2021届江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学高三上学期联考数学试题(解析版)

2021届江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭
阳如东中学高三上学期联考数学试题
一、单选题
1．若集合()(){}
160A x x x =-->，{}
20B x x =->，则A B 等于（ ）
A ．{}
6x x > B ．{}|12x x << C ．{}|1x x <
D ．{}|26x x <<
【答案】C
【分析】先分别解出集合A 与集合B ，然后求解A B .
【详解】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 化简集合A ，B ，然后计算A
B 即可.
解：()(){}
160{6A x x x x x =-->=>或1}x <，{}
20{|2}B x x x x =->=<， 则{}|1A
B x x =<.
故选：C
【点睛】本题考查交集的运算，根据交集的概念计算即可，属于简单题. 2．若(12)2z i i -=+，则复数z =（ ） A ．1- B ．i -
C ．1
D ．i
【答案】D
【分析】本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(12)2z i i -=+，所以2(2)(12)512(12)(12)5
i i i i
z i i i i +++====--+ 故选：D
【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.
3． “0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题.
【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，
∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =， ∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，
∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C .
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题. 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
0.618≈称为黄金分割比例)，已知一位美女身高154cm ，穿上高跟鞋后肚脐至足底的长度约100cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一位小数） A ．7.8cm B ．7.9cm
C ．8.0cm
D ．8.1cm
【答案】A
【分析】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +，根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可.
【详解】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +
则
1541001
0.6181002
x +-=≈，
解得：7.8x ≈， 故选：A.
5．已知函数()(x
x f x e
e e -=-为自然对数的底数)，若
0.50.50.70.7log 0.7log 5a b c -===，，，则（ ）
A ．()()()f b f a f c <<
B ．()()()f c f b f a <<
C ．()()()f c f a f b <<
D ．()()()f a f b f c <<
【答案】D
【分析】先根据指数函数，对数函数的性质得a b c >>，再根据函数()x
x f x e e -=-在
R 上单调递减求解. 【详解】因为()0.5
0.50.70.71log 0.701log 50a b c -=>=∈=<，，，.
所以a b c >>，
又函数()x
x f x e
e -=-在R 上单调递减，
所以()()()f a f b f c <<， 故选：D.
6．已知向量()2a m =-，，()12b =-，，()15c m =+，，若a b ⊥，则a 与b c +的夹
角为（ ） A ．
4
π
B ．
34
π C ．
23
π D ．
3
π 【答案】B
【分析】根据向量垂直求出m ，进而求出a 与b c +的坐标，然后由数量积公式计算即可.
【详解】因为()2a m =-，，()12b =-，，a b ⊥， ·220a b m ∴=--=，
解得1m =-，
()21a ∴=--，，()()1505c m =+=，，， ()13b c +=，，
设a 与b c +的夹角为0α
π，，
则
()()
·cos 5a b c
a b c α+=
==⨯+34
π
α=
. 故选：B.
7．已知椭圆22
2
21(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F
、2F ，点A 是椭圆短轴的
一个顶点，且123
cos 4
F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ） A ．
12
B ．
2
C ．
14
D ．
4
【答案】D
【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得
2
2142
a c =，再根据离心率公式计算即可.
【详解】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2(0)c c >，
则椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，
依题意，不妨设点A 的坐标为()0
b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：
22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123
cos 4
F AF ∠=
， 222231
42242c a a a ∴=-⨯=，
22
218
c e a ∴==，
解得e =故选：D .
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得2
2142
a c =是关键，属于中档题.
8．已知函数()()()
2
ln 14f x x x ax =-+-.若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a
的值为（ ） A ．3 B ．1
4e e
-
C ．
4e e
- D ．4e e
-
【答案】C
【分析】通过分析函数ln 1y x =-与2
4(0)y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有
相同的零点，从而可建立关系式，求出a 的值. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为0,
，且()0f x ≥恒成立，
当0e x <<时，函数ln 10y x =-<；当e x >时，函数ln 10y x =->；当e x =时，
ln 10y x =-=，
所以当0e x <<时，函数240y x ax =+-<；当e x >时，函数2
40y x ax =+->；当e x =时，2
40y x ax =+-=，
所以2e e 40a +-=，解得4e e
a =-. 故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象的综合应用，考查不等式的恒成立问题.解
题关键是分析函数ln 1y x =-与2
4(0)y x ax x =+->的图象，当0e x <<时，两个
函数图象都在x 轴下方；当e x >时，两个函数图象都在x 轴上方；当e x =时，两个函数值都为0，从而可得到关系式，求出a 的值，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.
