11.7 线弹性体的互等定理[6页]
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11.7 线弹性体的互等定理
1. 虚功互等定理
F1作用下产生的内力和变形称为第一状态，F2作用 下产生的内力和变形称为第二状态。
12
12
先加F1然后加F2的情况，整个加载过中系统做的
总功为
W1
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
Δij表示由编号为j 的力引起i点的位移。
先加F2后加F1，整个过程中系统做的总功为
δW12 δW21
2. 位移互等定理
由功的等定理F1 Δ12 F2可Δ2推1 出位移互等定理
令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,则有 1 δ12 1 δ21
δ12 δ21 位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应 的位移δ21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1 相应的位移δ12。这里用小写的字母δ表示单位力 2
F2
Δ22
F1 Δ12
因为线弹性体系做功与加荷的次序无关，有
W1
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
W2
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F2 Δ21
故得
F1 Δ12 F2 Δ21
虚功互等定理：状态Ⅰ的力在状态Ⅱ的位移上 做功等于状态Ⅱ的力在状态Ⅰ的位移上做功。
k22
由功的互等定理，第Ⅰ状态的力在第Ⅱ状态的位移上
做虚功 δW12 ，等于第Ⅱ状态的力在第Ⅰ状态的位移上做虚
功 δW21。故有
k11 0 k21 1 k12 1 k22 0
即
k 21 k12
一般情况下可写成 kij k ji
支座i由于支座j发生单位位移所引起的支座反力kij，
等于支座j由于支座i发生单位位移而引起的支座反力kji。
注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。
例： k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。
k12
1
k11
1
2
1
2
k 21
在一般情况下位移互等定理可写成：
δij δ ji
3. 反力互等定理
第Ⅰ状态，支座1产生单位位移 Δ1V=1而引起支 座反力k11 和 k21 。
1
2
1
n
k 11
k 21
第Ⅱ状态，支座2产生单位位移Δ2V=1而引起支
座反力k12 和 k22
1
2
1
n
k12
k22
1
2
1
n
k 11
k 21
1
2
1
n
k12
1. 虚功互等定理
F1作用下产生的内力和变形称为第一状态，F2作用 下产生的内力和变形称为第二状态。
12
12
先加F1然后加F2的情况，整个加载过中系统做的
总功为
W1
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
Δij表示由编号为j 的力引起i点的位移。
先加F2后加F1，整个过程中系统做的总功为
δW12 δW21
2. 位移互等定理
由功的等定理F1 Δ12 F2可Δ2推1 出位移互等定理
令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,则有 1 δ12 1 δ21
δ12 δ21 位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应 的位移δ21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1 相应的位移δ12。这里用小写的字母δ表示单位力 2
F2
Δ22
F1 Δ12
因为线弹性体系做功与加荷的次序无关，有
W1
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
W2
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F2 Δ21
故得
F1 Δ12 F2 Δ21
虚功互等定理：状态Ⅰ的力在状态Ⅱ的位移上 做功等于状态Ⅱ的力在状态Ⅰ的位移上做功。
k22
由功的互等定理，第Ⅰ状态的力在第Ⅱ状态的位移上
做虚功 δW12 ，等于第Ⅱ状态的力在第Ⅰ状态的位移上做虚
功 δW21。故有
k11 0 k21 1 k12 1 k22 0
即
k 21 k12
一般情况下可写成 kij k ji
支座i由于支座j发生单位位移所引起的支座反力kij，
等于支座j由于支座i发生单位位移而引起的支座反力kji。
注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。
例： k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。
k12
1
k11
1
2
1
2
k 21
在一般情况下位移互等定理可写成：
δij δ ji
3. 反力互等定理
第Ⅰ状态，支座1产生单位位移 Δ1V=1而引起支 座反力k11 和 k21 。
1
2
1
n
k 11
k 21
第Ⅱ状态，支座2产生单位位移Δ2V=1而引起支
座反力k12 和 k22
1
2
1
n
k12
k22
1
2
1
n
k 11
k 21
1
2
1
n
k12