2022届安徽省名校联盟高三下信息交流卷(一)数学(理)试题

安徽省名校联盟2022届高三下信息交流卷
——数学试题（理）
一、单选题
1．已知集合}
1A =<，{}
28B x x =≤，则A B =（ ）
A ．(
2,- B ．2,⎡⎣
C ．[)2,3
D ．)
⎡-⎣
2．已知复数32i z =-，则复数()1i z +的实部为（ ） A ．5
B ．1
C ．5i
D ．i
3．从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是
A ．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20
B ．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30
C ．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40
D ．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50
4．椭圆22221x y a b +=和222222
1x y a k b k +=--（222a b k >>）的关系是（ ） A ．有相同的长轴
B ．有相同的离心率
C ．有相同的焦点
D ．有相同的短轴
5．设1
2
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，ln b π=，9log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>
6．甲､乙､丙三人从红､黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（ ）
A ．红､黄､蓝
B ．黄､红､蓝
C ．蓝､红､黄
D ．蓝､黄､红
7．若定义域为R 的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且()32f =，则()()42021f f +=（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．2-
8
．5(2x 的展开式中，4x 的系数是( ) A ．40
B ．60
C ．80
D ．100
9
．底面边长为面积为（ ） A ．8π
B ．12π
C ．24π
D ．48π
10．已知圆心角为60的扇形内部有一个圆C 与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C 面积为π时，该扇形的面积为（ ）
A ．
3
π
B ．
23
π C ．6
π
D ．
32
π 11．已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的最大项为（ ）
A ．
1
18
B ．
115
C ．
344
D ．
114
12．偶函数()f x 对于任意实数x ，都有()()22f x f x +=-成立，并且当20x -≤≤时，()2f x x =-，则下列结论错误的是（ ）. A ．9522
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 的最大值是4
C ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称
D ．方程()2f x =的解集是(){}
4x x k k =∈Z
二、填空题
13．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++的模等于____.
14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1
tan ,tan 22
B C A =-=.当a =ABC
的面积是__________. 15．直线3y x =-与抛物线
交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为 ．
16．已知水平放置的边长为ABC ，其所在平面的上方有一动点P 满足两个条件：
①三棱锥P -ABC 的体积为P -ABC 的外接球球心到底面ABC 的距离为2，则动点P 的轨迹长度为___________. 三、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
*2()2
n n
n S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n
n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；
（2）设22log log (1)n n b a n =-+，数列1
{}n b 的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，
都有320
n n m
B B ->
成立，求m 的最大值.
18．如图①，在菱形ABCD 中，3
A π=，2A
B =，E 为AD 的中点，将ABE △折起至1A BE 使1A D 如图②所示.
(1)求证：平面1A BE ⊥平面1A BC ；
(2)若P 为1A C 上一点，且1A E ∥平面BPD .求三棱锥1A BPE -的体积.
19．已知双曲线22
221()00a x y a b
b >-=>，，O 为坐标原点，离心率2e =，点M
在双曲线上．
（1）求双曲线的方程;
（2）如图，若直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点Q ，P ，且0OP OQ ⋅=，求22
||OP OQ +的
最小值．
20．某厂生产,A B 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中115
4
p <<．
（注：收益率=利润
总投资额）
(1)求a 的值；
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体． ①从产品B 中随机抽取3件，求其中一等品件数X 的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A 或产品B ，试分析投资哪种产品收益更大．
21．已知函数()24.1
x
f x x =
+ （1）求曲线()f x 上任意一点切线的斜率的取值范围； （2）当m 满足什么条件时，()f x 在区间()21,m m -为增函数.
22．已知,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且3,cos cos cos αβαβ⎧=⎪⎨=
⎪⎩ (1)求αβ+的值； (2)证明：04
π
αβ<-<
，并求()sin αβ-的值．
23．已知函数()|21||52|f x x x =-+-.
(1)求满足不等式(1)(1)f m f m -<+的实数m 的取值范围； (2)记()f x 的最小值为k ，若0,0a b ≥≥，且a b k +=，证明：
114
127
a b +≥++.
参考答案： 1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．C
13．14．45或125
15．48 16．4π
17．（1）见解析（2）18. 【解】 试题分析：
(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列. (2)由题意可得3111
12
3n n B B n n n
-=+++
++，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18. 试题解析： （1）由
22
n n
n S a =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =， 又()11222n
n n S a n --=-≥
两式相减，得1222n
n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥，
于是
1
1122
n n n
n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列.
（2）()12,n
n n a n b n =+⋅=
12
311111112
11
1123n n n n B b b b n
B B n n n ∴=
+++
=+++
∴-=++
+++
令()11112
3f n n n n =
+++
++ 则()1111111233313233
f n n n n n n n +=
+++
++++++++ 所以()()1111
13132331
f n f n n n n n +-=++-++++ 111112
0313233333333
n n n n n n =
++>+-=++++++. 所以当2n ≥时，()f n 的最小值为()1111
19
2345620
f =+++=.