二、多选题
9．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列命题正确是（ ） A ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ； B ．若l α⊥，αβ⊥，则l β//； C ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥； D ．若l m ⊥，m α⊥，则//l α.
【答案】AC
【分析】对于A ，由线面垂直的性质定理判断；对于B ，由线面的位置关系判断；对于C ，由面面垂直的判定定理判断；对于D ，若由线面的位置关系判断.
【详解】对于A ，若l α⊥，l β⊥，由线面垂直的性质定理得//αβ，故正确； 对于B ，若l α⊥，αβ⊥，则l β//或l β⊂，故错误；
对于C ，若l //α，l β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确； 对于D ，若l m ⊥，m α⊥，则//l α或l α⊂，故D 错误； 故选：AC.
10．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤
∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD
【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性
和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=
+ ⎪⎝
⎭，再利用三
角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t
的单调性，进而可得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，
函数()sin g θθ=在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛
⎤
∈ ⎥2⎝
⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos θ=时，函数取得极大值1222t =+⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
11．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2
2
21221x a y a -++--=上存在点M 满足
3MA MB ⋅=，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．0
【答案】BD
【分析】设点(),M x y ，由平面向量数量积的坐标表示可得M 的轨迹方程为
224x y +=，结合圆与圆的位置关系即可得解.
【详解】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-， 所以()()2
113MA MB x x y =⋅---++=，
所以M 的轨迹方程为2
2
4x y +=，圆心为()0,0，半径为2，
由此可知圆()()22
21221x a y a -++--=与2
2
4x y +=有公共点，
又圆()()2
2
21221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，
所以13≤
≤，解得112
a -≤≤
. 故选：BD .
【点睛】解决本题的关键是求出点M 的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心计算即可得解.
12．已知函数2222()4()()x x f x x x m m e e --+=-+-+有唯一零点，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
【答案】BC
【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】
∵2
2
2
22222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e
e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+，
令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
g t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t g t t m m e e g t --=--+-+=，故函数()g t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2， 故选：BC ．
【点睛】该题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于较难题目.
三、填空题
13．曲线2()1x f x xe x =+-在0x =处的切线方程为_________． 【答案】10x y --=
【分析】先求导数，求得()0f 的值，并利用导数求得()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】()2x x
f x e x e x =+⋅+'，(0)1f =-，
根据导数的几何意义可知曲线在点(0,1)-处的切线斜率为(0)1k f '==， ∴切线方程为1y x +=，即10x y --=． 故答案为：10x y --=.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
14．在四边形ABCD 中， 6.AB =若2133
DA CA CB →
→→=+，则AB DC →→
⋅=__________.
【答案】12
【分析】由题意和平面向量的运算法则可知13
DC DA AC AB →
→
→
→
=+=，再利用向量的数
量积的运算求解，即可求解. 【详解】根据题意，如图，
在AB 上取一点E ，使13
AE AB →
→
=，
则有1121333
3CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB →
→
→
→
→→→→→→
⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，
又由2133
DA CA CB →
→→=+，则有CE DA →→
=，
所以四边形AECD 为平行四边形，则有13
DC AE AB →
→
→
==，
又由6AB =，
则2111
·3612333
AB DC AB AB AB →
→
→
→→⋅===⨯=；
故答案为：12.
【点睛】本题关键要处理好向量的线性运算，将向量DC →
转化为AB →
表示，以便利用已知条件6AB =，进而求解.
15．意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇()1452.4?1519.5的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()cos x
f x a h
a
=，其中a 为悬链线系数，cos hx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cos 2
x x
e e hx -+=，相应地
双曲正弦函数的函数表达式为sin .2x x
e e hx --=若直线()0x m m =<与双曲余弦函数
1C 与双曲正弦函数2C 分别相交于点A B ，，曲线1C 在点A 处的切线1l ，曲线2C 在点
B 处的切线2l 相交于点P ，且PAB △为钝角三角形，则实数m 的取值范围为__________.
