=-，
∴ 22M M t x x t --=+， ∴5
33
M M x t x t =-=-或，
∴M (－3t ,t )或M （51,33t t --） 当M (－3t ,t )时：29123t t t =-+-，
∴t =
当M （5
1,33t t --）时：2125203393
t t t -=-+-，
∴6350
t ±=
综上：t =
t = (2)设A (m ,0)、B (n ,0),
∴m 、n 为方程x 2－bx －c =0的两根，
∴m +n =b ,mn ＝－c ,
∴y ＝－x 2+(m +n )x －mn ＝－(x －m )(x －n ),
∵E 、F 在抛物线上，设()()2111E x x m n x mn -++-，、()()
2222,F x x m n x mn -++-， 设EF ：y ＝kx +b ,
∴E E F
E y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩ ， ∴()E
F E F y y k x x -=- ∴()()2212121212
E F E F x x m n x x y y k m n x x x x x x -+++--===+---- ∴()()()()12111:F y m n x x x x x m x n =+------，令x ＝m
∴()()()()12111c y m n x x m x x m x n =+------
＝()()()()112112+m x m n x x x n m x m x -+---=--
∴AC=()()12m x m x ---,
又∵1A E AG x x m x =-=-,
∴tan ∠CAG =2AC x m AG
=-， 另一方面：过F 作FH ⊥x 轴于H ，
∴()()22FH x m x n =--，2BH x n =-，
∴tan ∠FBH =2FH x m BH
=- ∴tan ∠CAG =tan ∠FBH
∴∠CAG =∠FBH
∴CG ∥BF
【题目点拨】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.
20、（1）A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）至少购进A 类玩具40个.
【解题分析】
（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元，根据用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；
（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个，结合“玩具点将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答.
【题目详解】
解：（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元 由题意得9007503x x
=+， 解得15x =，
经检验15x =是原方程的解.
所以15318+=（元）
答：A 的进价是18元，B 的进价是15元；
（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个
由题意得：()12101001080a a +-≥
解得40a ≥.
答：至少购进A 类玩具40个.
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.
21、（1）24.2米(2) 超速，理由见解析
【解题分析】
（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【题目详解】
解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，
CD
AD
tan30︒
=
21
213?
3
3
==
，
在Rt △BDC 中，
CD21
BD73
tan603
===
︒
，
∴AB=AD－BD=213?73=14314 1.73=24.2224.2
-≈⨯≈（米）．
（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．
∵43.56千米/小时大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
22、(1)2-2 (2)-2
【解题分析】
试题分析：（1）将原式第一项被开方数8变为4×2，利用二次根式的性质化简第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用零指数公式化简，最后一项利用负指数公式化简，把所得的结果合并即可得到最后结果；
（2）先把2a ab
-和a2﹣b2分解因式约分化简，然后将a和b的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解：（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1
=2﹣2×+1﹣3
=2﹣+1﹣3
=﹣2；
（2）•（a2﹣b2）
=•（a+b）（a﹣b）
=a+b ，
当a=，b=﹣2时，原式=+（﹣2）=﹣．
23、26m +
【解题分析】 分析：先计算522m m +--，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： 532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝
⎭ ()()()
2252423m m m m m +---=⋅-- ()222923
m m m m --=⋅-- ()()()332223
m m m m m -+-=⋅-- 26m =+.
点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.
24、则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.
【解题分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【题目详解】
21x 512
x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①，② 解不等式①得：x ＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
.
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.。