据题意，
192020
m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18. 18．(1)证明见解析 【解】
（1）由条件可证明BC ⊥平面1A BE ，再由面面垂直的判定定理求证即可； （2）由线面平行的性质可得1A E OP ∥，再由平行线分线段成比例得出111
3
A P A C =，根据三棱锥的体积公式求解即可. (1)
12A D =11A E DE ==，22211A D A E ED ∴=
+
1DE A E ∴⊥，
又BC DE ∥，1BC A E ∴⊥， 1AE =，2AB =，3
A π
∠=
，
BE ∴=BC BE ⊥，又1A E BE E ⋂=
BC ∴⊥平面1A BE ，又BC ⊂平面1A BC ，
∴平面1A BE ⊥平面1A BC . (2)
连接CE ，得平面1A EC
平面BPD OP =，如图，
又1A E 平面BPD ， 1A E OP ∴∥，
由DOE BOC ∽△△知1
3
OE EC =，
即111
3
A P A C =
，
1111232C A BE V -∴=⨯⨯=
，
1113P A BE C A BE V V --∴==
即1BP A E V -=
19．（1）22312x y -=；（2）24. （1）由条件可知
2c
a
=，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k
，与双曲线方程联立，求点P 的坐标，并求2
OP ，再将k 换为1k
-求2
OQ ，利
用
2211||||
OP OQ +是定值，求22
||OP OQ +的最小值再表示 解：
()1因为2c
e a
=
=，所以2c a =，22223b c a a =-=． 所以双曲线的方程为22
2213x y a a -=，即22233x y a -=．
因为点M
在双曲线上，所以21533a -=，所以24a =．
所以所求双曲线的方程为22312x y -=．
()2设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1
=-
y x k
，
由2
2
312x y y kx ⎧-=⎨=⎩，得2
2
222123123x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=
⎪-⎩
， 所以(
)22
2
2
2
121||3k OP x y k +=+=
-．
同理可得，()
2222
21121121
||1313k k OQ k k
⎛
⎫+ ⎪+⎝⎭
==--， 所以()
()()
222222233111221
||||6
121121k k k OP OQ k k -+-++===++． 设22
||OP OQ t +=，
则2222112()()224||||OQ OP t OP OQ OP OQ ⎛⎫
⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭
， 所以
4
2416
t ≥
=，即22||24(OP OQ +≥
当且仅当OP OQ ==)．
所以当OP OQ ==时，22
||OP OQ +取得最小值24．
20．(1)0.030a =；
(2)①分布列见解析，9
5
；②投资产品A 的收益更大.
【分析】
（1）利用直方图可得()0005001000150040101....a ++++⨯=，即求； （2）①由题可得35~3,X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即求；②分别计算收益，比较即得.
(1)
由题可得()0005001000150040101....a ++++⨯=， 解得0.030a =. (2)
①由直方图知：产品B 为一等品的概率是35，二等品概率是310，三等品概率是1
10
，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X 可能的取值是0，1，2，3，且35~3,X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()300
3
238055125
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21
132336155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，
()1
223
2325541255P X C ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()03
332335271255P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=， 则X 的分布列为：
∴()8365427901231251251251255
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. ②由题可得，产品A 为一等品的概率为710，二等品的概率为14
，三等品的概率为1
20，
产品B 为一等品的概率为35，二等品的概率为310，三等品的概率为1
10
，
产品A 的收益：22217112174104202010E p p p p p =
+⨯+=+, 产品B 的收益：222233113345
1010105
E p p p p p =+⨯+=+, ∴()22151152201020
E E p p p p -=
-=-， 因为1
15
4
p <<，
所以210E E -<，即21E E <， 故投资产品A 的收益更大． 21．（1）1
4.2
k -≤≤；（2）当01m ≤<时，()f x 在区间()21,m m -为增函数. 解：
试题分析：（1）求得P 点处的导数，运用换元法化为二次函数的值域问题，即可得到范围； （2）求得导数，可得得到增区间，根据单调性，可得不等式组，注意定义域，解不等式即可得到所求范围． 试题解析：
⑴ 直线l 在P 点()00,x y 的切线斜率()()
()
2
02
2
22200
4448
,111x k f x x x x -==
=
++'++
令20
1,1t x =+则2
21101,848,42
t k t t t ⎛⎫<<=-=-- ⎪⎝⎭ 当14t =时，min 1
,12
k t =-=时，min 4,k = 1
4.2
k ∴-
≤≤
⑵ ()(
)()222410,1x f x x +'-=≥得11,x -≤≤
()f x ∴在[]1,1-是增函数，又()f x 在()21,m m -上单调递增，
1{21121m m m m
≤∴-≥-< 即1
{0,1m m m ≤≥<
则0 1.m ≤<
即当01m ≤<时，()f x 在区间()21,m m -为增函数.
22．(1)4π
αβ+=
(2)证明见解析，(
)sin αβ- 【分析】 （1）由题意求解出cos ,cos αβ，再根据sin ,sin αβ，代入两角和的余弦公式计算可得
(
)cos αβ+=
()0,αβπ+∈，可判断得4παβ+=； （2）根
据sin sin sin 4παβ=>=>=，函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得04π
βα<<<，可证明得04π
αβ<-<，再利用两角差的正弦公式代入计算即可. (1)
因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,cos 0αβ>>，
由3cos ,cos cos αβαβ⎧=⎪⎨=⎪⎩
解得cos α=
，cos β=，
所以sin α=
，sin β== (
)cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-=
= 因为()0,αβπ+∈，所以4παβ+=； (2)
因为4
π
αβ+=
，sin sin sin 4παβ=>=>=，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以04
πβα<<<， 所以04παβ<-<
，
(
)sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-==． 23．(1)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； (2)证明见解析.
【分析】
（1）由题可得112
m ->，即解； （2）由题可得4k =，然后利用柯西不等式即证.
(1)
()|21||52|f x x x =-+-164,2154,2
2546,2x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
， 又(1)(1)f m f m -<+，11m m +>-且1(1)2m m +--=，
所以112m ->，则32
m >. ∴不等式(1)(1)f m f m -<+的解集为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. (2)
由（1）可知()f x 的最小值4k =即4a b +=，
由0,0a b ≥≥知：10,20a b +>+>，127a b +++=, 由柯西不等式得
1112a b +=++111[(1)(2)]712a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭
2
14
77⎡⎤≥+=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当12+=+a b 且4a b +=，即53,22
a b ==时，等号成立.。