【答案】1,
52)2∞⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【分析】求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标(
)1,m
P m e
+，计算向量
的数量积得到A ∠，B 均为锐角，P ∠为钝角，故()
221104
m m
e e -+-<，解得答案. 【详解】由题可知：(
)
12
m m
A m e e
-⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
，，()
12m m B m e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ()=cos 2x x e e g x hx -+=
，则()=2x x
e e g x -'-，()=2m m e e g m -'-， 则1l ：()()
1
22
m m m m e e y x m e e --=-++-，
同理2l ：()()
1
22
m m m m e e y x m e e --=--++，故()
1,m P m e +，
所以()()()
1101122m
m m m m AB e AP e e BP e e ---⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，，
于是()()()
2222111
111224
m m m m AB AP e BA BP e PA PB e e ---=
-=⋅⋅⋅+=+-，，， 因为0m <，所以00AB AP BA BP ⋅>⋅>，， 所以A ∠，B 均为锐角，从而P ∠为钝角.
由()
221104m m e e -+
-<得：)
212ln 22
m e m <<，得，
故实数m 的取值范围为1,
2)2∞⎛
⎫- ⎪⎝⎭
.
故答案为：1,
2)2∞⎛
⎫- ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题. 方法点睛：
当三角形中A ∠为钝角时，转化为0AB AC ⋅<； 当三角形中A ∠为直角时，转化为0AB AC ⋅=； 当三角形中A ∠为锐角时，转化为0AB AC ⋅>；
四、双空题
16．如图，已知点M ，N 分别为平行六面体1111ABCD A B C D -的棱1BB ，11B C 的中点，设AMN ∆的面积为1S ，平面AMN 截平行六面体1111ABCD A B C D -所得截面面积为S ，五棱锥1A BMNC C -的体积为1V ，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为V ，则
1
V
V
=__________，1
S
S
=__________.
【答案】
7
24
1
3
【分析】第一空可由点A到平面1
BMNC C的距离等于平面
11
ADD A到平面
11
BCC B的距离，然后用锥体和柱体的体积公式计算即可，第二空则需运用面面平行的性质定理补全截面，然后用面积公式处理.
【详解】
因为点A到平面1
BMNC C的距离等于平面
11
ADD A到平面
11
BCC B的距离，所以设该
距离为d，则111
111
1111
11
1
1
1111
11
·7 38
·33324
BMNC C BCC B BCC B
BMNC C BCC B B MN
BCC B BCC B BCC B BCC B
S d S S
S S S
V
V S d S S S
-
-
=====；因为平面11//
BCC B平面
11
ADD A，
所以平面AMN与平面11
BCC B和平面
11
ADD A的交线相互平行，
又因为平面AMN⋂平面11
BCC B MN
=，
且MN分别为各自所在棱的中点，
所以平面AMN⋂平面111
ADD A AD
=，
所以平面AMN截平行六面体所得截面为梯形1
AMND，
设梯形1AMND 的高为h ，
所以()()1111
1
122
113
222AMN AMND MN h MN h S S S S MN AD h MN MN h ====+
+. 故答案为：7
24；13
.
五、解答题 17．在b a =①
2sin tan b A a B =②，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______. （1）求角B ；
（2）若2a c b +=，且ABC ∆外接圆的直径为2，求ABC ∆
的面积. 【答案】选择见解析；（1）3
B π
=
；（2【分析】1（）选①结合正弦定理求解即可；选②由同角三角函数的基本关系和正弦定理化简即可；选③由正弦定理和余弦定理求解即可； 2（）
利用余弦定理求出3ac =
，再用三角形面积公式1
sin 2
S ac B =求解即可. 【详解】1（）选①，由正弦定理得
sin sin B A =， sin 0A ≠，cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，
0B π<<，56
6
6B π
π
π∴-
<-
<
，66B ππ∴-=，3
B π
∴=； 选②，
2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B
b A B =
， 由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B
B A A B
=⋅，
sin 0A ≠，1
cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3
B π∴=
选③，
sin()sin()sin A B C C π+=-=，
由已知结合正弦定理可得()2
2
a c a c
b -+=，
2
2
2
a c
b a
c ∴+-=，2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-∴=
==， (0,)B π∈，3
B π
∴=
.
2（）
设ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，2sin b R B ==， 由余弦定理得()2
2
2
2
2cos
33
b a
c ac a c ac π
=+-=+-，即3123ac =-，
所以3ac =，所以ABC 的面积为：1sin 2S ac B =
= 【点睛】关键点点睛：在正余弦定理和三角形面积的计算中，不需要计算,a c 具体的值，只需要计算ac 即可，可以简化计算，快速得到答案.
18．已知O 为坐标原点，(
)
2
2sin 1OA x =，，()
1cos 1OB x x =-+，，()1
12
f x OA OB =-⋅+.
（1）求()y f x =的单调减区间；
（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向
左平移
6π
个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且263ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，56
3ππβ⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭，，()35g α=，()45g β=-，求()cos 22αβ-的值.
【答案】（1）单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
，；（2）527625. 【分析】（1）由数量积坐标表示公式，结合二倍角公式与辅助角公式得到函数()
y f x =的解析式，再由
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤
+解不等式求解即可； （2）根据图象变换规则求出()g x ，先求出()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，再利用二倍角的余弦公式，即可求cos 2()1αβ--的值．
【详解】(1)由题得，()2
1
sin cos 2
f x x x x =-+
cos2sin 226x x x π⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭，
令
32222
6
2
k x k π
π
πππ+≤+
≤
+得263k x k ππ
ππ+≤≤
+， 所以()y f x =的单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
，；
(2)将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到sin 6y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再将所得图象向左平移
6π
个单位后得到()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 又()35g α=
，()45g β=-即3sin 35πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
因为263ππ
α⎛⎫
∈
⎪
⎝⎭
，，563ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以32π
παπ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，，032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，
所以4cos 35πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭，3cos 35πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭， 所以()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+
-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
33447
555525
⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()2
27527
cos 2212sin
12()25625
αβαβ-=--=--
=. 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法： 若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由
22k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将
ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解
19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD DE =，090ADE ∠=，
0120ADC DCB ∠=∠=.
(1)证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； (2)求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（25
【分析】（1）证明面面垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住面面垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果；
（2）求的是线面角的正弦值，利用空间向量，将其转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果. 【详解】（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，
AD ，CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，
所以DE ⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ， 故平面ABCD ⊥平面EDCF .
（2）解：由已知//,DC EF DC ⊄平面ABFE ，
EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .
又平面ABCD
平面ABFE AB =，故//AB CD .
所以四边形ABCD 为等腰梯形.
又AD DE =，所以AD CD =，得AD BD ⊥，令1AD =， 如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系D xyz -，
则()0,0,0D ，()1,0,0A ，132F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
3,0B ，
所以33
,12FA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()
0,3,0DB =，132DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，
由
0,
0,
n DB
n DF
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
所以
30,
13
0,
2
y
x y
z
⎧=
⎪
⎨
-++=
⎪
⎩
取2
x=，则0
y=，1
z=，得()
2,0,1
n=，
5
cos,
25
FA n
FA n
FA n
⋅
===
⨯.
设直线与平面BDF所成的角为θ，则
5
sinθ=.
所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为
5
.
【点睛】本题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的.
20．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级消费金额
普通会员2000
预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在
(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消
费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）
19
33
（2）预计方案2投资较少.详见解析 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得
(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解．
（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额14900元，又由方案2：得到η的可能值为“0,200,300”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案．
【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人， 则X 的可能值为“0，1，2”，
∴()()()112P X P X P X ≥==+== 112
84422
121216319
333333
C C C C C +=+=. （或者()()2821219
110133
C P X P X C ≥=-==-=
.
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
28257100⨯=，602515100⨯=，12
253100
⨯=， ∴按照方案1奖励的总金额为：1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元， 方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则η的可能值为“0，200，300”，
∵摸到红球的概率：1
21525C P C ==，∴()030323055P C η⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
2
132********C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， ()2
1
2
3
233620055125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
33283005125
P C η⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， ∴η的分布列为
∴81368020030076.8125125125
E η=⨯
+⨯+⨯=元， ∴按照方案2奖励的总金额为：
()22826031276.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元，
∵方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ， ∴预计方案2投资较少.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
21．已知椭圆22
143
x y E +=：的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在直线4m x y +=：上
且不在x 轴上，直线1PF 与椭圆E 的交点分别为A 、B ，直线2PF 与椭圆E 的交点分别为C 、D ．
（1）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求
12
35
k k -的值； （2）问直线m 上是否点P ，使得直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率OA k ，OB k ，OC k ，OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在；点P 的坐标是()04，
或26⎛
--
⎝
⎭
或26⎛- ⎝⎭
. 【分析】（1）由椭圆的标准方程可得焦点坐标，设点()004,P x x -，由斜率公式化简即可得解；
（2）按照1PF 、2PF 的斜率是否都存在讨论，当斜率均存在时，设直线方程，联立方程结合韦达定理可得120k k +=或123k k =，再代入斜率公式即可得解.
【详解】（1）由条件知()()121
,0,1,0F F -， 设点()004,P x x -，则00
120044,11
x x k k x x --=
=+-， 所以()()000
12000
315182352444x x x k k x x x +---=+==---；
（2）设存在点()00,P x y 符合条件，
当直线1PF 的斜率不存在或直线2PF 的斜率不存在时， 则0,0OA OB OC OD k k k k +=+=，不合题意；
当直线1PF 、2PF 的斜率均存在时，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ， 则直线1PF ：()11y k x =+，直线2PF ：()21y k x =-， 设()()1122,A x y B x y ，，，
联立()123114
3y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222
1113484120k x k x k +++-=，0∆>，
所以221112122
2
118412
,3434k k x x x x k k --+==++， 所以()()()1112112121121212
112OA OB k x k x k x x y y k k k x x x x x x ++++=
+=+=+ (
)2111
122
112623
3k k k k k k --=+
=
--， 同理可得2
2263
OC OD k k k k -+=
-，
由0OA OB OC OD
k k k k +++=得()()()()
1112
2222
122212636603333
k k k k k k k k k k ---=--++=--， 所以120k k +=或123k k =， 又00
120044,11
x x k k x x --=
=+-， 所以000044011x x x x --+=+-或00
0044311
x x x x --⨯=+- 解得04(x =舍去)，00x =
，02x =--
，02x =-+， 所以点P 的坐标是()04，
或26⎛-+ ⎝⎭
或26⎛-- ⎝⎭
. 【点睛】解决本题的关键是设出所需点的坐标，结合韦达定理求得直线斜率的关系，利用斜率公式可得点P 的横坐标，整个过程中要注意运算的准确性. 22．已知函数()()3
2
52
f x ax x bx a b R =-
+∈，，其导函数为()f x '，且()()11116
f f '=+
. （1）求a 的值；
（2）设函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求b 的取值范围，并证明过两点()()
11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 恒过定点，且求出该定点坐标；
（3）当1b >时，证明函数()()2
31g x f x x x =+--在R 上只有一个零点.
【答案】（1）13a =
；（2）254b <；证明见解析；定点5125424⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，；（3）证明见解析.
【分析】(1)由导数运算可得a 的值；
(2)由题设知，12x x ，是方程()'0f x =的两个根，得254
b <
，化简()()111542566f x b x b =-+，同理可得()()221542566
f x b x b =-+，因此，直线m 的方程是()1542566
y b x b =-+，整理可得定点坐标； (3)先得出()()32111132
g x x x b x =++--，分0x ≥和0x <两种情况研究零点即可. 【详解】解：(1)因为()3252f x ax x bx =-+，()235f x ax x b '=-+， 所以()()512135f a b f a b ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩
'，代入()()11116f f '=+，得5113526a b a b -+=-++， 解得13
a =； (2)因为()321532
f x x x bx =
-+，所以()25f x x x b '=-+，由题设知， 12x x ，是方程()0f x '=的两个根，故有()2540b -->，解得254
b <， 因为2115x x b =-，所以()3211111532f x x x bx =-+()2111115532
x x b x bx =--+ 2115263x bx =-+()1152563x b bx =--+()11542566
b x b =-+， 同理可得()()221542566
f x b x b =-+， 过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 的方程是()1542566y b x b =-+， 即()()452560b x x y +-+=，由4502560
x x y +=⎧⎨+=⎩，解得5125424x y =-=，， 所以直线m 横过定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，
； (3)由(1)可知()321532
f x x x bx =-+，()()231
g x f x x x =+-- ()32111132
x x b x =++--， 当0x ≥时，因为1b >，所以()()2'10g x x x b =++->，
故()g x 在区间[)0+∞，上单调递增，又()010g =-<，()1122103
g b =-+>（）， 且()g x 的图像在区间[0,)+∞是不间断的，所以()g x 在区间[)0+∞，
上有唯一零点； 当0x <时，()()323211*********g x x x b x x x =
++--<+-， 设()3211132
h x x x =+-，则()2'h x x x =+，
当()1x ∈-∞-，时，()'
0h x >，()h x 单调递增， 当()1
0x ∈-，时，()'0h x <，()h x 单调递减， 所以()()5106h x h ≤-=-
<，从而()()0g x h x <<，故()g x 在()0-∞，上不存在零点.
综上，()g x 在R 上有唯一零点.
【点睛】本题考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值和导数中的零点问题，是较难题.
方法点睛：
求直线所过定点时，一般将直线方程转化整理成()0a Ax By Cx Dy +++=的形式，令00Ax By Cx Dy +=⎧⎨+=⎩
，解方程组后即可求出定点的坐标.。